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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 06 讲 函数的概念与表示（精讲）
①函数的判断与相同函数的判断
②给出函数解析式求解定义域
③抽象函数定义域的求法
④函数值域的求法（八大类型）
⑤函数解析式的求法（五大类型）
⑥分段函数
一、必备知识整合
一、函数的概念
(1)一般地，给定非空数集 ， ，按照某个对应法则 ，使得 中任意元素 ，都有 中唯一确定的 与
之对应，那么从集合 到集合 的这个对应，叫做从集合 到集合 的一个函数.记作： ，
.集合 叫做函数的定义域，记为 ，集合 ， 叫做值域，记为 .
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为 ，
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
二、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
（6）已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，遵循两
点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
三、基本初等函数的值域
(1) 的值域是 .
(2) 的值域是：当 时，值域为 ；当 时，值域为
．
(3) 的值域是 .
(4) 且 的值域是 .
(5) 且 的值域是 .
五、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函
数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域
的并集．
二、考点分类精讲
【题型一 函数的判断与相同函数的判断】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的
函数.
【典例1】（单选题）（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
【答案】D
【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.
【详解】对于A中，函数 的定义域为R， 的定义域为 ，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数 的定义域为R， 的定义域为 ，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数 的定义域为R，与 的定义域为 ，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数 与 的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
一、单选题
1．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数 的对应关系如下表所示，函数 的图象是如下图
所示，则 的值为（ ）
1 2 3
4 3A． B．0 C．3 D．4
【答案】D
【分析】观察函数图象得 ，再利用数表求解即得.
【详解】观察函数 的图象，得 ，由数表得 ，
所以 .
故选：D
2．（22-23高一上·北京西城·期中）下列图象中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义，要求定义域内的任意变量 只能有唯一的 与 对应，结合图象判断即可．
【详解】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量 只能有唯一的 与 对应，
选项ABC中，每一个 都有唯一的 与 对应，满足函数的定义，可以是函数图象，
选项D中，出现两个不同的 和同一个 对应，所以不满足 值的唯一性．
所以D不能作为函数图象．
故选：D．
3．（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数 图象的是（ ）A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【答案】D
【分析】根据函数的定义判断可得出结论.
【详解】解：∵一个 只能对应一个 ，∴①③符合题意，
对于②中，当 时，一个 对应两个 ，不符合函数的定义；
对于④中，当 时，一个 对应两个 ，不符合函数的定义.
故选：D．
4．（23-24高一上·北京丰台·期中）下列图象中，表示定义域和值域均为 的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.
【详解】选项A：定义域为 ，但是值域不是 故错误；
选项B：定义域不是 ，值域为 ，故错误；
选项C：定义域和值域均为 ，故正确；
选项D：不满足函数的定义，故错误；
故选：C.5．（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数 是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由同一函数的定义依次判断选项即可.
【详解】解：函数 ，定义域为 .
选项A中 ，定义域为 ，故A错误；
选项B中 ，定义域为 ，故B错误；
选项 中 ，定义域为 ，故 正确；
选项D中 ，定义域为 ，故D错误.
故选：C.
6．（15-16高一上·广东揭阳·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以A不正确；
B中，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不正确；C中，函数 和 ，
则两函数的定义域相同且对应关系也相同，所以两个函数不是同一函数，所以C正确；
D中，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，则两函数的定义域不同，
所以两个函数不是同一函数，所以D不正确.
故选：C.
7．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】A
【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项， 的定义域是 ， ，且定义域为 ，是相同函数，A选项正确.
B选项， 的定义域是 ， 的定义域是 ，不是相同函数.
C选项， 的定义域是 ， 的定义域是 ，不是相同函数.
D选项， 的定义域是 ， 的定义域是 ，不是相同函数.
故选：A
8．（2023高一·全国·课后作业）已知 ，在下列四个图形中，能表示集
合M到N的函数关系的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据函数的定义求解.
