文档内容
专题05 有理数的乘方（知识大串讲）
【知识点梳理】
考点1 乘方
（1）正数的任何次幂都是正数
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
（3）0的任何正整数次幂都是0
考点2 有理数的混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运
算时，要分两步走：先确定符号，再求值。
考点3 科学计数法
1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，
n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚
注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1
2.近似数的精确度：两种形式
（1）精确到某位或精确到小数点后某位。
（2）保留几个有效数字
注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示
例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105
3.有效数字：从一个数的左边第一个非 0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数
的有效数。
注：（1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的
（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。
例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。【典例分析】
【考点1 有理数的乘方】
【典例1】（2021秋•偃师市期末）下面各组数中，相等的一组是（ ）
A．﹣22与（﹣2）2 B． 与
C．﹣|﹣2|与﹣（﹣2） D．（﹣3）3与﹣33
【答案】D
【解答】解：﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，
∴﹣22≠（﹣2）2，
故A不符合题意；
∵ ＝ ，（ ）2＝ ，
∴ ≠（ ）2，
故B不符合题意；
∵﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣2）＝2，
∴﹣|﹣2|≠﹣（﹣2），
故C不符合题意；
∵（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，
故D符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2022秋•胶州市校级月考）下列各数中，数值不同于其他三个的是（ ）
A．﹣（﹣1） B．（﹣1）2 C．﹣12 D．|﹣1|
【答案】C
【解答】解：A．根据相反数的定义，﹣（﹣1）＝1；
B．根据有理数的乘方，（﹣1）2＝1；
C．根据有理数的乘方，﹣12＝﹣1；
D．根据绝对值的意义，|﹣1|＝1，
综上：只有C中﹣1与A、B、C中的数字不同．故选：C．
【变式 1-2】（2022 秋•胶州市校级月考）比较﹣33与（﹣3）3，下列说法正确的是
（ ）
A．它们的底数相同，指数也相同
B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
C．它们底数相同，但指数不相同
D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同
【答案】D
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，
∴（﹣3）3和﹣33底数不同，运算结果相同．
故选：D．
【考点2 有理数的运算】
【典例2】（2022春•梁山县期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，则x+y的值等于（ ）
A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或5
【答案】C
【解答】解：∵|x|＝2，y2＝9，
∴x＝±2，y＝±3，
∵x＞y，
∴当x＝2，y＝﹣3时，x+y＝﹣1；
当x＝﹣2，y＝﹣3时，x+y＝﹣5；
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•崇川区期末）若m2＝25，|n|＝3，且m+n＜0，则m﹣n的值是（
）
A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8或﹣2 D．﹣8或2
【答案】C
【解答】解：∵m2＝25，|n|＝3，
∴m＝±5，n＝±3，
∵m+n＜0，
∴当m＝﹣5，n＝﹣3时，m﹣n＝﹣5+3＝﹣2；
当m＝﹣5，n＝3时，m﹣n＝﹣5﹣3＝﹣8；
故选：C．【变式2-2】（2021秋•北碚区校级期末）已知x2＝1，|y|＝2，且x＞y，则x﹣y的值为（
）
A．1或3 B．1或﹣3 C．﹣1或﹣3 D．﹣1或3
【答案】A
【解答】解：∵x2＝1，|y|＝2且x＞y，
∴x＝±1，y＝﹣2，
当x＝1，y＝﹣2时，则x﹣y＝3，
当x＝﹣1，y＝﹣2时，则x﹣y＝1．
故选：A．
【考点3 非负性的性质：偶次方】
【典例3】（2022春•怀集县期末）已知|a﹣2|+（b+ ）2＝0，则 的值为（ ）
A． ﹣2 B．﹣ ﹣2 C．2+ D．2﹣
【答案】C
【解答】解：∵|a﹣2|+（b+ ）2＝0，而|a﹣2|≥0，（b+ ）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+ ＝0，
解得a＝2，b＝﹣ ，
∴ ，
故选：C．
【变式3-1】（2022春•崇川区期末）已知|x﹣6|+（x﹣y﹣m）2＝0，且y＜0，则m的取值
