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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 06 讲 函数的概念及其表示（精讲）
题型目录一览
①给出函数解析式求解定义域
②抽象函数定义域的求法
③函数值域的求法
④函数解析式的求法
⑤分段函数的应用
★【文末附录-函数的概念及其表示思维导图】
一、知识点梳理
1.函数的概念
(1)一般地，给定非空数集 ， ，按照某个对应法则 ，使得 中任意元素 ，都有 中唯一确定的 与
之对应，那么从集合 到集合 的这个对应，叫做从集合 到集合 的一个函数.记作： ，
.集合 叫做函数的定义域，记为 ，集合 ， 叫做值域，记为 .
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为 ，
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
2.基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
（6）已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，遵循两
点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
3.基本初等函数的值域
(1) 的值域是 .
(2) 的值域是：当 时，值域为 ；当 时，值域为
．
(3) 的值域是 .
(4) 且 的值域是 .
(5) 且 的值域是 .
4.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函
数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域
的并集．
二、题型分类精讲
题型 一 给出函数解析式求解定义域
策略方法 已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f (x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为
各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函
数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
【典例1】求下列函数的定义域：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
【答案】(1) .
(2) 且 .
(3) .
(4) 且 .
【分析】（1）根据分母不为0，列式可求出；
（2）根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0且分母不为0，列式可求出；
（3）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式可得出；
（4）根据分母不为0和二次根式的被开方数大于等于0，即可求出定义域.
【详解】（1）由题意知， ，即： ，所以这个函数的定义域为 .
（2）由题意知， ，解得： 且 ，所以这个函数的定义域为 且 .
（3）由题意知， ，解得： ，所以这个函数的定义域为 .
（4）由题意知， ，解得： 且 ，所以这个函数定义域为 且 .
【题型训练】
一、单选题1．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】D
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．
【详解】对于A， ， ，而 ， ，二者定义域不相同，不是同一函数；
对于B， ， ，而 ， ，二者定义域不相同，不是同一函数；
对于C， ，二者定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数；
对于D， ， ，二者定义域、对应法则均相同，是同一函数.
故选：D.
2．函数 定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 计算得解.
【详解】由 得 ，所以函数 定义域为 .
故选 ：A.
二、填空题
3．函数 的定义域是__________.
【答案】
【分析】根据题意可得出 所满足的不等式组，进而可得函数的定义域.【详解】由题意可得 ，解得 且 .
因此，函数 的定义域是 .
故答案为： .
4．函数 的定义域是_________．
【答案】
【分析】根据偶次开方的被开方数为非负且对数函数的真数大于0可以得到不等式组求解即可.
【详解】要使函数有意义，需
解得：
即
故答案为：
三、解答题
5．求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） ；（2）R；（3） ，且 ；（4） 且【解析】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（2）根据偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可；
（3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（4）根据偶次方根被开方数为非负实数、分式中的分母为不为零直接求解即可
【详解】解：（1） ，
，定义域为 ；
（2）不论x取什么实数，二次根式都有意义，所以定义域为R；
（3） ，
，且 ，定义域为 ，且 ；
（4） 且 .
∴定义域为 且 .
【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了数学运算能力，属于基础题.
6．已知函数 的定义域为M，
（1）求M；
（2）当 时，求 的最小值．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）根据被开方数大于等于零、分式分母不为零、对数的真数大于零求解定义域；（2）将
看成是关于 的二次函数，根据 的范围讨论 的范围来确定最小值.
【详解】解：（1）∵由题意可得
可解得
（2）∴ =又 ， ，
∴
①若 ，即 时， ，
②若 ，即 时，
所以当 即 时，
∴
【点睛】（1）常见的定义域问题中会涉及：分式分母不为零、对数真数大于零、根号下数大于等于零、
中 等；
（2）对于形如 形式的函数，可将其转化为二次函数的形式，然后完成问题的求解.
题型二 抽象函数定义域的求法
策略方法 抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．
【典例1】求下列函数的定义域：
(1)已知函数 的定义域为[1，2]，求函数 的定义域；
(2)已知函数 的定义域[1，2]，求函数 的定义域；
(3)已知函数 的定义域[1，2]，求函数 的定义域.【答案】(1)[0， ]
(2)[3，5]
(3)[2，3]
【分析】(1)由 的定义域可得 ，求出x的取值集合即可得出 的定义域；(2)由
的定义域可得 ，求出2x+1的取值集合即可得出 的定义域；(3)由 的定义域可
得 ，求出2x+1的取值集合即可得出 的定义域，进而得出2x-1的取值集合，再求出x的取值集
合即可；
(1)设 ，由于函数 定义域为[1，2]，
故 ，即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为[0， ]；
(2)设 ，因为 ，
所以 ，即 ，函数 的定义域为[3，5]，
由此得函数 的定义域为[3，5]；
(3)因为函数 的定义域为[1，2]，即 ，
所以 ，所以函数 的定义域为[3，5]，
由 ，得 ，
所以函数 的定义域为[2，3].
