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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 52 讲 随机事件的概率与古典概型（精讲）
题型目录一览
①随机事件关系与运算
②频率与概率
③互斥事件与对立事件
④古典概型Ⅰ-简单的古典概型问题
⑤古典概型Ⅱ-与排列组合结合
一、知识点梳理
一、随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 表示．
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
1.试验可以在相同条件下重复进行；
2.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
3.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
二、样本空间
我们把随机试验 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验 的样本空间，一般
地，用． ．表示样本空间，用 表示样本点，如果一个随机试验有 个可能结果 ， ，…， ，则
称样本空间 为有限样本空间．
三、随机事件和确定事件
1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们
将样本空间 的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当
中某个样本点出现时，称为事件 发生．
作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以 总会发生，我们
2.
称 为必然事件．
3.空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为 为不可能事件．
4.确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．
四、事件的关系与运算
①包含关系：一般地，对于事件 和事件 ，如果事件 发生，则事件 一定发生，这时称事件 包含事
件 （或者称事件 包含于事件 ），记作 或者 ．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：
不可能事件记作 ，任何事件都包含不可能事件．
②相等关系：一般地，若 且 ，称事件 与事件 相等．与两个集合的并集类比，可用下图表
示：
③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件 发生或事件 发生，则称此事件为事件 与事件 的
并事件（或和事件），记作 （或 ）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件 发生且事件 发生，则称此事件为事件A与事件B的
交事件（或积事件），记作 （或 ）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：
五、互斥事件与对立事件
1.互斥事件：在一次试验中，事件 和事件 不能同时发生，即 ，则称事件 与事件 互斥，可
用下图表示：
如果 ， ，…， 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件 ，． ．，…， 彼此互斥．
2.对立事件：若事件 和事件 在任何一次实验中有且只有一个发生，即 不发生， 则
称事件 和事件 互为对立事件，事件 的对立事件记为 ．
3.互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一
必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条
件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．六、概率与频率
1.频率：在 次重复试验中，事件 发生的次数 称为事件 发生的频数，频数 与总次数 的比值 ，叫
做事件 发生的频率．
2.概率：在大量重复尽心同一试验时，事件 发生的频率 总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这
时，就把这个常数叫做事件 的概率，记作 ．
3.概率与频率的关系：对于给定的随机事件 ，由于事件 发生的频率 随着试验次数的增加稳定于概率
，因此可以用频率 来估计概率 ．
七、随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件 的概率用 表示.
八、古典概型
1.定义：一般地，若试验 具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验 是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本点，则定义事件
的概率 .
注：（1）解决古典概型的问题要注意清楚以下三个方面
①本试验是否具有等可能性；
②本试验的基本事件有多少个；
③事件 是什么．
（2）一般解题步骤：
①仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
②判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 ；
③分别求出基本事件的个数 与所求事件 中所包含的基本事件个数 ；
④利用公式 求出事件 的概率．
九、概率的基本性质
1.对于任意事件 都有： ．2.必然事件的概率为 ，即 ；不可能事概率为 ，即 ．
3.概率的加法公式：若事件 与事件 互斥，则 ．
推广：一般地，若事件 ， ，…， 彼此互斥，则事件发生（即 ， ，…， 中有一个发生）的概
率等于这 个事件分别发生的概率之和，即： ．
4.对立事件的概率：若事件 与事件 互为对立事件，则 ， ，且
．
5.若 ， 是一次随机实验中的两个事件，则 ．
二、题型分类精讲
题型 一 随机事件关系与运算
【典例1】连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件 {两次出现的点数相同}，事件 {两次出
现的点数之和为4}，事件 {两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件 {两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件 ， ；
(2)若事件 ，则事件E与已知事件是什么运算关系？
【题型训练】
一、单选题
1．已知 ， ，如果 ，那么 （ ）
A．0.18 B．0.42 C．0.6 D．0.7
2．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.3，是不可能事件的概率为0.1，则这
10个事件中具有随机性的事件的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件 ，“向上的面至少有一枚是正面”为事件 ，则有(
)
A． B． C． D． 与 之间没有关系
4．抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件 “点数为大于2小于5”， “点数为偶数”，则 表示的
事件为（ ）
A．“点数为4” B．“点数为3或4”
C．“点数为偶数” D．“点数为大于2小于5”5．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和
为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点数分别为（ ）
A．1；6 B．4；2 C．5；1 D．6；1
6．若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现
金支付的概率为（ ）
A．0.10 B．0.15 C．0.40 D．0.45
7．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞
机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．A,B两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件 “ 元件正常”， “B元件
正常”，用 分别表示A,B两个元件的状态，用 表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常，0
表示元件失效.下列说法正确的个数是（ ）
①样本空间 ； ②事件 ；
③事件“电路是断路”可以用 （或 ）表示；
④事件“电路是通路”可以用 （或 ）表示，共包含3样本点.
