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第 06 讲 函数的概念与运算
【基础知识全通关】
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集
合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A．
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的
值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也
相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示方法
(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．
(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
4．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数
相等．
5．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这
种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，
分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【知识拓展】
1．复合函数：
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那
么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做
复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
2．抽象函数的定义域的求法：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【考点研习一点通】
考点01：映射的概念
1．以下对应中，从集合A到集合B的映射有 ；其中 是函数 。
（1） （2） （3） （4）
【变式1】设集合A=R，集合B=R＋，则从集合A到集合B的映射只可能是（ ）
f :x→ y=|x| f :x→ y=√x
A 、 B、
f :x→ y=3−x f :x→y=log (1+|x|)
C、 D 、 2
2. 已知 在映射 的作用下的像是 ，求 在 作用下的像和
在 作用下的原像。
f :A→B中 A=B={(x,y)|x,y∈R}
【 变 式 2 】 在 映 射 ， ， 且
f :(x, y)→(x−y,x+y) (−1,2)
，则与A中的元素 对应的B中的元素为（ ）
(−3,1) (1,3) (−1,−3) (3,1)
A、 B、 C、 D、
考点02：函数的概念
3．下列各组函数中表示同一函数的是 。
（1） ， ； （2） ；
（3） ； （4） 。【变式3】下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A、 ， B、 ，
C、 ， D、 ，
4．已知 是一次函数，且满足 ，求
f (x),g(x)
【变式】 已知函数 分别由下表给出：
则满足
f [g(x)]>g[f (x)]
的x的值是 .
考点03：分段函数
5．已知函数 ，求：
（1） 的值；（2） 的定义域、值域。
【变式 5】设 ， ，则 ，
.【考点易错】
易错01 函数的概念
1.【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中， 与 不表示同一函数的
是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式探究1】
（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数 是相等函数的是（ ）
A． B． C． D．
易错点02：求函数的解析式
2.（2021·全国高一课时练习）已知f =x2+ ，则函数f(x)=_______，f（3）
=_______．
3.（2021·全国高三专题练习）如图所示，函数 的图象是折线段ABC，其中A、B、C
的坐标分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数 的解析式．
易错点03：分段函数及其应用5.（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形 中， 点 从点
出发，沿 向，以每 个单位的速度在正方形 的边上运动；
点 从点 出发，沿 方向，以每秒 个单位的速度在正方形 的
边上运动.点 与点 同时出发，运动时间为 (单位：秒)， 的面积为 (规定
共线时其面积为零，则点 第一次到达点 时， 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固提升】
1.[2021江西模拟]已知函数f(x)的图象如图2-1-1所示,则函数f(x)的解析式可能是 (图2-1-1
A.f(x)=(4x+4-x)|x|
B.f(x)=(4x-4-x)log|x|
4
C.f(x)=(4x+4-x)log |x|
1
4
D.f(x)=(4x+4-x)log|x|
4
2.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (
A.y=x B.y=lg x
1
C.y=2x D.y=
√x
πx
{ sin ,x≤0,
6
3.[2021贵阳市摸底测试]已知函数f(x)= 则f(f(9))=
log x,x>0,
1
3
( )
1 1
A. B.-
2 2
√3 √3
C. D.-
2 2
4.[多选题]下列说法中正确的是( )
1
A.f(x)= +√3-x是一个函数
√x-4
B.已知f(x)=m(x∈R),则f(m3)=m
C.y=ln x2与y=2ln x表示同一函数
D.f(x)={ x2+1,-1≤x≤1, 则f(-x)={ x2+1,-1≤x≤1,
x+3,x>1或x<−1, -x+3,x>1或x<−1
1
5.函数f(x)= +ln x的定义域是 .
x+1
6.若函数f(x)={-x+6,x≤2, (a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是
3+log x,x>2
a
.{1
7.已知函数f(x)=
(x<0),
g(x)=x+1,则(1)g(f(x))= ;(2)f(g(x))= .
x
x2(x≥0),
8.(1)已知函数f(x)=lg(2a·x-1)的定义域是(2,+∞),则实数a的取值集合是 .
1
(2)已知函数f(x)= (x-1)2+1的定义域与值域都是[1,b](b>1),则实数b的值为 .
2
9.(1)已知函数f(x)={2x+1,x<1,且f(f(0))=4a,则f(-2)=
,实数a= .
x2+ax,x≥1
(2)设函数f(x)={x+1,x≤0,则满足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围是 .
2x,x>0, 2
(3)[2016北京,5分]设函数f(x)={x3-3x,x≤a,
-2x,x>a.
①若a=0,则f(x)的最大值为 ;
②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 .
10.若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数
f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 .
①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x3 ④f(x)=x2+2
5.函数 y=f(x)的图象是如图 2-1-3 所示的折线段 OAB,其中 A(1,2),B(3,0),函数
g(x)=x·f(x), 那么函数g(x)的值域为( )
9
A.[0,2] B.[0, ]
4
3
C.[0, ] D.[0,4]
2
