素养拓展4指数、对数、幂值的比较大小（精讲+精练）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 04 指数、对数、幂值比较大小（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、常规思路
1. ①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助
“媒介数”进行大小关系的判定.
3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。
二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln⁡ex (x∈R),x=eln⁡x (x>0)将要比较的三个数化为结构相
同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变
量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利
用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(ℎ(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调
性,转化为比较自变量g(x)与ℎ(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
常见指数、对数的同构函数有:
ex x
(1)y=xex与y=xln⁡x; (2)y= 与y= ;
x ln⁡x
(3)y=x+ex与y=ln⁡x+x; (4)y=ex−x与y=x−ln⁡x。
3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看
作变量x,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基
础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“x”加以表示,从而可考虑
通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.三、放缩法
1
1.ln⁡x⩽x−1(x>0)；ln⁡x⩾1− (x>0)
x
2.ex ⩾x+1(x∈R)；ex>x>ln⁡x(x>0); (1−x)ex ⩽1(x∈R)
( π)
3. sin⁡x<x<tan⁡x 0<x<
2
二、题型精讲精练
【典例1】 设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据换底公式可得 ，由对数函数的性质可得 ，从而可比较大小.
【详解】 ,
因为 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 .
又 ，所以 .
故选:A.
【典例2】已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】先对等式变形得到 ， ， ，构造 ，求导得到其单调性，结
合 ， ，得到 ， ，由 推出 ，结合函数单调性求出 ，从
而比较出大小.
【详解】由 ，同理 ， ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
可得函数 的递减区间为 ，递增区间为 ，而2 < e < 3 < 4，
又由 ， ，可得 ， ，
，
又由 及 的单调性，可知 ，故 ．故选：C．
【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过
导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，变形得到 ， ，
，从而构造 ，达到比较大小的目的.
【典例3】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简得 ，构造函数 ，通过导数可证得 ，可得，而 ，从而可得答案．
【详解】 .设 ，则有 ，
单调递减，从而 ，所以 ，故 ，即 ，而 ，故
有 ．故选：A．
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
2．（2021·全国·统考高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其在
0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，
由于
所以当0<x<2时， ，即 ， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ；
令 ，则 ， ，
由于 ，在x>0时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b<c；
综上， ，
故选：B.
[方法二]：
令，即函数 在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数 在（1，3)上单调递增
综上， ，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，
利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
3．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
【分析】由题意可得 、 、 ，利用作商法以及基本不等式可得出 、 的大小关系，由 ，
得 ，结合 可得出 ，由 ，得 ，结合 ，可得出 ，综合可得出 、
、 的大小关系.
【详解】由题意可知 、 、 ，
， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应
用，考查推理能力，属于中等题.
4．（2020·全国·统考高考真题）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真
数与 的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
【题型训练2-刷模拟】
1 . 常规思路
一、单选题
1．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】利用指对数函数的性质判断参数的大小关系即可.
【详解】因为 在 上单调递减，所以 ，即 ．
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ．
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ．
综上， ．
故选：D
2．已知实数 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用对数函数性质证明 ，利用比商法结合基本不等式比较 ，结合指数函
数性质证明 ，由此证明 ，再确定 的大小关系.
【详解】因为函数 为 上的增函数，
所以 ，
故 ，即 ，又 ， ，
故 ，则 ，
而 ，故 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
故选：B．
3．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据对数的运算可得 ，作差可推得 ，开方即可得出 .作差可得
，开方即可得出 .
【详解】因为 ，
所以 ，所以 .
因为 ， ，所以 .
因为 ，
所以， .
因为 ， ，所以 .
综上所述， .
故选：A.
4．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数的运算，分别利用对数的单调性、对数作商即可求解.
【详解】因为 ， ， ，由 ，所以 ，
由 ，而 ，则 ，所以 ，
综上： ，故选：A.
5．已知 ， ， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由幂函数和对数函数的单调性进行比较即可.
【详解】∵幂函数 在区间 上单调递减，
∴ ，即 ，
∵对数函数 在区间 上单调递增，
∴ ，即 ，
综上所述， ， ， 的大小关系为 .
故选：D.
6．设 ，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性证明 ，利用对数函数单调性证明 ，即可得到正确结
论.
【详解】指数函数 ， 为 减函数，
∴ ，∵幂函数 为 增函数，
∴ ，
∴ ，
∵对数函数 为 减函数，
∴ ，即 ，
∴ .
故选：A.
2 . 构造函数
一、单选题
1．（2023春·北京·高三北京铁路二中校考期中）设 ， ， （ ），则a，b，c
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数 的单调性对a，b，c进行大小比较即可.
