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第 06 讲 函数的概念与运算
【基础知识全通关】
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集
合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A．
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的
值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也
相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示方法
(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．
(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
4．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数
相等．
5．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这
种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，
分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【知识拓展】
1．复合函数：
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那
么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做
复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
2．抽象函数的定义域的求法：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【考点研习一点通】
考点01：映射的概念
1．以下对应中，从集合A到集合B的映射有 ；其中 是函数 。
（1） （2） （3） （4）
【解析】
（1）、（2）、（4）是映射，（1）、（2）是函数。
【点评】
1.判断是否映射的方法：先看集合A中的每个元素是否在集合B中都有象；再看集合A中
的每个元素的象是否唯一；
2.函数是非空数集到非空数集的特殊映射，函数一定是映射，映射不一定是函数.
【变式1】设集合A=R，集合B=R＋，则从集合A到集合B的映射只可能是（ ）
f :x→ y=|x| f :x→ y=√x
A 、 B、
C、
f :x→ y=3−x
D 、
f :x→y=log
2
(1+|x|)
【答案】C；
【解析】
A、B、D中元素 没有象。
2. 已知 在映射 的作用下的像是 ，求 在 作用下的像和
在 作用下的原像。
【解析】
，所以 在 作用下的像是 ；
或
所以 在 作用下的原像是 .
【点评】
弄清题意，明白已知是什么，求的又是什么是本题的关键.
f :A→B中 A=B={(x,y)|x,y∈R}
【 变 式 2 】 在 映 射 ， ， 且
f :(x, y)→(x−y,x+y) (−1,2)
，则与A中的元素 对应的B中的元素为（ ）
(−3,1) (1,3) (−1,−3) (3,1)
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】
考点02：函数的概念
3．下列各组函数中表示同一函数的是 。
（1） ， ； （2） ；
（3） ； （4） 。
【解析】
表示同一函数的是（1）、（3）。
其中第（2）组的定义域不同，第（4）组的对应法则不同。
【点评】
对应法则相同与函数的解析式相同是不一样的。对应法则是函数的核心，如（1）、（3）
的对应法则是相同的。
【变式3】下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A、 ， B、 ，C、 ， D、 ，
【答案】C；
【解析】
A 中两函数的定义域不同， 的定义域不含 ；B 中两函数的定义域也不同，
的定义域为 ，而 的定义域为R；D中的对应法则不同。
4．已知 是一次函数，且满足 ，求
【解析】
由题可设 ，
3⋅[a(x+1)+b]−2[a(x−1)+b]=2x+17
所以
∴¿{a−2=0¿¿¿
(a−2)x+5a+b−17=0
化简得
a=2 b=7 f (x)=2x+7
所以 所以
【点评】
换元法是常用的求解析式法，注意新元的范围，最后要给出函数的定义域；也可以用配凑
的方法；除以之外，若已知函数类型，还可以利用待定系数法求函数解析式。
f (x),g(x)
【变式】 已知函数 分别由下表给出：
则满足
f [g(x)]>g[f (x)]
的x的值是 .
【答案】2；
【解析】
∵ ；；
.
f [g(x)]>g[f (x)]
∴ 中 .
考点03：分段函数
5．已知函数 ，求：
（1） 的值；（2） 的定义域、值域。
【解析】
（1）∵ ， ∴
∴
（2） 的定义域为 ，即
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上可得 的值域为 。
【点评】分段函数分段讨论，先局部后整体；结果应当要并。
【变式 5】设 ， ，则 ，
.
【答案】： 。
【解析】
， ；， .
【考点易错】
易错01 函数的概念
1.【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中， 与 不表示同一函数的
是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】ACD
【解析】
根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分
别进行判断，得到答案.
【详解】
A选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一
函数，故A符合题意；
B选项， ，与 定义域相同，对应法则也相同，所以
二者是同一函数，故B不符合题意；
C选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一
函数， 故C符合题意；
D选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数，故D符
合题意；
故选：ACD.
【规律方法】
函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．
【变式探究1】
（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数 是相等函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
依次判断各个选项的解析式和定义域是否和 相同，二者皆相同即为同一函数，由
此得到结果.