【详解】对A：可得定义域为 ，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对B：可得定义域为 ，值域为 ，
且满足一个x对应一个y，所以能表示集合M到N的函数关系；
对C：任意 ，一个x对应两个 的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对D：任意 ，一个x对应两个 的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
故选：B.
9．（2023高三·全国·专题练习）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】C
【分析】是不是同一函数，关键看定义域与对应关系是否一致，判断即可.
【详解】对于选项A，因为 而 一个x对多个y，不是函数，所以它们不是同
一函数．
对于选项B，因为 的定义域为 ，而 的定义域为 ，
所以它们不是同一函数．
对于选项C，因为 ，所以 ，所以两个函数的定义域均为 ，又，所以它们是同一函数．
对于选项D，因为 的定义域为 ，而 的定义域为 ，所以它
们不是同一函数．
故选：C．
【题型二 给出函数解析式求解定义域】
已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f (x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为
各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函
数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
【典例1】（22-23高一上·甘肃临夏·期末）求函数 定义域：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式和分式的性质进行求解即可；
（2）根据二次根式和对数型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知： ；（2）由题意可知： .
一、单选题
1．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数 ，其定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据偶次根式定义域和分母不为零即可得到该函数定义域.
【详解】由 得 ，所以定义域为 ，
故选：C.
2．（23-24高一上·浙江·期末）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可.
【详解】由 且 .
故选：C
3．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过 落到地面击中目标．炮弹的射高为 ，
且炮弹距地面的高度 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系为 ．该函数定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据实际意义分析即可.
【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了 ，
所以 ，即函数 的定义域为 .
故选：C
4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】结合二次根式、分式和对数性质即可求解.
【详解】由题可知 ，解得 且 .
故选：D
二、填空题
5．（2024·北京通州·二模）已知函数 的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解.
【详解】根据题意可得 ,解得
故定义域为 .
故答案为：6．（23-24高一上·北京·期中）求函数 的定义域
【答案】
【分析】根据具体函数的定义域限制列不等式得解集从而可得答案.
【详解】函数 的定义域满足 ，解得 或 ，
所以函数的定义域为 .
故答案为： .
7．（23-24高一上·山西长治·期末）函数 的定义域为 .
【答案】
【分析】根据根号下部分大于等于0建立不等式求解即可.
【详解】令 ，则 或 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
8．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）求函数 的定义域 ．
【答案】
【分析】利用正切函数的定义，列出不等式求解即得.
【详解】函数 有意义，则 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：9．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝ 的定义域为 ．
【答案】
【详解】
由sin x≠cos x，得tan x≠1，即x≠ ＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝ 的定义域为 .
三、解答题
10．（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】求定义域就是求使式子有意义的实数的集合.
【详解】（1）要使分式有意义，则 ，
由任意 ， 恒成立，
故函数 的定义域为 ；
（2）要使式子各部分有意义，则 ，解得 ，且 .故 的定义域为 ；
（3）要使分式有意义，则 ，
当 时， ，则 在 恒有意义；
当 时， ，则 ， 无意义；
综上可知， 的定义域为 .
11．（24-25高一上·全国·课后作业）设 ，且 ，求下列函数的定义域：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由复合型对数函数定义域列出不等式即可求解.
【详解】（1）为使函数有意义，只需 ，即 ，所以函数 的定义域为 ；
（2）为使函数有意义，只需 ，即 ，所以函数 的定义域为 ．
【题型三 抽象函数定义域的求法】
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．【典例1】求下列函数的定义域：
(1)已知函数 的定义域为[1，2]，求函数 的定义域；
(2)已知函数 的定义域[1，2]，求函数 的定义域；
(3)已知函数 的定义域[1，2]，求函数 的定义域.
【答案】(1)[0， ]
(2)[3，5]
(3)[2，3]
【分析】(1)由 的定义域可得 ，求出x的取值集合即可得出 的定义域；(2)由
的定义域可得 ，求出2x+1的取值集合即可得出 的定义域；(3)由 的定义域可
得 ，求出2x+1的取值集合即可得出 的定义域，进而得出2x-1的取值集合，再求出x的取值集
合即可；
【详解】（1）设 ，由于函数 定义域为[1，2]，
故 ，即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为[0， ]；
（2）设 ，因为 ，
所以 ，即 ，函数 的定义域为[3，5]，
由此得函数 的定义域为[3，5]；
（3）因为函数 的定义域为[1，2]，即 ，
所以 ，所以函数 的定义域为[3，5]，
由 ，得 ，所以函数 的定义域为[2，3].
