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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 06 讲 函数的概念与表示（精讲）
①函数的判断与相同函数的判断
②给出函数解析式求解定义域
③抽象函数定义域的求法
④函数值域的求法（八大类型）
⑤函数解析式的求法（五大类型）
⑥分段函数
一、必备知识整合
一、函数的概念
(1)一般地，给定非空数集 ， ，按照某个对应法则 ，使得 中任意元素 ，都有 中唯一确定的 与
之对应，那么从集合 到集合 的这个对应，叫做从集合 到集合 的一个函数.记作： ，
.集合 叫做函数的定义域，记为 ，集合 ， 叫做值域，记为 .
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为 ，
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
二、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
（6）已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，遵循两
点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
三、基本初等函数的值域
(1) 的值域是 .
(2) 的值域是：当 时，值域为 ；当 时，值域为
．
(3) 的值域是 .
(4) 且 的值域是 .
(5) 且 的值域是 .
五、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函
数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域
的并集．
二、考点分类精讲
【题型一 函数的判断与相同函数的判断】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的
函数.
【典例1】（单选题）（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
一、单选题
1．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数 的对应关系如下表所示，函数 的图象是如下图
所示，则 的值为（ ）
1 2 3
4 3
A． B．0 C．3 D．4
2．（22-23高一上·北京西城·期中）下列图象中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数 图象的是（ ）A．①② B．②③ C．②④ D．①③
4．（23-24高一上·北京丰台·期中）下列图象中，表示定义域和值域均为 的函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数 是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（15-16高一上·广东揭阳·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
7．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与8．（2023高一·全国·课后作业）已知 ，在下列四个图形中，能表示集
合M到N的函数关系的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2023高三·全国·专题练习）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【题型二 给出函数解析式求解定义域】
已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f (x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为
各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函
数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
【典例1】（22-23高一上·甘肃临夏·期末）求函数 定义域：
(1) ；
(2) ．一、单选题
1．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数 ，其定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·浙江·期末）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过 落到地面击中目标．炮弹的射高为 ，
且炮弹距地面的高度 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系为 ．该函数定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
二、填空题
5．（2024·北京通州·二模）已知函数 的定义域为 ．
6．（23-24高一上·北京·期中）求函数 的定义域7．（23-24高一上·山西长治·期末）函数 的定义域为 .
8．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）求函数 的定义域 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝ 的定义域为 ．
三、解答题
10．（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域
(1)
(2)
(3)
11．（24-25高一上·全国·课后作业）设 ，且 ，求下列函数的定义域：
(1) ；
(2) ．
【题型三 抽象函数定义域的求法】
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．【典例1】求下列函数的定义域：
(1)已知函数 的定义域为[1，2]，求函数 的定义域；
(2)已知函数 的定义域[1，2]，求函数 的定义域；
(3)已知函数 的定义域[1，2]，求函数 的定义域.
一、单选题
1．（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高一上·山东菏泽·期中）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数 的定义域为 ，则函数 的定
义域为（ ）
A． B． C． D．5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义
域是 .
7．（2023高三上·全国·专题练习）已知函数 的定义域为 ，求 的定义域
.
8．（23-24高三上·河北邢台·期末）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
．
【题型四 函数值域的求法（八大类型）】
函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法:根据最基本函数值域（如 ≥0, 及函数的图像、性质、简单的计算、推
理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如 的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，
结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形 的值城，可通过换元
将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分
析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值
域，一般地，形如 ， 或 的函数值域问题可运用判别式法
（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如
或 的函数，当ac>0时可利用单调性法.
【典例1】（22-23高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域：
(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ．一、单选题
1．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知 则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北唐山·一模）已知函数 ，则 的最小值为（ ）
A．0 B．2 C． D．3
5．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数 ，则对任意实数x，函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为 .若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数 在 上的值域为 ，则
（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10二、多选题
8．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的定义域为
B． 是偶函数
C． 的值域为
D．
9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则下列函数的值域也为
的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．（23-24高三下·北京·开学考试）函数 的值域为 .
11．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数 的值域为 .
12．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数 在 上的值域是 ．
13．（2024高三·全国·专题练习）函数 的值域为 ．
14．（23-24高一上·河北·阶段练习） 时， 的值域为 .
四、解答题
15．（22-23高一·全国·课堂例题）求函数 的值域．16．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数 ， .
(1) 时，求 的值域；
(2)若 的最小值为4，求 的值.
17．（22-23高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知 ．
(1)若 时，求 的值域；
(2)函数 ，若函数 的值域为 ，求a的取值范围．
【题型五 函数解析式的求法（五大类型）】
函数解析式的常见求法【典例1】（22-23高一上·广东惠州·期中）（1）已知 是二次函数，且满足 ，
，求 解析式；
（2）已知 ，求 的解析式．
【典例2】（23-24高一上·河北·阶段练习）（1）已知 ，求 的解析式；
（2） ，求 的解析式.
一、单选题
1．（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以 为顶点且过原点的二次函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数 是一次函数，且 ，则 （ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
3．已知函数 的定义域为R，对任意 均满足： 则函数 解析式为
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024·四川·模拟预测）已知 为定义在 上的单调函数，且对 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数 满足 ，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一上·山西太原·期中）已知函数 则（ ）
A． B．
C． 的最小值为-1 D． 的图象与x轴有2个交点
三、填空题
8．（23-24高一上·湖北荆门·阶段练习）已知 满足 ，则 解析式为 ．
9．（23-24高一上·湖北·期末）函数 满足 ，请写出一个符合题意的函数 的解析
式 .
10．（22-23高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足： 的函数解析式为
.
四、解答题
11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式：
(1)已知 ，求 ；
(2)已知 ，求 ；
(3)已知 是一次函数，且 ，求 ；(4)定义在区间 上的函数 满足 ，求 的解析式．
12．（2023高三·全国·专题练习）定义在R上的函数f(x)满足 ，并且对任意实数x，y都有
，求 的解析式.
【题型六 分段函数】
1．分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的
解析式求值．
(2)当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自
变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
3．分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段
函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
【典例1】（单选题）（2024·吉林·模拟预测）已知 若 ，则实数 的值为
（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【典例2】（单选题）（2024·江西南昌·二模）已知 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（单选题）（2024·全国·模拟预测）已知 ，函数 是 上
的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（23-24高一下·陕西西安·期中）设函数 ，则 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
2．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）设函数 则满足 的 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
4．（2024·北京朝阳·二模）已知函数 ，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西铜川·三模）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
6．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为R
C． 为增函数 D． 的图象关于坐标原点对称
8．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知 ，若 ，则 所有可能的值是（ ）
A．－1 B． C．1 D．
9．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数 的图象由如图所示的两段线段组成，则（ ）
A．B．不等式 的解集为
C．函数 在区间 上的最大值为2
D． 的解析式可表示为：
三、填空题
10．（2024·辽宁沈阳·二模）已知函数 ，则 ．
11．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知函数 .若 ，则实数 的值为 .
12．（2024·湖北·一模）已知函数 ，则关于x的不等式 的解集为 ．
13．（23-24高二下·上海金山·期中）已知函数 ，则不等式 的解集为
.
14．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知 ，若函数 有最小值，则实数 的
最大值为 .
四、解答题
15．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的值.16．（23-24高一上·四川成都·期中）函数
(1)画出函数的图象；
(2)
当 时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）．
(3)若 有四个不相等的实数根，求 的取值范围．（直接写出结果，不要求过程）
17．（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知函数
(1)若 ，求 的值；
(2)若函数 有5个零点，求实数 的取值范围.
