文档内容
第 06 讲 利用导数研究函数的零点（方程
的根） (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
高频考点二：证明唯一零点问题
高频考点三：根据零点情况求参数
①利用最值（极值）研究函数零点问题
②利用数形结合法研究函数的零点问题
③构造函数研究函数零点问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 06 讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点．（2）三个等价关系
方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数y=f (x)有零点．
2、函数零点的判定
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是 的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表：
的导函数 的图象如图所示，
则下列关于函数 的命题：
① 函数 是周期函数；
② 函数 在 是减函数；
③ 如果当 时， 的最大值是2，那么 的最大值为4；
④ 当 时，函数 有4个零点．
其中真命题的个数是
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数 有两个极
值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二）若函数 仅有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数 有三个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数 与 ，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数
1．（2022·全国·高二）设函数f (x)＝ x－ln x，则函数y＝f (x)（ ）
A．在区间 ，(1，e)内均有零点
B．在区间 ，(1，e)内均无零点
C．在区间 内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，其中 为自然对数的底数，
……，则 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）求函数 零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数 与 ，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程 的实根个数是______ ．
7．（2022·全国·高三专题练习）函数 的零点个数是__________．8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数 ，其中 ．
(1)若 存在唯一极值点，且极值为0，求 的值；
(2)若 ，讨论 在区间 上的零点个数．
9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数 ．
(1)判断函数 的单调性，并求出 的极值；
(2)求出方程 的解的个数．
高频考点二：证明唯一零点（根）问题
1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间及相应区间上的单调性；(2)证明: 只有一个零点．
2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数 ， .
(1)若 ，求 的最大值；
(2)若 ，求证： 有且只有一个零点.
3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数 .
(1)求函数 的最小值；
(2)证明：函数 仅有一个零点.
高频考点三：根据零点（根）情况求参数
①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题
1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数 在 时有极值0．
(1)求函数 的解析式；
(2)记 ，若函数 有三个零点，求实数 的取值范围．
2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 （a为常数）有3个不同的零点，求实数a的取值范围.
3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)若函数 恰有三个零点，求实数 的取值范围．
4．（2022·北京丰台·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 的斜率为1的切线方程；(2)若函数 恰有两个不同的零点，求 的取值范围．
5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求实数a的取值范围.
②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数
(1)填写函数 的相关性质；
极值
定义域 值域 零点 单调性
点
性 质
(2)通过（1）绘制出函数 的图像，并讨论 方程解的个数．
2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若关于 的方程 有三个不等实根，求实数 的取值范围.
3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数 （ ，e为自然对数的底数）.
(1)若 有两个不相等的实数根，求 的取值范围；4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数 在 时取得极值，且
在点 处的切线的斜率为 .
(1)求 的解析式；
(2)若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，若方程 有三个不同的解，求a的取值范围.
6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围．③构造函数研究函数零点（根）问题
1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数 （e为自然对数的底数）， （
）， .
(1)若直线 与函数 ， 的图象都相切，求a的值；
(2)若方程 有两个不同的实数解，求a的取值范围.
2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数 .
(1)若 与 在 处有相同的切线，求实数 的取值；
(2)若 时，方程 在 上有两个不同的根，求实数 的取值范围.
3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数 ， ， ．
(1)当 时，函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)当 时，不等式 有且仅有两个整数解，求 的取值范围．4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数 ， ．
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若当 时，关于x的方程 有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
5．（2022·河南·三模（理））已知函数 ， .
(1)判断函数 的零点个数；
6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数 ，
(1)求函数 的最值；
(2)令 ，求函数 在区间 上的零点个数，并说明理由．第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
2．（2021·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)第五部分：第 06 讲 利用导数研究函数的零点（方程
的根）（精练）
一、单选题
1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a∈R，则函数 零点的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．与a有关
2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数 在 上有零点，则m的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高二）函数 的零点个数及分布情况为（ ）
A．一个零点，在 内
B．二个零点，分别在 ， 内
C．三个零点，分别在 ， ， 内
D．三个零点，分别在 ， ， 内
4．（2022·全国·高二）直线 与函数 的图象有三个不同的交点，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二）已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数
等于（ 为自然对数的底数）（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数 ， ，其中 为自
然对数的底数，若方程 存在两个不同的实根，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数 有三个不同的零点
，且 ，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．36
8．（2022·全国·高三专题练习）已知方程 在区间 上恰有3个不等实数根，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·河南焦作·二模（理））函数 在 上有两个零点，则实数a的取值范围
是_______.
10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数 恰有3个零点，则 的取值
范围是________．
11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式 有且只有两个整数解，则实数a的范围为
___________．
12．（2022·全国·高二）已知函数 在区间 上有3个不同的极值点，
则实数a的取值范围是__________.
三、解答题
13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知 ．
(1)若2是函数 的极值点，求a的值，并判断2是 的极大值点还是极小值点；
(2)若关于x的方程 在 上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．参考数据：14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 在 上有实根，求实数a的取值范围．
15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数 .
(1)当 时，证明：函数 的图象恒在函数 的图象的下方；
(2)讨论方程 的根的个数.
16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数 ，当 时，函数 有
极值 .
(1)求函数的解析式；
(2)若关于 的方程 有三个解，求实数 的取值范围.17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的极小值点；
(2)当 时，讨论函数 的图象与函数 的图象公共点的个数，并证明你的结论．