A．0 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．从装有 个红球和 个白球的口袋内任取 个球观察颜色．设事件 为“所取两个球至少有一个白球”，
事件 为“所取两个恰有一个红球”，则 表示的事件为 ．
10．打靶3次，事件 “击中 发”，其中 ．那么 表示 ．
11．已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且 ， ， ，则
.12． 、 两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件 “ 元件正常”， “
元件正常”，用 、 分别表示 、 两个元件的状态，用 表示这个串联电路的状态.以 表示元件
正常， 表示元件失效.下列说法正确的是 .
①样本空间 ；
②事件 ；
③事件“电路是断路”可以用 （或 ）表示；
④事件“电路是通路”可以用 （或 ）表示，共包含 个样本点.
13．根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同
时及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为 .
题型二 频率与概率
策略方法
1．概率与频率的关系
频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大
小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于
某一个常数，这个常数就是概率．
【典例1】（单选题）手机支付已经成为人们常用的付费方式，某大型超市为调查顾客付款方式的情况，
随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下，
顾客年龄（岁） 20岁以下 70岁及以上
手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0其他支付方式人
0 0 2 13 27 12 1
数
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在 内且未使用手机支付的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体
重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为 ，经调查，某市市场上的食用油大约有 个
品牌，则不合格的食用油品牌大约有（ ）
A． 个 B． 个
C． 个 D． 个
3．天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有
两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，
165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A． B． C． D．
4．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
第一组 第二组 第三组 合计
投篮次数 100 200 300 600
命中的次数 68 124 174 366
命中的频率 0.68 0.62 0.58 0.61
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（ ）
A．0.58 B．0.61 C．0.62 D．0.68
5．对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有
在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽
一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题 ：抽到红球，则回答问题 ，且箱子中只有白球和红球．
问题 ：你的生日的月份是否为偶数?（假设生日的月份为偶数的概率为 ）
问题 ：你是否有在校使用手机?
已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球 个，红球 个，调查结束后共收到 张有效答卷，其中
有 张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是（精确到 ）
（ ）
A． B． C． D．
6．手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了
100名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在 内且
未使用手机支付的概率为（ ）.
顾客年龄（岁） 20岁以下 70岁及以上
手机支付人数 3 12 14 13 27 9 0
其他支付方式人
0 0 2 9 5 5 1
数
A． B． C． D．
7．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 ；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 .
其中正确命题有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组
各做50次，每次有放回地摸1个球并记录颜色．统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为（
）
A．3 B．5 C．7 D．99．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面
落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（ ）
四面体的面 1 2 3 4
4
频数 36 42 78
4
A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72
C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2
二、多选题
10．利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500时各做5组试验，得到事
件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表：
序
号 频 频
频数 频数 频率 频率
率 数
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.5 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好
C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
11．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下面的统计表，
其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
顾客人数 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
根据表中数据，下列结论中正确的有（ ）
A．顾客购买乙商品的概率最大
B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2
12．小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了 次，每次朝上的点数都是 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．朝上的点数是 的概率和频率均为
B．若抛掷 次，则朝上的点数是 的频率约为
C．抛掷第 次，朝上的点数一定不是
D．抛掷 次，朝上的点数为 的次数大约为 次
三、填空题
13．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示．
第一组 第二组 第三组 合计
投篮次数 100 200 300 600
命中的次
68 125 176 369
数
命中的频
0.68 0.625 0.587 0.615
率
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是 ．
14．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲
获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定
1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为 .