一、单选题
1．（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数的定义域即可求解.
【详解】由于 的定义域为 ,所以 的定义域需满足： ，故
的定义域为 ，
故选：A
2．（22-23高一上·山东菏泽·期中）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意先求出 的定义域，再可求出 的定义域
【详解】由 ，得 ，
所以 的定义域为 ，
由 ，得 ，
所以 的定义域为 ，
故选：D3．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可知解 即可得答案.
【详解】解：因为函数 的定义域为 ，
所以， ，即 ，解得 ，
所以，函数 的定义域为
故选：C
4．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数 的定义域为 ，则函数 的定
义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.
【详解】由函数 的定义域为 ，即 ，得 ，
因此由函数 有意义，得 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：D
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，要使 有意义，
只需要 ，解得 ，
所以 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：D.
二、填空题
6．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义
域是 .
【答案】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，函数 的定义域是 ，
所以对于函数 来说，有 ，
所以函数 的定义域是 .
故答案为：
7．（2023高三上·全国·专题练习）已知函数 的定义域为 ，求 的定义域.
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域求解即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
即 ，则 ，
故 的定义域为 ．
故答案为： .
8．（23-24高三上·河北邢台·期末）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
．
【答案】
【分析】首先得 的定义域为 ，进一步列不等式组即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 的定义域为 ，
要使 有意义，需满足 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为： .
【题型四 函数值域的求法（八大类型）】
函数值域的求法主要有以下几种（1）观察法:根据最基本函数值域（如 ≥0, 及函数的图像、性质、简单的计算、推
理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如 的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，
结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形 的值城，可通过换元
将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分
析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值
域，一般地，形如 ， 或 的函数值域问题可运用判别式法
（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如
或 的函数，当ac>0时可利用单调性法.
【典例1】（22-23高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域：
(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ；
(4) ；(5) ；
(6) ；
(7) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) ．
【分析】（1）可由观察法求解；（2）函数是二次函数，可采用配方法结合图像求解；（3）函数是一个
分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用 表示出 ，由 求解；（4）
利用变量的代换，即换元法求值域；（5）通过变形，利用基本不等式求最值；（6）通过变形，利用基本
不等式求最值；（7）通过变形利用判别式法求解．
【详解】（1）（观察法）由 ，分别代入求值，可得函数的值域为 ．
（2）（配方法） ，由 ，再结合函数的图像，可得函数的值域为 ．（3）（分离常数法） ，因为 ，所以 ，所以
故函数的值域为 ．
（4）（换元法） 设 ，则 ，且 ，
所以 ，由 ，再结合函数的图像，可得函数的值域为 ．
（5）因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故函数的值域为 ．
（6）因为 ，所以 ，令 ，则，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ， ，故
函数的值域为 ．
（7）由 知 ，
整理得 ．
当 时，方程无解；当 时， ，即 ．
故所求函数的值域为 ．
一、单选题
1．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】函数 的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为 ，
所以该函数在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又 ，
所以 ，即函数的值域为 .
故选：B.
2．（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可.
【详解】函数 的定义域和值域都为R，A正确；
的定义域为 ，值域为 ，B错误；
的定义域为R，值域为 ，C错误；
的定义域为R，值域为 ，D错误.
故选：A
3．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知 则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，通过换元可得 ，结合反比例函数性质可得 的取值范围.
【详解】由 有意义可得 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
4．（2024·河北唐山·一模）已知函数 ，则 的最小值为（ ）
A．0 B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】由已知得 ，
所以 ，
当且仅当 即 等号成立，
则 的最小值为 .
故选：C.
5．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数 ，则对任意实数x，函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.
