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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 12 讲 函数的图像（精讲）
题型目录一览
①作函数的图像
②函数图像的辨识
③函数图像的应用
一、知识点梳理
1．利用描点法作函数的图象
描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期
性、最值等)．(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．(3)描
点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加
减．
(2)对称变换
①y＝f (x)的图象―――――――→y＝－f (x)的图象；
②y＝f (x)的图象――――――――→y＝f (－x)的图象；
③y＝f (x)的图象―――――――――→y＝－f (－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象――――――――――→y＝log x(a＞0且a≠1)的图象．
a
(3)伸缩变换
①y＝f (x)的图象
―――――――――――――――――――――――→ y＝f (ax)的图象；②y＝f (x)的图象
――――――――――――――――――――――――――――――→y＝af (x)的图象．
(4)翻转变换
①y＝f (x)的图象――――――――――――――――→y＝|f (x)|的图象；
②y＝f (x)的图象―――――――――――――――――――→y＝f (|x|)的图象．
【常用结论】
1．函数图象自身的轴对称
(1)f (－x)＝f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f (x)的图象关于x＝a对称⇔f (a＋x)＝f (a－x)⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (－x)＝f (2a＋
x)；
(3)若函数y＝f (x)的定义域为R，且有f (a＋x)＝f (b－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x
＝对称．
2．函数图象自身的中心对称
(1)f (－x)＝－f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于原点对称；
(2)函数y＝f (x)的图象关于(a，0)对称⇔f (a＋x)＝－f (a－x)⇔f (x)＝－f (2a－x)⇔f (－x)＝
－f (2a＋x)；
(3)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f (a＋x)＝2b－f (a－x)⇔f (x)＝2b－f (2a－
x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f (a＋x)与y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f (x)与y＝f (2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f (x)与y＝2b－f (－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
2．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.
故选：D.
3．（2020·天津·统考高考真题）已知函数 若函数 恰有4
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 ，结合已知，将问题转化为 与 有 个不同交点，分
三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
题型 一 作函数的图像
策略方法 作函数图象的两种常用方法【典例1】已知 .
（1）画函数 的图象；
（2）若直线 与 的图象有4个不同的交点，求实数 的取值范围以及所有交点横坐标之和.
【答案】（1）图象见解析；（2） ；4.
【分析】（1）由题得函数 ，再画图；
（2）利用数形结合分析得 的取值范围，再利用对称性求出所有交点横坐标之和.【详解】
（1）由题得函数 ，函数的图象如图所示.
（2）当 时， .
因为直线 与 的图象有4个不同的交点，
所以 .
设四个交点依次为 ,
所以
所以所有交点横坐标之和为4.
【点睛】本题主要考查函数的图象的画法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平.
【题型训练】
一、解答题
1．（1）画函数 的图象，并写出单调增区间；
（2）函数 有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）图象见解析，增区间为 ， ；（2） 或 .
【解析】（1）利用函数图象的翻折变换可得 的图象，根据图象可得其增区间.（2）考虑直线 与 的图象有两个交点即可得到a的取值范围.
【详解】（1） 的图象如图所示：
由图象可知：函数的增区间为 ， .
（2）因为函数 有两个零点，故直线 与 的图象有两个交点，
故 或 .
2．画函数图象： ．
【答案】答案见解析.
【分析】判断函数的奇偶性，先利用描点法作出 上函数的图象，再利用对称关系作出 的图象.
【详解】因为 ，
所以函数为偶函数，
当 时， ，
的对应值表如下
0 1 2 3 …
2 …
描点后用平滑曲线连接可得 上函数的图象，再将其关于 轴对称画出 上的图象，从而可得函
数的图象，如下图3．画函数图象
【答案】见解析.
【分析】利用图象变换法作出函数图象.
【详解】由题可知 ＝ ,
当 时， ，其图象可由 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位而得
如图( )．
又因为 ，
所以 为奇函数，所以 图象关于原点对称．
∴ 的图象如图( )．
题型二 函数图像的辨识
策略方法 辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
【典例1】如图，函数 在区间 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性及值域分析即可.
【详解】由题意 ，
即 为奇函数，可排除C项，
而 当且仅当 即 时，取等号，
且 时， ，可排除B、D选项，
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．（甘肃省白银市靖远县2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）函数 的部分图像
大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性以及 时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案.
【详解】因为 ，又函数的定义域为 ，故 为奇函数，排除AC；
根据指数函数的性质， 在 上单调递增，当 时， ，故 ，则 ，排除D.