【题型训练】
一、单选题
1．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由函数 的定义域，可得 ，求出 的范围，即可得到函数 的定义域.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：A.
2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数 的定义域为 ，即 ，可得 ，
∴函数 的定义域为 ，
令 ，解得 ，
故函数 的定义域为 .
故选：B.
3．函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用抽象函数和分式函数的定义域求解.
【详解】解：由题意得解得 且 .
故选：D
二、填空题
4．若已知函数 的定义域为 ，则可求得函数 的定义域为 ；问实数m的值为
______．
【答案】1
【分析】分别求得 和 的取值范围，由这两个范围相同可得 值．
【详解】函数 中， ，
函数 中， ，
所以 ， ．
故答案为：1．
5．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域___________.
【答案】 或
【分析】根据函数 的定义域关系转化求解 即可得解.
【详解】已知函数 的定义域为 ，
所以函数 的定义域为 ，
在函数 中， ，
所以 或
所以函数 的定义域： 或 .
故答案为： 或
三、解答题
6．已知函数 的定义域为 .(1)求 的定义域 ；
(2)对于（1）中的集合 ，若 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由复合函数的定义域定义求解，即由已知 的范围求得 的取值范围；
（2）求出 在 时的最小值即得．
【详解】（1） 的定义域为 ，
（2）令 ，使得 成立，即 大于 在 上的最小值，
因为 在 上的最小值为 ，
实数 的取值范围为 .
7．已知函数 的定义域是 ，设 ，
(1)求 的定义域；
(2)求函数 的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为 ，最小值为
【分析】（1）根据 的定义域列出不等式即可求出；
（2）可得 ，即可求出最值.
【详解】（1） 的定义域是 ， ，因为 的定义域是 ，所以 ，解得
于是 的定义域为 .
（2）设 .
因为 ，即 ，所以当 时，即 时，
取得最小值，值为 ；
当 时，即 时， 取得最大值，值为 .
题型三 函数值域的求法
策略方法 函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法:根据最基本函数值域（如 ≥0, 及函数的图像、性质、简单的计算、推
理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如 的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，
结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形 的值城，可通过换元
将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分
析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值
域，一般地，形如 ， 或 的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如
或 的函数，当ac>0时可利用单调性法.
【典例1】试求下列函数的值域.
(1) ，
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)定义域为 ，值域为 .
(2)定义域为 ，值域为
(3)定义域为 ，值域 .
(4)定义域是 ，值域 .
【分析】（1）定义域已知，代入计算得到值域.
（2）变换 ，得到答案.
（3）确定定义域，变换 ，得到值域.
（4）设 ， ，计算得到定义域和值域.
【详解】（1）函数的定义域为 ，则 ，同理可得 ， ， ， ，所以函数的值域为 .
（2）函数的定义域为 ，因为 ，所以函数的值域为 .
（3）函数的定义域为 ，因为 ，
所以函数的值域为 .
（4）要使函数有意义，需满足 ，即 ，故函数的定义域是 .
设 ，则 ，于是 ，
又 ，所以 ，所以函数的值域为 .
【题型训练】
一、解答题
1．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝ ；
(4)y＝x＋ ．
【答案】(1)R；
(2)[2,11)；
(3){y|y≠3}；
(4)[0,＋∞).
【分析】(1)根据一次函数的图像性质即可求其值域；
(2)作二次函数在[1，5)之间的图像，数形结合即可求其值域；
(3)函数解析式分离常数法即可求其值域；
(4)利用换元法，结合二次函数的性质即可求其值域.
（1）因为x∈R，所以2x＋1∈R，即函数的值域为R．（2）y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示：
所以所求函数的值域为[2，11)．
（3）借助反比例函数的特征求．
，
显然 可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y|y≠3}．
（4）设 (x≥0)，则x＝u2(u≥0)， ，
由u≥0，可知 ≥ ，所以y≥0．
所以函数y＝x＋ 的值域为[0,＋∞)．
二、单选题2．函数 ， ，则 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数值域定义可得答案.
【详解】由题意得： .
故 的值域是 .
故选：A.