【详解】依题意， ，
显然 ，则 ，于是 ，
所以函数 的值域是 .
故选：C
6．（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为 .若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化复合函数 为 ， ，根据已知条件 ，确定 的取
值范围，再根据 的取值范围确定 的取值范围即可.
【详解】因为 ，令 ，所以 ；令函数 的值域为 ，因为 ，
所以 ，所以 必须能取到 上的所有值，
，解得 .
故选：B
7．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数 在 上的值域为 ，则
（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D
【分析】首先利用二次函数最值求出 ，则得到其单调性，则 ，代入计算即可.
【详解】 的对称轴为 ，则 ，解得 ，
则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ， 为方程 的两个根，
即 为方程 的两个根，所以 .
故选：D.
二、多选题
8．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的定义域为
B． 是偶函数C． 的值域为
D．
【答案】BCD
【分析】
由分母不为0判断A，奇偶性定义判断B，分离常数求解值域判断C，代值化简判断D.
【详解】
有意义，则 ，解得 ，故 的定义域为 ，A错；
的定义域关于原点对称，且 ，故 是偶函数，B对；
，
令 ，易知 在 单调递增，
故 或 ，即 的值域为 ，C正确；
，故D正确.
故选：BCD
9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则下列函数的值域也为
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案.【详解】对于A， 的图象可看作由 的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确；
对于B，由 可得 ，即 的值域为 ，错误；
对于C，函数 与函数 的图象关于y轴对称，
故函数 的值域与函数 的值域相同，为 ，正确；
对于D，由 可得 ，即 的值域为 ，错误.
故选：AC
三、填空题
10．（23-24高三下·北京·开学考试）函数 的值域为 .
【答案】
【分析】根据分段函数的性质以及反比例函数、指数函数的性质即可得到答案.
【详解】当 时， ，
当 时，则 ，即 ，
综上 的值域为 ，
故答案为： .
11．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数 的值域为 .
【答案】
【分析】先确定函数的定义域，再结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由 可得 ，故 ，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，故 ，
故函数 的值域为 ，
故答案为：
12．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数 在 上的值域是 ．
【答案】
【分析】
将函数变形为 ，再由 的取值范围及不等式的性质计算可得.
【详解】因为 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
13．（2024高三·全国·专题练习）函数 的值域为 ．
【答案】
【分析】可以通过换元法转换为求二次函数在某区间上的值域即可求解.
【详解】令 ，因为 ，所以 ，则 ，
所以原函数可化为 ，其对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
所以函数 的值域为 .故答案为： .
14．（23-24高一上·河北·阶段练习） 时， 的值域为 .
【答案】
【分析】利用换元法，令 ，结合二次函数的性质分析求解.
【详解】因为 ，令 ，则 ，
则 ， ，
可知 开口向上，对称轴为 ，且 ，
所以 在 内的值域为 ，
即 在 内的值域为 .故答案为： .
四、解答题
15．（22-23高一·全国·课堂例题）求函数 的值域．
【答案】
【分析】利用分离常数法，将原函数化简为 ，利用换元法，利用不等式的性质得函数的值域.
【详解】 ．
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以函数的值域为 ．16．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数 ， .
(1) 时，求 的值域；
(2)若 的最小值为4，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得；
（2）设 可将原函数转化为二次函数，对 的取值进行分类讨论，结合二次函数性质计算即可得.
【详解】（1）由题意得， ， ，
令 ， ， ，
当 时， ， ， 在 上单调递增，
故 ，故 的值域为 ；
（2）由（1）得 ， ，对称轴 ，
①当 时， 在 上单调递增，
，解得 ；
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
无解，舍去；③当 时， 在 上单调递减，
，解得 ，舍去；综上所述， .
17．（22-23高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知 ．
(1)若 时，求 的值域；
(2)函数 ，若函数 的值域为 ，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；
（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）由 ，则 ，
由不等式性质，则 ， ， ， ， ，
故 ，即 的值域为 .