故选：B
2．（海南省2023届高三学业水平诊断（三）数学试题）函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性证明函数 为偶函数；分别求出 ，利用排除法，结合选项
即可求解.【详解】函数 的定义域为 ，关于原点对称，
，
则函数 为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；
又 ，故排除AB，D符合题意.
故选：D.
3．（陕西省咸阳市2023届高三三模文科数学试题）已知函数 的部分图象如图所示，则它的解析式可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用排除法，结合函数图象，利用函数的定义域和导数研究函数的单调性，依次判断选项即可.
【详解】由图象可知，函数f（x）的定义域为R.
A： ，函数 的定义域为 ，所以A不符题意；
B： ，函数 的定义域为 ，所以B不符题意；
C：当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 上递增，在 上递减，所以 是函数的极大值，
结合图形， 不是极大值，故C不符题意；
D：当 时， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，结合图形，D符合题意；
故选：D．
4．（山东省烟台市2023届高考适应性练习（一）数学试题）函数 的部分图象大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.
【详解】由 ，
得 ，
所以 为偶函数，故排除BD.当 时， ，排除A.
故选：C.
5．（2023年全国卷（老教材）文科数学预测卷）函数 在区间 上的大致图象
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由选项图形特点，先判断函数的奇偶性，然后再根据 和 两个区间上函数值的正
负即可判断出函数图象.
【详解】因为 ，且 ，所以函数 为奇函数，
故排除A，B．
当 时， ， ， ，所以 ；
当 时， ， ， ，所以 ．故排除D．
故选：C．
6．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）函数 的部分图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算 即可判断.
【详解】因为 ，易知 的定义域为 .
因为 ，所以 为奇函数，
图象关的原点对称.排除A，D选项；
又 ， ，所以排除C选项.
故选：B.
7．（2023年高三数学（理）押题卷四）函数 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】结合函数的定义域，零点， 时函数值的符号进行判断.
【详解】由 知， ，排除C选项；
函数没有定义，排除B；
时， ，根据指数函数的单调性可知， ，
又 弧度是第二象限角，故 ，于是 时， ，排除D.
故选：A.
8．（重庆市2023届普高三模拟调研（三）数学试题）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得 的定义域并化简其解析式，再利用函数奇偶性排除选项CD，最后利用特值法排除选
项B，进而得到正确选项A.
【详解】由 ，可得 ，则 定义域为 ，
则 ，，
则 为偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项CD；
又 ，则排除选项B，正确选项为A.
故选：A
9．（安徽省芜湖市2023届高三下学期5月教学质量统测数学试题）函数 在区间
的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，发现是奇函数，排除C、D；观察A、B两项，发现图像在
处的增减趋势不同，所以对函数进行求导，再把特殊值 代入导函数中判断即可.
【详解】因为 ，所以 是奇函数，排除C、D两项；当 时， ，则 ，
所以 ，
所以 在 处的切线斜率为负数，故排除A项；
故选：B.
10．（河北省2023届高三模拟（一）数学试题）已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可
能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由图象得 故排除AC选项；对D选项根据极值点个数排除；分析B项满足.
【详解】对于A选项， ，A选项错误；
对于C选项， ，C选项错误；
对于D选项， ， 有两个不等的实根，故 有两个极值点，D选项错误．
对于B选项， ， ；
当 时， ， ，此时 ，
当 时， ， ，此时 ，当 时， ， ，此时 ，
依次类推可知 函数值有正有负；
显然 不单调；
因为当 时 ，所以 有多个零点；
因为 ，所以 ，所以 既不是奇函数也不是偶函数，以
上均符合，故B正确.
故选：B．
11．（2023年高考数学（理）终极押题卷）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性，可排除AC，由 ，可排除B，从而可选出答案.
【详解】函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
且 ，
故函数 为 上的偶函数，其图象关于 轴对称，可排除AC；
，因为 ，所以 ，可排除B，
只有D选项符合以上信息.故选：D.
题型三 函数图像的应用
策略方法 1.利用函数图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象
(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致
图象，再结合图象求解．
2.利用函数图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f (x)＝0的根就是f (x)的
图象与x轴交点的横坐标，方程f (x)＝g(x)的根是函数y＝f (x)与函数y＝g(x)图象的交点的横
坐标．
【典例1】定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ；当
时， ；当 时， .若对 ，都有 ，则
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据已知可得出函数在区间 以及区间 上的对称性，进而可作出函数的图象.根据图象设
，以及 .进而根据已知条件，推出函数 在 内的解析式，进而求解 即
可得出 的值，进而得出 的取值范围.
