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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 01 讲 集合（精讲）
题型目录一览
集合的含义及其表示
集合间的基本关系
集合的交并补运算及 图的应用
集合新定义问题
一、知识点梳理
1.集合的有关概念
1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉．
4．五个特定的集合及其关系图：N*或N 表示正整数集，N表示非负整数集(或
＋
自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A
为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
∅
(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集
符号表示 A∪B A∩B
合A的补集为C A
U
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x ∉A}
【常用结论】
（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个．
（2）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（3） ．
（4） , ．
二、题型分类精讲
题型一 集合的含义与表示
策略方法 解决与集合中的元素有关问题的一般思路
【典例1】已知集合 ， ， ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知集合 ，则集合 中元素的个数是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【题型训练】
1．（2022·全国·统考高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合 ，若 ，则实数m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
3．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合 ， ，若 ，则实
数x的取值集合为（ ）A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则集合B中
所含元素个数为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
5．（2023·全国·高三专题练习）设集合 ， ，则 的元素个数是
（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
6．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则集合 中元素的个数是
（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
二、填空题
7．（2023·河北·高三学业考试）设集合 ， ， ，则 中的
元素个数为______．
8．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成 ，又可表示成 ，则
_____．
9．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，则用列举法表示集合 为______．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
的元素个数是______.
题型二 集合间的基本关系
策略方法 判断集合关系的三种方法【典例1】已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知全集 ， ，则集合B的真子集个数为
（ ）
A．63个 B．64个 C．127个 D．128个
【题型训练】
1．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知集合 满足 ，那么这
样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）已知集合 ，若 ，
则实数 的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·山东济南·一模）已知集合 ， ，若 ，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津河东·一模）已知集合 ， ， ，则实数 的值为（ ）A． B． C． D．
5．（2023·江苏·统考一模）设 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合 ， ，则 的非空子
集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
7．（2023·广西桂林·校考模拟预测）设集合 ，则集合 的真子
集的个数为（ ）个
A．3 B．4 C．7 D．15
8．（2022秋·四川·高三四川省岳池中学校考阶段练习）设集合 ， ，
则满足 的集合 的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ， ，则实数a的值是
________
10．（2022·上海·统考模拟预测）已知集合 ，若 ，则实数a的
取值组成的集合是___________．
11．（2022秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中）已知集合 ， ，若
，则 的取值集合为_______
12．（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）已知集合 ， ，集合
，则集合C的子集的个数为____________．13．（2022秋·河南安阳·高三校联考阶段练习）集合 且 的所有非空真子集的个数为
__________.
题型三 集合的基本运算
策略方法 集合运算三步骤
【典例1】已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知集合 ， ，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·统考高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．3．（2022·全国·统考高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题）已知集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（西藏拉萨市2023届高三一模数学（理）试题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知集合 ， ，
则 中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·北京朝阳·统考一模）已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·浙江杭州·高二浙江大学附属中学期中）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知全集 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．10．（2023春·湖南·高二浏阳一中校联考阶段练习）设集合 ， ，则
（ ）．
A． B． C． D．
11．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集 ，集合 ，
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·湖南·高一校联考期中）设集合 ， ，能正确表示图中阴
影部分的集合是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·广东·统考一模）已知集合 ，则下列Venn图中阴影部分可
以表示集合 的是（ ）
A． B．C． D．
14．（2023·贵州·校联考二模）已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2023·上海嘉定·统考二模）已知 ， ，则 __________．
16．（2023·上海松江·统考二模）已知集合 ， ，则 ______．
17．（2023·高三课时练习）设集合 ， ，则 ______.
18．（2023·全国·高三对口高考）已知集合 ， ，则
___________．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则 ____________.
20．（2021秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期中）已知集合A＝{y|y＝2x}，全集U＝R，则
________．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
________．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
______23．（2022秋·广东湛江·高三校考阶段练习）如图，已知集合 ，则图
中的阴影部分表示的集合为___________.
24．（2022·全国·高三专题练习）建党百年之际，影片《 》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截
止 年 月底，《长津湖》票房收入已超 亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的
其中一部影片的市民中随机抽取了 人进行调查，得知其中观看了《 》的有 人，观看了《长津
湖》的有 人，观看了《革命者》的有 人，数据如图，则图中 ___________； ___________；
___________.
25．（2022秋·陕西·高三校联考阶段练习）某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计
高一年级有 人参加田径比赛，有 人参加游泳比赛，有 人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有
人参加田径比赛，有 人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有 人；同时参加三项比赛的有
人.则高一年级参加比赛的同学有___________.
题型四 集合的新定义
策略方法 解决与集合的新定义有关问题的一般思路
1.集合的新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知
识和方法并不难，难在转化。
2.集合的新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的
定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理
解。【典例1】1．若 ， ，定义 且 （ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【题型训练】
1．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）设集合的全集为 ，定义一种运算 ，
，若全集 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和
等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合 ，集合
，则 真子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
3．（2023·全国·高三专题练习）定义 ，集合 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
4．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合 且 ，已知集合
， ， ，则 （ ）A． B． C． D．
5．（2023·全国·校联考模拟预测）对于集合 ，定义 ，且 ．若
， ，将集合 中的元素从小到大排列得到数列 ，则
（ ）
A．55 B．76 C．110 D．113
6．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合 满足：① ，② ，
必有 ，③集合 中所有元素之和为 ，则集合 中元素个数最多为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
7．（2023·全国·高三专题练习）定义集合运算 ，若集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设集合X是实数集R的子集，如果点 满足：对任意 ，都存在
，使得 ，称 为集合X的聚点，则在下列集合中：① ；②
；③ ；④ ，以0为聚点的集合有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．0
二、多选题
9．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪 直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数 史称戴德金分割 ，并把实数
理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史
上的第一次大危机 所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足
， ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割 试判
断下列选项中，可能成立的是（ ）
A． 是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
10．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）设数集 满足下列两个条件：（1）
；（2） ，若 则 . 则下论断正确的是（ ）
A． 中必有一个为0
B．a，b，c，d中必有一个为1
C．若 且 ，则
D． ，使得
11．（2023·全国·高三专题练习）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全
食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合
， ，若 与 构成“全食”或“偏食”，则实数 的取值可以是
（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）非空集合G关于运算 满足：（1）对任意a， ，都有 ；
（2）存在 ，使得对一切 ，都有 ，则称G关于运算 为“融洽集”.现给出下列
集合和运算，其中G关于运算 为“融洽集”的是（ ）
A． ， 为实数的乘法 B． ， 为整数的加法C． ， 为整数的乘法 D． ， 为多项式的加法
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合 ，其所有元素的几
何平均数记为 ，即 ．若非空数集 满足下列两个条件：① A；②
，则称 为 的一个“保均值真子集”，据此，集合 的“保均值真子集”有__个．
14．（2022·全国·高三专题练习）若集合 中任意两个元素的和差积商的运算结果都在 中，则称 是
封闭集合.下列集合：（1） （2） （3） （4） 中.封闭集合的个数为
_____.
15．（2023·全国·高三专题练习）给定数集 ，若对于任意 、 ，有 ，且 ，则
称集合 为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______：
①集合 是闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合 是闭集合；
④若集合 、 为闭集合，则 为闭集合．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， 设
整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数，则 _____.