（2）由题意， ，
由函数 的值域为 ，则 有解且 无最大值，
当 时，符合题意；
当 时，根据二次函数的性质，可得 ，
其中 ， ， ， ，解得 或 ，
综上，故 .【题型五 函数解析式的求法（五大类型）】
函数解析式的常见求法
【典例1】（22-23高一上·广东惠州·期中）（1）已知 是二次函数，且满足 ，
，求 解析式；
（2）已知 ，求 的解析式．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）设出二次函数 代入，对应系数相等即可.
（2）法一：把 的右边配成 的表达式，然后 整体换成 即可.
法二：换元 ，求出 代入找到 与 的关系，然后 换成 即可.
【详解】（1）令 ，．因为 ，所以 ，则 ．
由题意可知：
即 .
得 ，所以 ．
所以
（2）法一：配凑法
根据 ．
可以得到 ．
法二：换元法
令 ，则
．
.
9．（23-24高一上·河北·阶段练习）（1）已知 ，求 的解析式；
（2） ，求 的解析式.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据整体法即可结合换元法求解，
（2）联立方程即可求解
【详解】（1） ，
令 ，所以 ，
故 ；（2）由 可得 ，
联立可得 ，
故
一、单选题
1．（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以 为顶点且过原点的二次函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将
代入即可.
【详解】设图象是以 为顶点的二次函数 （ ）．
因为图象过原点，所以 ， ，所以 ．
故选：A
2．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数 是一次函数，且 ，则 （ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】A
【分析】设 ，根据 恒成立可得a，b，然后可解.
【详解】设 ，
则 ，整理得 ，
所以 ，解 ，
所以 ，所以 .
故选：A
3．已知函数 的定义域为R，对任意 均满足： 则函数 解析式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用方程组法求解析式即可.
【详解】由 ，可得 ①，
又 ②，①＋②得： ，解得 ，
故选：A．
4．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由二倍角公式结合换元法求出函数解析式即可求解.
【详解】因为
所以 ，
则 ，
所以 .
故选：B.5．（2024·四川·模拟预测）已知 为定义在 上的单调函数，且对 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设 ，用 求 的值，进而可得 的解析式，从而可得 .
【详解】设 ，则 ，
所以 ，即 ，
设 ，易知 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
故 ，所以 ．
故选：B．
二、多选题
6．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数 满足 ，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果.
【详解】设 ，则 ，
所以 ，解得 或 ，
则 或 ．故选：AD.
7．（23-24高一上·山西太原·期中）已知函数 则（ ）
A． B．
C． 的最小值为-1 D． 的图象与x轴有2个交点
【答案】ABC
【分析】B选项，换元法得到函数解析式；A选项，代入求解即可；C选项，配方求出函数最值；D选项，
解方程，求出答案.
【详解】B选项，令 ，得 ，则 ，
，
故 ， ，B正确；
A选项， ，A正确，
C选项， ，所以 在 上单调递增，
，C正确；
D选项，令 ，解得 或0（舍去），
故 的图象与x轴只有1个交点，D错误．
故选：ABC
三、填空题
8．（23-24高一上·湖北荆门·阶段练习）已知 满足 ，则 解析式为 ．
【答案】【分析】用 代 得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式.
【详解】由 ①
用 代 可得， ②
由 ① ②可得：
故答案为：
9．（23-24高一上·湖北·期末）函数 满足 ，请写出一个符合题意的函数 的解析
式 .
【答案】 (答案不唯一)
【详解】取 ，
则 ，满足题意.
故答案为： (答案不唯一)
10．（22-23高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足： 的函数解析式为
.
【答案】
【分析】赋值法得到 ， ，求出函数解析式.