【详解】由当 时， ，可得 的图象在该区间内关于直线 对称；
由当 时， ，可得 的图象在该区间内关于点 对称.结合已知条件，作出函数 的部分图象如下图
由图象可设 ，且 时，都有 ，且 .
设 ，则 ， .
因为，当 时， ，所以 ， .
当 时， ，所以 .
又函数 满足 ，
所以， ，
所以， .
令 ，解得 ，即 .
所以， .
故答案为：
【典例2】对任意 ，恒有 ，对任意 ，现已知函数 的图像与 有4个不同的公共点，则正实数 的值为__________.
【答案】
【分析】由 ，得 ，由已知条件可得函数 的图像的对
称性和周期性，可作出函数 的图像，由题意 的图像函数 在 上的图像相切，
联立方程组利用判别式求解.
【详解】 ， ， ，
令 ，则有 ，
任意 ，恒有 ，则函数 的图像关于 对称，函数 是以2为周
期的周期函数，
在同一直角坐标系下作出函数 与 的图像，如图所示，
函数 的图像与 有4个不同的公共点，由图像可知， 的图像函数 在
上的图像相切，
由 ，消去 得 ，则 ，解得 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合
函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
【题型训练】
一、单选题
1．（陕西省榆林市神木中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题）已知 ，当
时，函数 的图象恒在 轴下方，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意 对任意 恒成立，转化为 恒
成立，利用数形结合法求解.
【详解】因为函数 的图象恒在 轴下方，
所以 对任意 恒成立，
又 时，可得 对任意 恒成立，
即 恒成立，
在同一坐标系中作出函数 ， 的图象，如图所示：由图象知，只需 ，
解得 ，又 ，所以 ，
故选：A
2．（重庆市第八中学2023届高三上学期高考适应性月考（四）数学试题）已知函数
，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[0，1]
【答案】D
【分析】转化为 的图象在 图象的上方，画出 的图象，数形结合得到
，再求出 在 的切线的斜率，得到 ，从而得到实数 的取值范围.
【详解】 在 上恒成立 在 上恒成立 的图象在 图象的上方，
其中 ，
画出 与y=ax的图象，如下：要想 在 上恒成立，则 ；
令 ，则 ， ，
若 为 在 的切线，则 ，
故要想 在 恒成立，则 ，
综上： .
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于 的方程
恰有5个不同的实根，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据所给方程，求出 , ，根据关于 的方程恰有5个不同的实根，借助于图像可
知 的取值范围.
【详解】 ，
，
，
或 .作出函数 的图像如图所示，
由图知 的图像与 有两个交点，
若关于 的方程 恰有5个不同的实根，则 的图像与 有三个公共点，
所以 的取值范围 .
故选：D.
4．（江西省赣州市2023届高三二模数学（文）试题）定义在 上的偶函数 满足 ，
且 ，关于 的不等式 的整数解有且只有 个，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知函数 的图象关于直线 对称，且该函数为周期函数，周期为 ，根据题意可知不
等式 在 上有且只有 个整数解，数形结合可得出关于实数 的不等式组，即可得解.
【详解】因为定义在 上的偶函数 满足 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，
则 ，即函数 为周期函数，且周期为 ，令 ，该函数的定义域为 ，则 ，即函数 为偶函数，
因为 ，则 ，即 满足 ，
又因为不等式 有 个整数解，
所以，不等式 在 上有且只有 个整数解，如下图所示：
所以， ，即 ，解得 .
故选：A.
5．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（三））已知函数 ，若不
等式 有3个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意将不等式等价转化为 有3个整数解．利用导数研究函数的性质并画
出草图，结合图形列出关于a的不等式组，解之即可.
【详解】函数 的定义域为 ．
由 ，得 ，则不等式 有3个整数解．设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
易知 的图象恒过点 ，
在同一直角坐标系中，分别作出 与函数 的图象，如图所示．
由图象可知 ，
要使不等式 有3个整数解，
则 ，解得 ，故选：A．
6．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数 的图象上恰有3对关于原点成
中心对称的点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】问题转化为方程： 有三个大于0的根，即等价于 与 在 上有三个交点，如图所示，
显然，当 时，不符合题意.