【详解】令 ，则
由 ，得 ，由 ，得
则 在 单调递减，在 单调递增，在 时取最小值.
故 ，且
又由 ，可得 ，则
即 ，则
综上，有 ，即故选：A
2．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过构造函数，利用导数研究单调性的方法比较大小.
【详解】 ，
令 ，则 ，
设 ，有 ，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，从而 ，
所以 在 上单调递增，于是 ，即 ；
，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，于是 ，即 ，所以 .
故选：A.
3．（2023秋·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考期末）设 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，利用作差法，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案.
【详解】①
令 ，则 ，故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
②
令 ，则 ，
令 ，所以 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 .
故 .
故选：B.
4．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）设 ， ， ，则a、b、
c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用 ，构造 且 研究单调性比较 大小，构造
且 研究单调性判断函数值符号比较 的大小，即可得结果.
【详解】由 ，
因为 ， ，则 ， ，
令 且 ，则 ，则 递减，
所以 ，即 ，则 ，故 ；
因为 ， ，由 ，
令 且 ，则 ，则 递增；故 ， ，而 ，
所以 ，则 ，即 ，
综上， .
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用中间值得到 ，构造 利用导数研究单调性比较
，作差法并构造 研究函数值符号比较 大小.
5．（2023·全国·高三专题练习） ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先构造函数 ，通过求导判断单调性，比较出b和c的大小；再找中间值 和 ，通
过构造函数 ，证明 ，判断 ，构造函数 ，通过单调性判断
，于是证明 ，即可求得a、b、c的大小关系.
【详解】令
则 ，显然
即 单调递减，所以 ，即 ， .
令
则 ，即 在 上单调递增
所以 ，即 ，
所以令
则
当 时， ，即 在 上单调递增
又 ，所以当 时，
所以 ，即
即 ，
又 ，所以 ，即 .
综上： .
故选：C.
6．（2023秋·江苏宿迁·高三统考开学考试）已知 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】注意到 ， .
后构造函数 ，可判断b与c大小.
【详解】注意到 ， .则 .
令 ，其中 .
则 ，
得 在 上单调递增，在 上单调递减.则 ，
又函数 在R上单调递增，则 ，即 .故 ．
故选：D
【点睛】方法点睛：比较代数式大小的常见方法有：（1）利用函数单调性；（2）利用中间量；（3）构
造函数.
7．（2023·新疆·统考一模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别构造函数 ，利用导数判断函数的单调性
即可求解.
【详解】依题意，
令 ，则 ，
当 时， ，
所以 在 上是增函数，
所以 ，
即 ，
所以 ；
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ；令 ，则 ，
令 ，则 ，
易得 在 上是增函数，
且 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上是减函数，
又因为 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上是减函数，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 .故选：A.
【点睛】本题考查了导数的综合应用及构造函数法的应用，属于难题.
8．（2023·新疆乌鲁木齐·高三统考阶段练习）设 ， ， ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知， ，利用幂函数 的单调性可得， ，构造函数
，通过求导判断函数 的单调性，利用函数 判断 的大小关系即可.
【详解】由题意知， ，因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，即 ；令 ，
则 ，所以 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，综上可知， .故选：C
【点睛】本题考查通过求导判断函数的单调性、利用函数的单调性比较大小；考查运算求解能力和函数与
方程的思想；通过构造函数 ，利用函数的单调性比较 的大小是求解本题的关
键；属于难度较大型试题.
9．（2023春·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数可求得 ， ；分别代入 和 ，整理可得 的大小关系.
【详解】令 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ， ，
，即 ；
令 ，则 ，当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
（当且仅当 时取等号）， ，
即 （当且仅当 时取等号）， ，即 ；
综上所述： .
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两
个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数
的大小关系.
10．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于 ，所以构造函数 ，利用导数判断其为减函数，从而可比较
出 ，进而可比较出 的大小，同理可比较出 的大小，即可得答案
【详解】∵ ，构造函数 ， ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单减，∴ ，故 ，
∴ 在 上单减，∴ ，
∴ ∴ .∴ ，同理可得 ， ，故 ，故选：A11．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）设 ．则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据自然常数的定义和指数幂的运算性质可知 、 ，构造函数 ，利用
导数研究函数的单调性可得 ，进而可得 ，即可得出结果.
【详解】由 ，故 ；
，故 ；
假设 ，有 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
而 ，则 ，所以 成立， ；
故 ．
故选：A．
12．（2023秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关
系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数 单调性可比较a，b大小；通过研究函数 单调性可比较b，c
大小，即可得答案.
【详解】因函数 在 上单调递减，又 ，
则 ，即 ；注意到 ， .则 .