【详解】
的定义域为 ；
对于A， 定义域为 ，与 定义域不同，不是同一函数，A错
误；
对于B， ，与 定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；
对于C， 定义域为 ，与 定义域不同，不是同一函数，C错误；
对于D， ，与 解析式不同，不是同一函数，D
错误.
故选：B.
【易混辨析】
1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是
否相同．
2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.
易错点02：求函数的解析式2.（2021·全国高一课时练习）已知f =x2+ ，则函数f(x)=_______，f（3）
=_______．
【答案】 11
【解析】
利用换元法可求出 ，进一步可得 .
【详解】
令 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为： ； .
3.（2021·全国高三专题练习）如图所示，函数 的图象是折线段ABC，其中A、B、C
的坐标分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数 的解析式．
【答案】
【解析】
根据图象分段求出解析式，再写成分段的形式即可得解.
【详解】
设线段 所对应的函数解析式为 ，将 与 代入 ，
得 ，得 ，
所以 ，
同理，线段 所对应的函数解析式为 ，
所以 .
【规律方法】
1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．
2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．
f(x) f[g(x)] f[g(x)] f(x)
3.已知 求 ，或已知 求 ，用代入法、换元法或配凑法．
1
f( )
4.若 f(x) 与 x 或 f(x) 满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．
5.应用题求解析式可用待定系数法求解．
易错点03：分段函数及其应用
5.（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形 中， 点 从点
出发，沿 向，以每 个单位的速度在正方形 的边上运动；
点 从点 出发，沿 方向，以每秒 个单位的速度在正方形 的
边上运动.点 与点 同时出发，运动时间为 (单位：秒)， 的面积为 (规定
共线时其面积为零，则点 第一次到达点 时， 的图象为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
根据题意，分别求出当 , ， ， 对应的函数解析式，进而
得答案.
【详解】
根据题意，当 , 的面积为 ；
当 , 的面积为 ；
当 , 的面积为 ；
当 , 的面积为 ；所以
所以根据分段函数的解析式即可得在区间上的函数图像为选项A.
故选:A.
【巩固提升】
1.[2021江西模拟]已知函数f(x)的图象如图2-1-1所示,则函数f(x)的解析式可能是 (
图2-1-1
A.f(x)=(4x+4-x)|x|
B.f(x)=(4x-4-x)log|x|
4
C.f(x)=(4x+4-x)log |x|
1
4
D.f(x)=(4x+4-x)log|x|
4
【答案】D
【解析】对于A,f(x)大于等于0恒成立,与图象不符,排除;对于B,当x<-1时,f(x)<0,与图
象不符,排除;对于C,当x>1时,f(x)<0,与图象不符,排除.选D.
2.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (
A.y=x B.y=lg x
1
C.y=2x D.y=
√x
【答案】D
【解析】解法一 函数y=10lg x的定义域为(0,+∞),当x>0时,y=10lg x=x,故函数的值域为
(0,+∞).只有选项D符合.
解法二 易知函数y=10lg x中x>0,排除选项A,C;因为10lg x必为正值,所以排除选项B.选D.πx
{ sin ,x≤0,
6
3.[2021贵阳市摸底测试]已知函数f(x)= 则f(f(9))=
log x,x>0,
1
3
( )
1 1
A. B.-
2 2
√3 √3
C. D.-
2 2
【答案】
π
{ sin x,x≤0,
6 g π
【解析】D ∵f(x)= ∴f(9)=lo 19=-2,则f(f(9))=f(-2)=sin (- )=-
log x,x>0, 3 3
1
3
√3
,故选D.
2
4.[多选题]下列说法中正确的是( )
1
A.f(x)= +√3-x是一个函数
√x-4
B.已知f(x)=m(x∈R),则f(m3)=m
C.y=ln x2与y=2ln x表示同一函数
D.f(x)={ x2+1,-1≤x≤1, 则f(-x)={ x2+1,-1≤x≤1,
x+3,x>1或x<−1, -x+3,x>1或x<−1
【答案】BD
【解析】对于A,定义域是空集,不满足函数的概念,故A错误;对于B,f(x)是常数函数,所以
f(m3)=m,故B正确;对于C,两个函数的定义域不同,故不是同一函数,C错误;对于D,结合分
段函数可知D正确.故选BD.