当 时，
只需满足 且方程： 有两根，
则有 ，
令 ，函数开口向上，对称轴 ，要使函数 两零点均大于 ，则有 ，解
得 ，满足两根均大于 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：C.
7．（2023·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知 ，函数
，若关于x的方程 有6个解，则 的取值范围为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】数形结合法，令 ，可得方程 的解有3个，对应的一元二次方程各有2个不相等的
实数根，利用判别式求解 的范围.
【详解】令 ，则方程 的解有3个，
由图象可得， ，且三个解分别为 ，
则 ， ， ，
均有两个不相等的实根，
则 ，且 ，且 ，
即 且 ，解得 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ，且 ，
所以 ，即 恒成立，
故 的取值范围为 .
故选:B.
8．（2023·天津红桥·统考一模）函数 ，关于 的方程 有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把函数 有2个不相等的实数根转化为以 和 的图象有两个交
点，作出图象求解即可.
【详解】因为函数 有2个不相等的实数根，
所以 和 的图象有两个交点.
作出函数 的图象如图所示：
当 时， ， ， ，
要使函数 和 的图象有两个交点，则 ，
当 ， ， ， ，
当 时， ，过点 与曲线的切点为 ，
，可得： ，所以 ，
所以切线斜率为 ，要使函数 和 的图象有两个交点，
由图可得 ,
当 时，关于 的方程 有2个不相等的实数根.
综上： .故选：A.
9．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数 ，若关于x的方程
有三个互不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，画出函数图象，考虑临界点即可求解.
【详解】作出函数 的图象如下图所示，直线 恒过点 ，
当 过点 时，解得 ，此时直线 与 有两个交点，故关于 的方程
有两个互不相等的实根；
将 代入 得 ，当 时，直线与抛物线只有一个交点，则
，解得 或 ，
当 时，解得 ，不满足 ，则应舍去，即 ，
所以实数k的取值范围是 .
故选： .10．（山东省青岛市即墨区2022-2023学年高三下学期教学质量检测数学试题）函数 的定义域为 ，
满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 ，则 的最
大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.
【详解】因 ，又当 时， ，
当 ， ，时， ，
则 ，
，
当 ， ，时， ，
则 ，
，
作出函数 的大致图象，对任意 ，都有 ，
设 的最大值为 ，
则 ，且
所以 ，解得
所以m的最大值为 .
故选：A.
11．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数 ， 的定义域为 ，
，若 ，且 ，则关于x的方程
有两解时，实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题知 ，根据题意得到： 恒成立且 有两解，
分别讨论 和 时的情况，根据图象即可得到 的取值范围.【详解】由题意知： ，
则 对任意的 恒成立，
又 有两解，
则 恒成立且 有两解.
，
当 时，如图所示：
只需 ，解得 ，
当 时，如图所示：
只需 且 或者 即可，解得 ，
综上所述： .
故选：C
【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，数形结合为解决本题的关键，属于
中档题.12．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 是偶函数，当 时，
，若关于 的方程 有且仅有 个不同实数根，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】确定函数 的大致图象，令 ，则关于 的方程 即可
写成 ，结合图象分析二次方程的根的取值范围使其满足方程有6个不同的根，即可
得实数 的取值范围.
【详解】由题意可知，函数 的图象如图所示：
根据函数图像，函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减；且 时取最
大值2，在 时取最小值0， 是该图像的渐近线.
令 ，则关于 的方程 即可写成 ，此时关于 的方程应该有两个不相等的实数根
设 ， 为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
①当 ， 时，此时 ，则 ；
②当 ， 时，此时 ，则 ；
综上可知，实数 的取值范围是 .故选：C.
二、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1） ，（2） ，（3）
，（4） ，从中任选 个，则事件“所选 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为
___________.
【答案】
【详解】
如图所示， 与 ， 与 ， 与 ，
与 均有多个公共点，
令 ，则 ，∴ 在 上单调递增，
又∵ ，∴ 有唯一零点，∴ 与 的图象有且仅有一个公共点；
令 ，则 ，∴ 在 上单调递增，
又∵ ，
∴存在 ，使 ，且 是 的唯一零点，
∴ 与 的图象有且仅有一个公共点.∴从四个函数中任选 个，共有 种可能，
“所选 个函数的图象有且仅有一个公共点的有 与 和 与 共 种可
能，∴“所选 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .故答案为： .