构造函数 ，则 ，
令 在 上单调递增，
又 ， ，
则 ，即 .
综上， .
故选：B
【点睛】关键点睛：本题涉及比较代数式大小，常利用函数单调性与构造函数解决问题.构造函数的关键，
为找到需比较大小代数式间的联系.
13．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ， ，通过其单调性后可得 ，整理后可得 ；构造
函数 ，由 及 单调性可得 ，则可得 .
【详解】构造函数 ， ，则 ，
得 在 上单调递减，又 ，则 ，即 .
构造函数 ，则 .
令 ，则 在 上单调递增.
又注意到， ，
则 ，即 .
故 ，即 .
综上所述， .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题涉及比较指数式与分数的大小，难度较大.本题因难以估值及找中间量，故采用
构造函数法比较大小，而构造函数的关键为找到比较式子间的关系.
14．（2023·广西河池·校联考模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】方法1，构造函数 ，利用其单调性可得 ， .后利用函数
单调性可得 ；方法2，注意到 ，利用
单调性可得 ； ，则 ，利用
单调性可得 .
【详解】方法1:设 ，因为 ，当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增.
注意到 ；
.
设 ，则 .
令 ， ，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，即 .
故选：A．
方法 ： ， ， .
① ，令 ，
则 ，故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，令 ，则 .
令 ， .所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 .
即 ，所以 ．故 ．
故选：A
【点睛】关键点睛：比较大小问题常利用作差法和构造函数法，关键为找到代数式间的联系，在本题中
多次出现，故将其变为 ，即可得到解析中所涉及函数.
3 . 放缩法
1．（2023·全国·高三专题练习）若2a+log ⁡a=4b+2log ⁡b,则
2 4
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2
【解析】将条件等价变形为2a+log ⁡a=22b+log ⁡b,可知2a+log ⁡a<22b+log ⁡2b.
2 2 2 2
构造函数g(x)=2x+log ⁡x,则g(x)在(0,+∞)单调增,可得a<2b.选B.
2
ln⁡a b
2．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a,b,c满足 = =c,b>1,则( )
ea eb
A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b
【解析】由b>1,可知ln⁡a>0,a>1.由不等式ex ⩾x+1(x∈R),可知eb>b+1>b.所以0<c<1,可得
ln⁡a b b a
a>c,b>c.由不等式ln⁡x⩽x−1(x>0),得ln⁡a<a−1<a.结合条件 = ,得 < .
ea eb eb ea
x 1−x
构造函数f(x)= (x>1),则f′ (x)= <0,f(x)单调减.由f(b)<f(a),可知b>a.所以选B.
ex ex
3．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先利用 常见的不等式，估计出 的范围，精确估计出 ，然后利用作商法比较
大小.
【详解】先证明两个不等式：
（1） ，设 ，则
，即 在 上单调递减，故
，即 成立
（2） ，设 ，则
，即 在 上单调递增，故
，即 成立
再说明一个基本事实，显然 ，于是 .
由（1）可得，取 ，可得 ；
由（2）可得，取 ，可得 ，再取 ，可得 ，即 .
，显然 ，于是 ；
，显然 ，于是 .故 .
故选：B
4
28．（2023春·湖北武汉·高三校联考期末）设a= ，b=ln1.04，c=e0.04−1，则下列关系正确的是
104
（ ）A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
【答案】D
x
【分析】分别令f (x)=ex−1−x(x>0)、g(x)=ln(1+x)−x(x>0)、ℎ(x)=ln(1+x)− (x>0)，利用
1+x
导数可求得f (x)>0，g(x)<0，ℎ(x)>0，由此可得大小关系.
【详解】令f (x)=ex−1−x(x>0)，则f'(x)=ex−1>0，
∴f (x)在(0,+∞)上单调递增，∴f (x)>f (0)=0，即ex−1>x，则e0.04−1>0.04；
1 x
令g(x)=ln(1+x)−x(x>0)，则g'(x)= −1=− <0，
1+x 1+x
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减，∴g(x)<g(0)=0，即ln(1+x)<x，则ln1.04<0.04；
∴e0.04−1>ln1.04，即c>b；
x 1 1 x
令ℎ(x)=ln(1+x)− (x>0)，则ℎ '(x)= − = >0，
1+x 1+x (1+x) 2 (1+x) 2
x
∴ℎ(x)在(0,+∞)上的单调递增，∴ℎ(x)> ℎ(0)=0，即ln(1+x)> ，
1+x
0.04 4
则ln1.04> = ，即b>a；
1.04 104
综上所述：c>b>a.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较
问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.