【详解】 中，令 ，解得 ，
令 得 ，故 ，
不妨设 ，满足要求.故答案为：
四、解答题
11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式：
(1)已知 ，求 ；
(2)已知 ，求 ；
(3)已知 是一次函数，且 ，求 ；
(4)定义在区间 上的函数 满足 ，求 的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
(4)
【分析】（1）利用配凑法求解即可；
（1）利用配凑法或换元法求解即可；
（3）利用待定系数法求解即可；
（4）利用方程组法求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ．
（2）解法一（换元法）：令 ， ，则 ，
所以 ，所以 ．
解法二（配凑法）： ，
因为 ，所以 ．
（3）设 ，
则 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 或 ．
（4）对任意的 有 ，
由 ，①
得 ，②
联立①②解得， ．
12．（2023高三·全国·专题练习）定义在R上的函数f(x)满足 ，并且对任意实数x，y都有
，求 的解析式.
【答案】
【分析】对 进行赋值，解方程求得 的解析式.
【详解】对任意实数 ， ， ，
令 ，得 ，即 ，又 ，所以 .
【题型六 分段函数】
1．分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的
解析式求值．
(2)当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自
变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
3．分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段
函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
【典例1】（单选题）（2024·吉林·模拟预测）已知 若 ，则实数 的值为
（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【答案】B
【分析】分 和 ，求解 ，即可得出答案.
【详解】当 时， ，则 ，解得： （舍去）；
当 时， ，则 ，解得： .故选：B.
【典例2】（单选题）（2024·江西南昌·二模）已知 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别在 条件下化简不等式求其解可得结论.
【详解】当 时，不等式 可化为 ，
所以 ，可得 ；
当 时，不等式 可化为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以不等式 的解集是 ，
故选：B.
【典例3】（单选题）（2024·全国·模拟预测）已知 ，函数 是 上
的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.
【详解】因为函数 是减函数，所以 ．
又因为函数 5） 图像的对称轴是直线 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．又函数 是 上的减函数，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
故选:B．
一、单选题
1．（23-24高一下·陕西西安·期中）设函数 ，则 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】D
【分析】由分段函数定义，对数的运算性质及对数函数单调性，计算即可得到所求和.
【详解】因为 在 单调递增，所以 ，
所以 ，
则 ，
故选：D.
2．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.
【详解】由题意 .
故选：C3．（2024高三·全国·专题练习）设函数 则满足 的 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的大小关系可以直接根据分段函数的单调性求解，亦可画出分段函数的图像，利用数
形结合求解.
【详解】（分类讨论法）根据指数函数单调性，当 时， 单调递减；
而当 时， （为常数），
故分以下两种情况： 或 ，
解得 或 ，
综上可得 .
（数形结合法）作出 的图像，如图：
结合图像可知 或 ，
解得 或 ，
综上可得 .
故选：D
4．（2024·北京朝阳·二模）已知函数 ，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据分段函数的单调性求解即可.
【详解】当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，无最小值，
根据题意， 存在最小值，
所以 ，即 .
故选：A.
5．（2024·陕西铜川·三模）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.
【详解】 函数 在 上单调递减，
解得 .
故选：C.
6．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】首先求函数在 时函数的值域，再根据函数的值域为 ，确定 时函数的单调性和端点值的
范围，求实数 的取值范围.
【详解】当 时， 在 上单调递增，且 ，所以函数在 的值域是 .
因为函数 的值域是 .
所以当 时的函数值域应该包含 .
即 .
故选：B
二、多选题
7．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为R
C． 为增函数 D． 的图象关于坐标原点对称
【答案】ABD
【分析】根据分段函数的图象和性质，依次判断选项即可.
【详解】A：由题意知，函数 的定义域为 ，故A正确；
B：当 时， ，当 时， ，
所以函数 的值域为R，故B正确；
C：函数 在 和 上单调递增，不是增函数，故C错误；
D：如图，函数 的图象关于原点对称，所以函数 是奇函数，故D正确.
故选：ABD8．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知 ，若 ，则 所有可能的值是（ ）
A．－1 B． C．1 D．
【答案】BD
【分析】利用函数 的解析式，结合指数、对数运算可求得结果.
【详解】由已知可得
或 或 ，
解得 ，或 .