15．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持
认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有
人．
16．某事件 的概率是 ，下列说法正确的是 ．
（1） 发生的可能性是 ；
（2）在10000个试验中，事件 发生9700次；
（3）随着试验次数的不断增大， 发生的频率逐渐稳定到 ，且在它附近摆动．
17．某制造商今年 月份生产了一批乒乓球，随机抽取 个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：
mm），将数据分组如下：
分组 频数 频率
10 0.10
20 0.20
50 0.50
20 0.20
合计 100 1.00
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为 ，则这批乒乓球的直径误差不超过 的
概率是 ．
18．为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，
向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对
着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉
调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个
问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此可
以估计这1200人中闯过红灯的人数是 .
题型三 互斥事件与对立事件
策略方法
1.判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补
集．
2.复杂事件的概率的两种求法
(1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)求解(正难则反)，特别
是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便．
【典例1】（单选题）2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中
国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利
用假期从中选一个乡村游玩，记事件 ：小明选大寨村，事件 ：小明选荆竹村，事件 ：小明选绿江村．
已知 ， ，则 ＝（ ）
A．0.12 B．0.18 C．0.7 D．0.9
【题型训练】
一、单选题
1．在试验“抛掷两枚质地均匀的硬币”中，事件A= “至少有一枚硬币正面朝上”，事件 “两枚硬币
正面均朝上”，事件 “两枚硬币正面均朝下”，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与C对立
C．B与C不互斥 D．B与C对立
2．某超市举行有奖促销活动，活动中设置一等奖、二等奖、幸运奖三个奖项，其中中幸运奖的概率为
0.3，中二等奖的概率为0.2，不中奖的概率为0.38，则中一等奖的概率为（ ）
A．0.16 B．0.22 C．0.12 D．0.1
3．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（ ）
①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”；
②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”；
③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；
④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
4．下列叙述正确的是（ ）A．随着试验次数的增加，频率一定越来越接近一个确定数值
B．若随机事件A发生的概率为 ，则
C．若事件A与事件B互斥，则
D．若事件A与事件B对立，则
5．在一个不透明的盒子中，放有除颜色外完全相同的2个白球和3个红球，摇匀后，从中任意取出两个球，
下列说法与“取出的两个球都是白球”是互斥但不是对立的事件是（ ）
A．取出两球同色 B．取出的两球异色
C．取出的两球至少有一个红球 D．取出的两球至少一个白球
6．已知随机事件A和B互斥，且 ，则 等于（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2
7．已知随机事件 和 互斥， 和 对立，且 ，则 （ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
8．从一批产品中随机抽取 件产品进行质量检测，记“ 件产品都是次品”为事件 ，“ 件产品都不是
次品”为事件 ，“ 件产品不都是次品”为事件 ，则下列说法正确的是（ ）
A．任意两个事件均互斥
B．任意两个事件均不互斥
C．事件 与事件 对立
D．事件 与事件 对立
9．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球
10．已知事件A与B互斥，且 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
11．设 ， 为同一随机试验中的两个随机事件， ， 的对立事件分别为 ， ， ，，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则事件 与 互斥
B．若 ，则事件 与 一定互斥
C．若 ，则 的值为0.3
D．若事件 与 相互独立且同时发生的概率为0.4，则
二、多选题
12．一个盒子中装有 支钢笔，其中 支一等品， 支二等品，从中不放回的依次随机取出 支，则下列说
法正确的是（ ）
A．事件“至少有一支一等品”与“至少有一支二等品”是互斥事件
B．事件“至少有一支一等品”与“都是二等品”是对立事件
C．记事件 “至多有一支一等品”，事件 “两支都是二等品”，则 A．
D．记事件 “至多有一支一等品”，事件 “至多有一支二等品”，则
13．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件 “记下的点数为3”，事件
“记下的点数为偶数”，事件 “记下的点数小于3”，事件 “记下的点数大于2”，则（ ）
A．事件 与 互斥 B．事件 与 互斥
C．事件 与 对立 D．事件 与 对立
14．设 为两个互斥的事件，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
15．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．从装有 个红球和 个黑球的口袋内任取 个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而
不对立的事件
C．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为
D．在 件产品中，有 件一等品和 件二等品，从中任取 件，那么事件“至多一件一等品”的概率为
三、填空题
16．已知事件 与事件 互斥，若 ， ，那么 .
17．已知事件 ， ， 两两互斥，若 ， ， ，则 ．
18．一个盒子内装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，
摸出白球的概率是0.25，那么从盒中摸出1个球，摸出黑球或红球的概率是 ．
19．已知事件 与事件 互斥，如果 ， ，那么 .