3．下列四个函数：① ；② ；③ ；④ ．其中定义域与值域相
同的函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据函数解析式分别求得每个函数的定义域和值域，即可判断出答案.
【详解】① 的定义域和值域均为R,
② ,定义域为 ，∴值域为 ，定义域与值域相同；
③ 的定义域为R，值域为 ，
定义域与值域不相同；
④ 的定义域为R，当 时， ；
当 时， ，则函数值域为R, 故函数定义域与值域相同，
所以函数定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个．
故选：C．4．下列函数中，值域是 的是（ ）
A． B． ，
C． ， D．
【答案】D
【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．
【详解】对选项A： ，即函数的值域为 ，错误；
对选项B： ，则函数在 上为减函数，则 ，即函数的值域为 ，
错误；
对选项C：函数的定义域为 ，函数的 ， 值域不连续，错误；
对选项D： ，函数的值域为 .
故选：D
三、多选题
5．已知函数 ，则（ ）．
A． 的值域是 B． 的定义域为
C． D．
【答案】ACD
【分析】由分式性质求定义域，分离常量法确定值域，进而得到 的对称中心，即可判断C、D正误.
【详解】由 ，则定义域为 ，值域为 ，
所以 是 的对称中心，则 ，
综上，A、C、D正确，B错误.
故选：ACD6．下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用配方法判断A，利用对勾函数的性质判断B，利用均值不等式判断C，利用对数函数的值域
判断D.
【详解】 ，最小值为2，选项A正确；
当 时， ，无最小值，选项B错误；
，当且仅当 ，即 时取得最小值2，选项C正确；
，所以 ， ，当 时取得最小值2，选项D正确．故选：ACD
四、填空题
7．函数 的值域为__________.（结果用区间表示）
【答案】
【分析】 ，则 ，得到 的值域.
【详解】 ，则 ，故 的值域为 .故答案为：
8．函数 的值域为________.
【答案】
【分析】应用分离常量法求函数值域即可.
【详解】由 ，又 ，则 ，所以 .
故答案为：
题型四 函数解析式的求法策略方法 函数解析式的常见求法
【典例1】（1）已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式．
（2）若对任意实数x，均有 ，求 的解析式．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）设 ，利用待定系数法求解即可；
（2）构造关于 方程组求解即可.
【详解】（1）因为 是一次函数，所以设 ， ，
又因为 ，
所以 ，整理得 ，
故 ，解得 ，所以 .
（2）因为 ①，
所以 ②，
由① ②得： ，
解得： .
【典例2】（1）已知 ，求 的解析式；
（2）已知 ，求 的解析式．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）应用换元法求函数解析式；
（2）构造方程组并作差求函数解析式.
【详解】（1）令 ，则 ，故 ，
所以 ；
（2）由题设 ①，结合 ②，
3×① ②得： ，故 .
【题型训练】
一、单选题
1．已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】利用换元法求解即可.
【详解】因为 ， ，
令 ，则 ， ，
所以 ，
故 .
故选：C.
2．一次函数 满足 ，且 ，则 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，设 .根据 ，且 ，利用待定系数法
求解即可．
【详解】由题意，设 .
∵ ，
即 ，
可得： .
又∵
即
∴ ，
∴ 的解析式为 ．
故选：A．
3．已知定义在 上的单调函数 ，其值域也是 ，并且对于任意的 ，都有 ，则等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件可得“存在 ，使得 ”，再利用给定函数关系式，求出解析式即可计
算作答.
【详解】由于 在 上单调，且值域为 ，则必存在 ，使得 ，
令 得， ，即 ，
于是 ， ，则 ，
从而 ，有 .
故选：D
4．设 是定义域为R的单调函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】换元，利用函数的单调性及函数值即可求出函数解析式，然后求函数值.
【详解】令 ，则 ，
因为 是定义域为R的单调函数，
所以t为常数，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故 .
故选：B二、填空题
5．已知函数 ，则 __________．
【答案】
【分析】利用换元法求得 ，即可求得答案.
【详解】令 ，故由 ，
可得 ，
所以 .
故答案为：
6．已知 ，则 的值域为______.
【答案】
【分析】先求出 ，再结合二次函数的性质即可得出值域.
【详解】解：令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
故 的解析式为 ，其值域为 .
故答案为： .
7．设定义在 上的函数 满足 ，则 ___________.
【答案】
【分析】利用方程组法求函数解析式，将 换成 ，两式联立即可求解.
【详解】因为定义在 上的函数 满足 ，将 换成 可得： ，将其代入上式可得：
，
所以 ，
故答案为： .