1
5.函数f(x)= +ln x的定义域是 .
x+1
【答案】(0,+∞)
1 {x+1≠0,
【解析】函数f(x)= +ln x的自变量满足 ∴x>0,即定义域为(0,+∞).
x+1 x>0,
6.若函数f(x)={-x+6,x≤2, (a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是
3+log x,x>2
a.
【答案】(1,2]
【解析】因为 f(x)={-x+6,x≤2, 所以当 x≤2时, f(x)≥4.又函数 f(x)的值域是
3+log x,x>2,
a
[4,+∞),所以{ a>1, 解得11),则实数b的值为 .
2
【答案】(1){-1}1 1
【解析】由题意得,不等式 2a·x-1>0 的解集为(2,+∞),由 2a·x-1>0 可得 x> ,∴
2a 2a
=2,∴a=-1.
【答案】(2)3
1 1
【解析】f(x)= (x-1)2+1,x∈[1,b]且b>1,f(1)=1, f(b)= (b-1)2+1,函数图象的对称轴为
2 2
1 1
直线 x=1,且 f(x)在[1,b]上单调递增.∴函数的值域为[1, (b-1)2+1].由已知得
2 2
(b-1)2+1=b,解得b=3或b=1(舍).
9.(1)已知函数f(x)={2x+1,x<1,且f(f(0))=4a,则f(-2)=
,实数a= .
x2+ax,x≥1
(2)设函数f(x)={x+1,x≤0,则满足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围是 .
2x,x>0, 2
(3)[2016北京,5分]设函数f(x)={x3-3x,x≤a,
-2x,x>a.
①若a=0,则f(x)的最大值为 ;
②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 .
5
【答案】(1) 2
4
5
【解析】依题意知 f(-2)=2-2+1= .因为 f(0)=20+1=2,所以 f(f(0))=f(2)=22+2a=4a,解得
4
a=2.
1
【答案】(2)(- ,+∞)
4
1 1 3 1 1
【解析】当 x≤0 时,f(x)+f(x- )=x+1+x- +1=2x+ >1,即- 1恒成立;当x> 时,f(x)+f(x- )=2x+ x- >1恒成立.综上所述,x的取值
2 2 2 2 2
1
范围是(- ,+∞).
4
【答案】(3)① 2【解析】若a=0,则f(x)={x3-3x,x≤0,当x>0时,-2x<0;当x≤0
-2x,x>0.
图D 2-1-1
时,f '(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令 f '(x)>0,得 x<-1,令 f '(x)<0,得-12,解得 a<-1.所以实数 a 的取值范围是(-
-2x,x>a
∞,-1).
10.若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数
f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 .
①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x3 ④f(x)=x2+2
5.函数 y=f(x)的图象是如图 2-1-3 所示的折线段 OAB,其中 A(1,2),B(3,0),函数
g(x)=x·f(x), 那么函数g(x)的值域为( )
9
A.[0,2] B.[0, ]
4
3
C.[0, ] D.[0,4]
2
【答案】①④【解析】对于①,exf(x)=ex·2-x,故[exf(x)]'=(ex·2-x)'=ex·2-x(1-ln 2)>0,故函数
exf(x)=ex·2-x 在(-∞,+∞)上为增函数,故①符合要求;对于②,exf(x)=ex·3-x,故
[exf(x)]'=(ex·3-x)'=ex·3-x(1-ln 3)<0,故函数exf(x)=ex·3-x在(-∞,+∞)上为减函数,故
②不符合要求;对于③,exf(x)=ex·x3,故[exf(x)]'=(ex·x3)'=ex·(x3+3x2),显然函数
exf(x)=ex·x3在(-∞,+∞)上不单调,故③不符合要求;对于④,exf(x)=ex·(x2+2),故
[exf(x)]'=[ex·(x2+2)]'=ex·(x2+2x+2)=ex·[(x+1)2+1]>0,故函数 exf(x)=ex·(x2+2)在(-
∞,+∞)上为增函数,故④符合要求.综上,具有M性质的函数的序号为①④.