14．（上海市2023届高三上学期二模暨秋考模拟数学试题）已知函数 ，则不等式
的解集是___________．
【答案】
【分析】由 得 ，作出 和 的图像，结合图像求得不等式 的解集．
【详解】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图像如图：
两函数图像的交点坐标为 ，
由图可知：当 或 时， 成立，
所以不等式 的解集为： ．故答案为： ．
15．（河南省许济洛平2022-2023学年高三第三次质量检测文科数学试题）定义在R上的函数 满足，且当 时， ．若对任意 ，都有 ，则t的取值范
围是__________．
【答案】
【分析】由 ，根据 ，可得 依此类推，作出
函数 的图象，结合图象即可求解．
【详解】因为当 时， ，所以 ，
因为 ，当 时，即 时，
由 ，所以 ，
同理可得
依此类推，作出函数 的图象，如图所示：
由图象知：当 时，令 ，则 ，对任意 ，都有 ，则
故 的取值范围为 ，故答案为：
16．（2022秋·辽宁本溪·高三本溪高中校考期中）已知函数 ，若 互不相等，
且 ，则 的取值范围为__________________.
【答案】
【分析】首先画出函数 的图像，不妨设 ，根据 可知 ，根据 可知
，所以 ，利用 的单调性可求得 的取值范围.
【详解】作出函数 的大致图象，如图所示：
由题意，若 ， ， 互不相等，且 ，可知不妨设 ，
则 ， ，得 ，
所以 ，即 ， 同理 ，即 ， ，
所以 ，
又 ， ， ，所以 ，令函数 （ ），根据对勾函数可得g(x)在区间 上单调递增，所以 ，
从而 .
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
17．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）已知函数 ，若方程
恰好有四个实根，则实数k的取值范围是___．
【答案】
【分析】根据分段函数分段作出函数的图象，问题转化为函数 与 图象交点问题，数形结合
即可得解.
【详解】当 时， ， 的图象向右平移2个单位，再把纵坐标变为原来的2
倍，得到 的图象，也即 在区间 上的图象，以此类推，则在区间 上的图象如图所示，
设 ，若方程 恰好有四个实根，
则函数 与 的图象有且只有四个公共点，由图得， ，
则 ，
则 ，
所以 与 的图象有且只有四个公共点时 ，
故答案为：
18．（2023届高三上学期一轮复习联考（一）全国卷文科数学试题）已知函数
，若不等式 的解集中恰有两个非负整数，则实数k的取值范围为
______________．
【答案】
【分析】由题可得 ，构造函数 ，问题等价于 的图象在 的
图象上方所对应的x的取值范围中恰好有两个非负整数，利用导数研究函数的性质，然后利用数形结合即
得.
【详解】因为 等价于 ，即 ，
设 ，则上面不等式转化为 ，
因为直线 恒过定点 ，要使 的解集中恰有两个非负整数，
只需 的图象在 的图象上方所对应的x的取值范围中恰好有两个非负整数，
因为 ，
所以 时， ， 单调递增， 时， 单调递减，
所以 ，且 ，当 时， ， 时， ，
作出函数 与直线 的图象：从图象可得，要使 的图象在 的图象上方所对应的x的取值范围中恰好有两个非负整数解，只需满
足：
，即 ，
解得 ，
综上，实数k的取值范围为 ．
故答案为： ．
19．（2023·北京西城·统考二模）已知直线 和曲线 ，给出下列四个结论：
①存在实数 和 ，使直线 和曲线 没有交点；
②存在实数 ，对任意实数 ，直线 和曲线 恰有 个交点；
③存在实数 ，对任意实数 ，直线 和曲线 不会恰有 个交点；
④对任意实数 和 ，直线 和曲线 不会恰有 个交点．
其中所有正确结论的序号是____．
【答案】① ② ③
【分析】根据 图象的对称性，求导得切线斜率的最大值，由数形结合，结合选项即可判断.
【详解】对于①,由于 为偶函数，故图象关于 轴对称，且 ，
当 或 时，此时直线 和曲线 没有交点；（如下图）故正确 ①，对于②， ，当 时， ，
所以当 ，
故当 单调递减，当 单调递增，
故当 时，此时 取极大值也是最大值 ，
故 某一点处的切线的斜率最大值为 ，
当 时，此时直线 和曲线 恰有 个交点；故②正确，
对于③，当 时，对任意的 直线 过原点，此时直线与 只有一个零点，故③正确，
对于④，当直线 与曲线上 某一点处的切线平行时（斜率小于 ），且在切点之上
的位置时，此时直线与曲线有3个交点，故④错误.
故答案为：① ② ③