三、解答题
8．在① ，② ，③对任意实数x，y，均有
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.已知函数
满足 ，求 的解析式.
【答案】 .
【分析】选①，利用换元法即可求出函数的解析式；
选②，利用方程法即可求出函数的解析式；
选③，利用赋值法即可求出函数的解析式.
【详解】选①，令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
，
，
即 .
选②，因为 ，
所以 ，
得 ，即 .
选③，令 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 .
9．求下列函数的解析式
(1)若 ，求 的表达式．
(2)已知 ，求 的表达式．
(3)已知 是二次函数,且满足 ,求 .
【答案】(1) （ 或 ）
(2)
(3)
【详解】（1）解：令 ，当 时，则 ，当且仅当 时取等号，
当 时， ，当且仅当 时取等号，
所以， 或 ，
且 ，所以， ，其中 或 ，
因此， （ 或 ）.
解：由已知条件可得 ，解得 .（3）解:由题知 是二次函数,
不妨设 ,
因为 ,
所以 ,
即 ,
故有 ,
解得: ,
故 ;
题型五 分段函数的应用
策略方法
1．分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的
解析式求值．
(2)当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自
变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
3．分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段
函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
【典例1】已知(1)求
(2)若 ，求实数 的值
【答案】(1)
(2) 或
【分析】(1)根据分段函数解析式计算即可;
(2)分情况讨论,代入求解,再验证后得出实数 的值
【详解】（1）
（2）若 ，则 ，由 得 ，解得
若 ，则 ，由 得 ，
解得 或 ，由于 ，
综上 或
【题型训练】
一、单选题
1．设 则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式，先求 ，再求 即可.
【详解】由已知 ，
.
故选：C.
2．函数 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式可得 .
【详解】 .
故选：B.
3．已知函数 ，若 ，则实数 的值是（ ）
A． 或5 B．3或 C．5 D．3或 或5
【答案】A
【分析】根据函数解析式，分别讨论 ， 两种情况，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】若 ，则 ，∴ （ 舍去），
若 ，则 ，∴ ，
综上可得， 或 .
故选：A．
4．已知函数 是 上的增函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的性质列不等式求参数范围即可.
【详解】函数 是 上的增函数，则 在 上单调递增，故 ，
此时满足函数 在 上也是单调递增；
最后，只需在 处满足 ，综上： 的取值范围是 .
故选：D
二、多选题
5．已知函数 ，关于函数 的结论正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． D．若 ，则 的值是2
【答案】BCD
【分析】对A：根据解析式判断定义域；对B：结合一次函数、二次函数求出值域；对C：代值即可求出
结果；对D：利用函数值分段讨论求出变量的值.
【详解】对A：由题意知函数 的定义域为 ，故A错误；
对B：当 时， ；当 时， ；
则 的值域为 ，故B正确；
对C：当 时， ，故C正确；
对D：当 时， ，解得 ，不合题意；
当 时， ，解得 或 （舍去）；
综上所述：若 ，则 的值是2，故D正确；
故选：BCD．
6．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 ，称为狄利克雷函数，
则关于函数 有（ ）
A．函数 的值域为 B．C． D． ，都有
【答案】ABD
【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.
【详解】对于A，因为函数 ，所以 的值城为 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C， ， ，所以， ，C错误；
对于D，由题意，函数定义域为 ，且 ，所以， 为偶函数，
若 是有理数，则 也是有理数；若 是无理数，则 也是无理数；
所以，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 ，
对 恒成立，故 ，
所以 ，都有 ，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
7．已知函数 若 ，则实数 的值为______.
【答案】 或
【分析】根据解析式，利用代入法分类讨论进行求解即可.
【详解】当 时， ，显然满足 ；
当 时， ，或 ，而 ，
所以 ，
故答案为： 或
8．定义在 上的函数 满足 ，则 ______.
【答案】2【分析】根据分段函数，结合周期性，代入求值.
【详解】因为 ， ，所以当 时，函数的周期为5，
所以 .
故答案为：2
9．已知函数 ，若函数 的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】先求出 时， 的值域为 ；再分类讨论，分别求出 在 上的值域，根据
题意列不等式，分别求解即可.
【详解】当 时，由于 为 上的增函数，其值域为 ；
当 时， 为顶点在 开口向上的抛物线，对称轴 .
i.若 ，则二次函数的最小值为 .
要使 的值域为R，只需： ，解得： .
所以 ；
ii.若 ，则二次函数在 上单调递增，所以最小值为 .
要使 的值域为R，只需： ，解得： .
所以 ；
综上所述：实数t的取值范围是 .
故答案为：