范围是（ ）
A．m＞﹣6 B．m＜﹣6 C．m＞6 D．m＜6
【答案】C
【解答】解：∵|x﹣6|+（x﹣y﹣m）2＝0，
∴x﹣6＝0，x﹣y﹣m＝0，
∴x＝6，y＝6﹣m．
∵y＜0，
∴6﹣m＜0，∴m＞6．
故选：C．
【变式3-2】（2021秋•宁明县期末）若（m﹣2）2与|n+3|互为相反数，则（m+n）2021的值
是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2021 D．﹣2021
【答案】A
【解答】解：∵（m﹣2）2与|n+3|互为相反数，
∴（m﹣2）2+|n+3|＝0，
∴m﹣2＝0，n+3＝0，
∴m＝2，n＝﹣3，
∴（m+n）2021＝（2﹣3）2021＝﹣1．
故选：A．
【考点4 乘方的应用】
【典例4】（2022春•锡山区期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23
＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，9）＝ ，（4，1）＝ ，（2， ）＝ ；
（2）若记（3，4）＝a，（3，7）＝b，（3，28）＝c，求证：a+b＝c．
【解答】解：（1）∵32＝9，40＝1，2﹣3＝ ，
故答案为：2；0；﹣3；
（2）证明：由题意得：3a＝4，3b＝7，3c＝28，
因为4×7＝28，
所以3a×3b＝3c，
所以3a+b＝3c，
所以a+b＝c．
【变式4】（2022春•瑶海区期末）如果ac＝b，那么规定（a，b）＝c．例如：如果24＝
16，那么（2，16）＝4．
（1）根据规定，（6，1）＝ ， ＝ ．
（2）记（3，6）＝a，（9，15）＝b，（9，x）＝2c，若a+2b＝4c，求x值．【解答】解：（1）∵ ，
∴（6，1）＝0，（4， ）＝﹣3，
故答案为：0；﹣3；
（2）∵（3，6）＝a，（9，15）＝b，（9，x）＝2c，
∴3a＝6，9b＝15，92c＝x，
∴3a•9b•92c＝6×15x，
∴3a•32b•34c＝90x，
∴3a+2b+4c＝90x，
∵a+2b＝4c，
∴38c＝90x，
∴（92c）2＝90x，
∵92c＝x，
∴x2＝90x，
解得x＝0（舍）或x＝90．
【考点5 有理数的混合运算】
【典例5】（2021秋•中牟县期末）计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝﹣3×（﹣5）﹣3× +3× +1
＝15﹣7+1+1
＝10；
（2）原式＝16÷（﹣8）﹣（﹣4）﹣3
＝﹣2+4﹣3
＝﹣1
【变式5-1】（2021秋•巩义市期末）计算：
（1）﹣22+18÷3×（﹣ ）+1÷（﹣ ）2；（2）35× +（﹣35）× ．
【解答】解：（1）﹣22+18÷3×（﹣ ）+1÷（﹣ ）2
＝﹣4+6×（﹣ ）+1÷
＝﹣4﹣2+1×16
＝﹣4﹣2+16
＝10；
（2）35× +（﹣35）×
＝35×（ ﹣ ﹣ ）
＝35×0
＝0．
【变式5-2】（2022秋•二道区校级月考）计算：
（1）（﹣23）﹣（﹣58）+（﹣17）；
（2）（﹣8）÷（﹣1 ）×0.125；
（3）（﹣ ﹣ + ）×（﹣60）；
（4）﹣22×|﹣ |+（﹣ ）3÷（﹣1）2021．
【解答】解：（1）原式＝﹣23+58﹣17
＝18；
（2）原式＝8× ×
＝ ；
（3）原式＝ ×60+ ×60﹣ ×60
＝20+15﹣4
＝31；
（4）原式＝﹣4× +（﹣ ）÷（﹣1）＝﹣1+
＝﹣ ．
【考点6 科学计数法-表示较大的数】
【典例6】（2021秋•钱塘区期末）据科学家估计，地球的年龄大约是 4600000000年，将
数据4600000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.46×1010 B．46×108 C．4.6×1010 D．4.6×109
【答案】D
【解答】解：4600000000＝4.6×109．
故选：D．
【变式6-1】（2021秋•玄武区期末）2021年上半年，南京市的GDP总额达到了7622.8亿
元，将7622.8亿用科学记数法表示为（ ）
A．7.6228×1012 B．7.6228×1011
C．0.76228×1012 D．0.76228×1013
【答案】B
【解答】解：7622.8亿＝762280000000＝7.6228×1011．
故选：B．
【变式6-2】（2022•衡阳）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．
截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法
可表示为a×109的形式，则a的值是（ ）
A．0.339 B．3.39 C．33.9 D．339
【答案】B
【解答】解：339000万＝3390000000＝3.39×109，
∴a＝3.39，
故选：B．
【考点7 近似数和有效数】
【典例7】（2022春•道外区期末）利用“四舍五入”法，把数25.395精确到0.01所得的
近似数是（ ）
A．25.39 B．25.40 C．25.4 D．25.3
【答案】B
【解答】解：25.395≈25.40．故选：B．
【变式7-1】（2022春•杨浦区校级期中）在近似数0.0270中，共有（ ）有效数字．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解答】解：近似数0.0270中，有效数字为：2，7，0，共有3个有效数字．
故选：C．
【变式7-2】（2021秋•射阳县校级期末）小明体重为 48.94kg，这个数精确到十分位的近
似值为（ ）
A．48kg B．48.9kg C．49kg D．49.0kg
【答案】B
【解答】解：48.94kg精确到十分位的近似值为48.9kg．
故选：B．