故选：BD
9．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数 的图象由如图所示的两段线段组成，则（ ）
A．
B．不等式 的解集为
C．函数 在区间 上的最大值为2D． 的解析式可表示为：
【答案】BD
【分析】由函数的图象求出函数的解析式，由此分析选项可得答案．
【详解】根据题意，由图象可得，在区间 上，函数图象为线段，经过点 和 ，
则其方程为 ，
在区间 上，函数图象为线段，经过点 和 ，
设 ， ，则 ，解得 ，
所以其方程为 ，
综合可得 ，
对于A， ，则 ，故A错误；
对于B，若 ，则有 或 ，解得 或 ，
即不等式的解集为 ，故B正确；
对于C，在区间 上， 为减函数，其最大值为 ，故C错误；
对于D，由 ，故D正确．
故选：BD．
三、填空题
10．（2024·辽宁沈阳·二模）已知函数 ，则 ．【答案】
【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.
【详解】 ， ，
，
故答案为：
11．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知函数 .若 ，则实数 的值为 .
【答案】 或
【分析】根据分段函数分段计算后可得参数的值.
【详解】由题设可得 或 ，故 或 ，
故答案为： 或 ，
12．（2024·湖北·一模）已知函数 ，则关于x的不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果.
【详解】当 时， 得 ，
当 时， ，得 ，所以 ，
综上： 的解集为 ，
故答案为： .
13．（23-24高二下·上海金山·期中）已知函数 ，则不等式 的解集为.
【答案】
【分析】结合分段函数性质可得该函数为增函数，利用增函数的性质即可得解.
【详解】当 时， 为增函数，且 ，
当 时， 为增函数，且 ，
则 在 上 为增函数，
则不等式 等价为 ，
即 ，解得： ，
即不等式的解集为 .
故答案为： .
14．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知 ，若函数 有最小值，则实数 的
最大值为 .
【答案】 /
【分析】考虑 ，求导得到函数的单调性，得到极小值，结合 时，若 ，不合要求，若 ，
在 上单调递减，进而得到不等式，求出答案.
【详解】当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，且 ，
当 时， ，
若 ， 在 上单调递增，此时 没有最小值，若 ， 在 上单调递减，
要想函数有最小值，则 ，解得 ，
故实数 的最大值为 .
故答案为：
四、解答题
15．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解析式和 求得 ，进而确定解析式，再从内到外计算 ；
（2）分 ， 分别求解，注意检验即可得解.
【详解】（1）因为 ， ，
故 ，解得 ，故 ，
所以 ， .
（2）因为 ，
当 时， ，解得 （舍去）；当 时， ，解得 或 （舍去）；
综上， .
16．（23-24高一上·四川成都·期中）函数
(1)画出函数的图象；
(2)
当 时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）．
(3)若 有四个不相等的实数根，求 的取值范围．（直接写出结果，不要求过程）
【答案】(1)图象见解析；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数图象即可；
（2）根据图象分析区间单调性，分别求出各区间端点值，即可知值域；
（3）由题意 与 有4个交点，数形结合即可确定参数范围.
【详解】（1）由解析式得图象如下，
（2）由（1）图象知： 在 、 上递增，在 、 上递递减，
且 ， ， ， ，
综上， 在 上值域为 .
（3）由函数图象知： 有四个不相等的实数根，即 与 有4个交点，
所以 .
17．（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知函数
(1)若 ，求 的值；
(2)若函数 有5个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)0或 或
(2)
【分析】（1）分 和 两种情况，结合分段函数解析式运算求解；
（2）令 ，分 和 两种情况，解得 的值为 或1，由题意可得 的图象与
、 共有5个交点，结合函数图象分析求解.
【详解】（1）若 ，则有：
当 时，可得 ，解得 ；
当 时，可得 ，则 或 ，解得 或 ；
综上所述： 的值为0或 或 .
（2）若 ，则有：当 时，可得 ，解得 ；
当 时，可得 ，则 ，解得 ；
综上所述： 的值为 或1.
令 ，可得 或 ，
即 或 ，
由题意可知： 的图象与 、 共有5个交点，
作出 的图象，如图所示，
由图可得： 或 ，解得 ，
所以实数 的取值范围 .
