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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 04 指数、对数、幂值比较大小（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、常规思路
1. ①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助
“媒介数”进行大小关系的判定.
3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。
二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=lnex (x∈R),x=elnx (x>0)将要比较的三个数化为结构相
同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变
量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利
用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(ℎ(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调
性,转化为比较自变量g(x)与ℎ(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
常见指数、对数的同构函数有:
ex x
(1)y=xex与y=xlnx; (2)y= 与y= ;
x lnx
(3)y=x+ex与y=lnx+x; (4)y=ex−x与y=x−lnx。
3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看
作变量x,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基
础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“x”加以表示,从而可考虑
通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.三、放缩法
1
1.lnx⩽x−1(x>0)；lnx⩾1− (x>0)
x
2.ex ⩾x+1(x∈R)；ex>x>lnx(x>0); (1−x)ex ⩽1(x∈R)
( π)
3. sinx0时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b2b B.a<2b C.a>b2 D.a1,则( )
ea eb
A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b
【解析】由b>1,可知lna>0,a>1.由不等式ex ⩾x+1(x∈R),可知eb>b+1>b.所以0c,b>c.由不等式lnx⩽x−1(x>0),得lna1),则f′ (x)= <0,f(x)单调减.由f(b)a.所以选B.
ex ex
3．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先利用 常见的不等式，估计出 的范围，精确估计出 ，然后利用作商法比较
大小.
【详解】先证明两个不等式：
（1） ，设 ，则
，即 在 上单调递减，故
，即 成立
（2） ，设 ，则
，即 在 上单调递增，故
，即 成立
再说明一个基本事实，显然 ，于是 .
由（1）可得，取 ，可得 ；
由（2）可得，取 ，可得 ，再取 ，可得 ，即 .
，显然 ，于是 ；
，显然 ，于是 .故 .
故选：B
4
28．（2023春·湖北武汉·高三校联考期末）设a= ，b=ln1.04，c=e0.04−1，则下列关系正确的是
104
（ ）A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
【答案】D
x
【分析】分别令f (x)=ex−1−x(x>0)、g(x)=ln(1+x)−x(x>0)、ℎ(x)=ln(1+x)− (x>0)，利用
1+x
导数可求得f (x)>0，g(x)<0，ℎ(x)>0，由此可得大小关系.
【详解】令f (x)=ex−1−x(x>0)，则f'(x)=ex−1>0，
∴f (x)在(0,+∞)上单调递增，∴f (x)>f (0)=0，即ex−1>x，则e0.04−1>0.04；
1 x
令g(x)=ln(1+x)−x(x>0)，则g'(x)= −1=− <0，
1+x 1+x
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减，∴g(x)ln1.04，即c>b；
x 1 1 x
令ℎ(x)=ln(1+x)− (x>0)，则ℎ '(x)= − = >0，
1+x 1+x (1+x) 2 (1+x) 2
x
∴ℎ(x)在(0,+∞)上的单调递增，∴ℎ(x)> ℎ(0)=0，即ln(1+x)> ，
1+x
0.04 4
则ln1.04> = ，即b>a；
1.04 104
综上所述：c>b>a.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较
问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.
