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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 06 讲 函数的概念及其表示（精讲）
题型目录一览
①给出函数解析式求解定义域
②抽象函数定义域的求法
③函数值域的求法
④函数解析式的求法
⑤分段函数的应用
★【文末附录-函数的概念及其表示思维导图】
一、知识点梳理
1.函数的概念
(1)一般地，给定非空数集 ， ，按照某个对应法则 ，使得 中任意元素 ，都有 中唯一确定的 与
之对应，那么从集合 到集合 的这个对应，叫做从集合 到集合 的一个函数.记作： ，
.集合 叫做函数的定义域，记为 ，集合 ， 叫做值域，记为 .
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为 ，
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
2.基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
（6）已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，遵循两
点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
3.基本初等函数的值域
(1) 的值域是 .
(2) 的值域是：当 时，值域为 ；当 时，值域为
．
(3) 的值域是 .
(4) 且 的值域是 .
(5) 且 的值域是 .
4.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函
数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域
的并集．
二、题型分类精讲
题型 一 给出函数解析式求解定义域
策略方法 已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f (x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为
各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函
数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
【典例1】求下列函数的定义域：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
【题型训练】
一、单选题
1．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
2．函数 定义域为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．函数 的定义域是__________.
4．函数 的定义域是_________．
三、解答题
5．求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；（3） ；
（4） .
6．已知函数 的定义域为M，
（1）求M；
（2）当 时，求 的最小值．
题型二 抽象函数定义域的求法
策略方法 抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．
【典例1】求下列函数的定义域：
(1)已知函数 的定义域为[1，2]，求函数 的定义域；
(2)已知函数 的定义域[1，2]，求函数 的定义域；
(3)已知函数 的定义域[1，2]，求函数 的定义域.
【题型训练】
一、单选题
1．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）A． B． C． D．
3．函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．若已知函数 的定义域为 ，则可求得函数 的定义域为 ；问实数m的值为
______．
5．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域___________.
三、解答题
6．已知函数 的定义域为 .
(1)求 的定义域 ；
(2)对于（1）中的集合 ，若 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
7．已知函数 的定义域是 ，设 ，
(1)求 的定义域；
(2)求函数 的最大值和最小值.
题型三 函数值域的求法策略方法 函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法:根据最基本函数值域（如 ≥0, 及函数的图像、性质、简单的计算、推
理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如 的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，
结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形 的值城，可通过换元
将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分
析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值
域，一般地，形如 ， 或 的函数值域问题可运用判别式法
（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如
或 的函数，当ac>0时可利用单调性法.
【典例1】试求下列函数的值域.
(1) ， (2)
(3) (4)【题型训练】
一、解答题
1．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝ ； (4)y＝x＋ ．
二、单选题
2．函数 ， ，则 的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．下列四个函数：① ；② ；③ ；④ ．其中定义域与值域相
同的函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列函数中，值域是 的是（ ）
A． B． ，
C． ， D．
三、多选题
5．已知函数 ，则（ ）．A． 的值域是 B． 的定义域为
C． D．
6．下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
四、填空题
7．函数 的值域为__________.（结果用区间表示）
8．函数 的值域为________.
题型四 函数解析式的求法
策略方法 函数解析式的常见求法
【典例1】（1）已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式．（2）若对任意实数x，均有 ，求 的解析式．
【典例2】（1）已知 ，求 的解析式；
（2）已知 ，求 的解析式．
【题型训练】
一、单选题
1．已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．一次函数 满足 ，且 ，则 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知定义在 上的单调函数 ，其值域也是 ，并且对于任意的 ，都有 ，则
等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．设 是定义域为R的单调函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．已知函数 ，则 __________．6．已知 ，则 的值域为______.
7．设定义在 上的函数 满足 ，则 ___________.
三、解答题
8．在① ，② ，③对任意实数x，y，均有
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.已知函数
满足 ，求 的解析式.
9．求下列函数的解析式
(1)若 ，求 的表达式．
(2)已知 ，求 的表达式．
(3)已知 是二次函数,且满足 ,求 .
题型五 分段函数的应用
策略方法
1．分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的
解析式求值．
(2)当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自
变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．3．分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段
函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
【典例1】已知
(1)求
(2)若 ，求实数 的值
【题型训练】
一、单选题
1．设 则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
2．函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，若 ，则实数 的值是（ ）
A． 或5 B．3或 C．5 D．3或 或5
4．已知函数 是 上的增函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题5．已知函数 ，关于函数 的结论正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． D．若 ，则 的值是2
6．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 ，称为狄利克雷函数，
则关于函数 有（ ）
A．函数 的值域为 B．
C． D． ，都有
三、填空题
7．已知函数 若 ，则实数 的值为______.
8．定义在 上的函数 满足 ，则 ______.
9．已知函数 ，若函数 的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
【附录-函数的概念及其表示思维导图】
