第07讲函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（精讲）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第 07 讲 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（精 讲） 题型目录一览 ①函数单调性的判断与证明 ②求函数的单调区间 ③复合函数的单调性 ④函数单调性的应用 ⑤函数的最值（值域） ★【文末附录-函数的单调性与最值思维导图】 一、知识点梳理 1.函数的单调性 DD I x x x  x （1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间 上的任意两个自变量 1、 2，当 1 2时，都有 f x  f x  f x 1 2 ，那么就说函数 在区间D上是增函数； DD I x x x  x （2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间 上的任意两个自变量 1、 2，当 1 2时，都有 f x  f x  f x 1 2 ，那么就说函数 在区间D上是减函数. （3）【特别提醒】 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． ②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连 接． 2.函数的最值 y  f x （1）最大值：一般地，设函数 的定义域为I ，如果存在实数M 满足： xI f xM x I f x M ①对于任意的 ，都有 ；②存在 0 ，使得 0 . y  f x 那么，我们称M 是函数 的最大值.y  f x （2）最小值：一般地，设函数 的定义域为I ，如果存在实数 m 满足： xI f xm x I f x m ①对于任意的 ，都有 ；②存在 0 ，使得 0 . y  f x m 那么，我们称 是函数 的最小值. （3）函数最值存在的两个结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 【常用结论】 1.∀x，x∈D(x≠x)， ⇔f(x)在D上是增函数； ⇔f(x)在D上是减函数． 1 2 1 2 2.对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－ ]和[ ，＋∞)，减区间为[－ ，0)和(0， ]． 3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． 4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． 5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝ 的单调性相反． 6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”． 二、题型分类精讲 题型 一 函数单调性的判断与证明 策略方法 1.定义法证明函数单调性的步骤 2.判断函数单调性的四种方法 (1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法．3.证明函数单调性的两种方法 (1)定义法；(2)导数法． 【典例1】设函数 ，指出 在 上的单调性，并用定义法证明你的结论． 【题型训练】 一、单选题 1．设函数 满足：对任意的 都有 ，则 与 大小关系是 （ ） A． B． C． D． 2．设函数 的定义域为 ，已知 为 上的减函数， ， ，则 是 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 3．若 ，则函数在 上的值域是______________． 4．对于函数 定义域内的任意 且 ，给出下列结论： （1） （2） （3）（4） 其中正确结论为： 三、解答题 5．根据定义证明函数 在区间 上单调递增. 6．已知函数 . (1)求 的解析式; (2)判断并证明函数 在 上的单调性. 7．设 对任意的 有 ，且当 时， . (1)求证 是 上的减函数； (2)若 ，求 在 上的最大值与最小值. 题型二 求函数的单调区间 策略方法 求复合函数单调区间的一般步骤 (1)求函数的定义域(定义域先行)． (2)求简单函数的单调区间． (3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”． 【典例1】已知函数 (1)画出函数图象 (2)结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间.【题型训练】 一、单选题 1．函数 ， 的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 2．函数 的单调增区间是（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 3．如果函数 在区间 上是减函数，且函数 在区间 上是增函数，那么称函数 是 区间 上的“可变函数”，区间 叫做“可变区间”.若函数 是区间 上的“可变函数”， 则“可变区间” 为（ ） A． 和 B． C． D． 二、填空题 4．函数 的单调减区间为___________. 5．函数 的单调增区间是___________. 三、解答题 6．已知二次函数 的最小值为1，且满足 ， ，点 在幂函数 的图像上． (1)求 和 的解析式； (2)定义函数 试画出函数 的图象，并求函数 的定义域、值域和单调区 间．7．已知函数 ．（其中 ） (1)求函数 的单调增区间； (2)若对任意 ，使得 恒成立，求实数a的取值范围． 8．已知函数 （a为正常数），且函数 与 的图象在y轴上的截距相 等． (1)求a的值； (2)求函数 的单调递增区间； 题型三 复合函数的单调性 策略方法 集合运算三步骤【典例1】函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【题型训练】 一、单选题 1．函数 的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 2．已知 在 上是减函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 则 的大致图像是（ ） A． B． C． D．二、填空题 4．函数 的单调递减区间是____________. 5．已知 在 上是严格减函数，则实数a的取值范围是______. 6．已知函数 且 在区间 上单调递减，则实数a的取值范围是 ___________. 三、解答题 7．已知函数 为奇函数． (1)求常数 的值； (2)判断函数 在 上的单调性． 8．已知函数 (1)若 ，求 的定义域. (2)若函数在区间 上是减函数，求实数a的取值范围. 题型四 函数单调性 的应用 策略方法 1．比较函数值大小的解题思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同 一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 2．求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x))＞f (h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉 “f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域． 3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间 比较求参数． (2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系． 【典例1】已知函数 在 上单调，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数 ，若 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【题型训练】 一、单选题 1．“ ”是“ 在 上单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若函数 在 上单调递增，则实数 的范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 在 上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数 满足对任意 ，当 时都有 成立，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数 是定义域为 的减函数，若 ，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞,0]上单调递减，则满足 的实数x的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知偶函数 的定义域为 ，且对于任意 均有 成立，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则 的解集为（ ）A． B． C． D． 二、填空题 10．已知函数 与 在区间 上都是减函数，那么 __________. 11．已知函数 ,在 为单调函数，则实数a的取值范围为______． 12．已知函数 ，则不等式 的解集是_________． 13．奇函数f(x)是定义域为(－1，1)上的减函数，且f(2a－1)＋f(a－1)>0，则a的取值范围是________． 三、解答题 14．已知函数 ，其中 为常数. (1)该函数在 严格单调，求 的取值范围； (2)若对任意的 恒成立，求实数 的取值范围； 15．设 ，其中 ． (1)若函数 是奇函数，求 的值； (2)若函数 在 上是严格减函数，求 的取值范围． 16．已知函数 ，且 为奇函数． (1)判断函数 的单调性并证明； (2)解不等式： ．题型 五 函数的最值（值域） 策略方法 求函数最值的五种常用方法 【典例1】已知二次函数 ， ，且 . (1)求函数 的解析式； (2)求函数 在区间 上的值域． 【典例2】函数 在 时有最大值为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【典例3】已知 为正的常数，若不等式 对一切非负实数 恒成立，则 的最大值为 ________. 【题型训练】一、单选题 1．函数 的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D．以上都不对 2．已知函数 ，若 在区间 上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ） A． B． C． D． 3． ， ，若对任意的 ，存在 ，使 ，则a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若 ，则函数在 上的值域是______________． 5．正数a，b满足 ，若不等式 恒成立，则实数m的取值范围________． 6．写出使不等式 恒成立的一个实数 的值__________． 7．已知 ，对 恒成立，则实数 的取值范围_______． 三、解答题 8．已知二次函数 ，且关于x的不等式 的解集为 ． (1)求实数a，b的值； (2)若不等式 对 恒成立，求实数m的取值范围． 9．已知函数 ． (1)若 ，解关于 的方程 .(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围． 【附录-函数的单调性与最值思维导图】