20．已知 是随机事件，则“ ”是“ 与 互斥而不对立”的 条件.（填“充
分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
21．设 为三个随机事件，若A与 是互斥事件， 与 是相互对立事件，且 ，
则 .
22．社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为
，则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为 ．
题型四 古典概型
策略方法 用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事
件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下：
①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型．
②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数．
③求值，代入公式P(A)＝求值．
【典例1】（单选题）从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男
生的概率为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【典例2】（单选题）书籍是人类进步的阶梯，数学名著更是如此，《九章算术》《孙子算经》《周髀算
经》《海岛算经》是我国古代数学领域影响深远的四部著作，而《几何原本》《阿基米德全集》《圆锥曲
线论》被称为“古希腊三大数学书”，代表了文艺复兴之前欧洲数学的最高成就，这些著作对后世的数学
发展有着深远而广泛的影响．现从这七本名著中任选三本，则至少两本是中国数学名著的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型训练Ⅰ-简单的古典概型问题】
一、单选题
1．某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参
赛同学抽到相同主题的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．某对新婚夫妇响应国家号召，计划生育3个孩子，若每胎只有一个孩子，且每胎生男生女的概率相同，
记事件A为“3个孩子中有男有女”，则 （ ）
A． B． C． D．
3．从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，能构成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．从2，3，5，7这四个数中随机地取2个不同的数相乘，其结果能被10整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．为纪念12.9运动，高一（5）班需要从班级朗诵队里的4名男生和2名女生中随机选取两名，代表班级
参加朗诵比赛，则恰好选取一名男生和一名女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲
舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．将“仁、义、礼”排成一排，其中“义”不在首位的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中1个红球、1个黄球、2个蓝球．从中任取2个小球，则这两个小球的颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶
数可以表示为两个素数的和”，如 .在不超过15的素数（素数是指在大于1的自然数中，除了1
和自身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙两位同学将高一6次物理测试成绩（成绩为整数，满分为100分）记录如下表，其中乙的第5次
成绩的个位数被污损．
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
甲 95 87 88 92 93 85
乙 85 86 86 99 9 88
则甲同学的平均成绩高于乙同学平均成绩的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有4，5，6，7四个数字，这些小球除数字外都相同．
小红、小明两人玩“猜数字”游戏，小红先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由小明
猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足 ，那么就称小红、小明两人“心心相印”，则两人
“心心相印”的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．某大学为了了解学生课外图书阅读量的情况，从大二学生中抽取50名，统计他们今年上半年阅读的书
籍数量，发现读书不低于6本的人数占 ，不低于8本的人数占 .现从读书不低于6本的学生中随机
地选取2名进行座谈，则这2名学生1名读书低于8本且不低于6本，1名读书不低于8本的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．某中学团委为庆祝“五四”青年节，举行了以“弘‘五四’精神，扬青春风采”为主题的文艺汇演，
初中部推荐了2位主持人，高中部推荐了4位主持人，现从这6位主持人中随机选2位主持文艺汇演，则
选中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率为（ ）A． B． C． D．
13．若连续抛两次骰子得到的点数分别是 ， ，则点 在直线 上的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”
为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互为对立事件 B．
C． D．事件B与事件C相互不独立
二、多选题
15．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每
个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（ ）
A．取出的两个球上标号为不同数字的概率为
B．取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
C．取出的两个球上标号为相同数字的概率为
D．甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
16．一个盒子装有标号 的5张标签，则（ ）
A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为
B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为
D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
三、填空题
17．从甲、乙等5名同学中随机选择3名参加志愿者活动，则甲、乙两人中恰有一人参加的概率为 ．
18．在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生 的随机整数，并且 代表男生，用 代表女生．因为是选出4个，所
以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数：
6830 3215 7056 6431 7840 4523 7834 2604 5346 0952
6837 9816 5734 4725 6578 5924 9768 6051 9138 6754
由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为 ．
19．某对新婚夫妇响应国家号召，计划生育3个孩子．假设每胎只有一个小孩，且每胎生男生女的概率相
等，记事件 为“该夫妇儿女双全”，则 ．
20．根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根
根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字
0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为 ．
纵式：
横式：
21．2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲､乙､丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘
坐3辆车，沪昆高速杭州入口有 共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候
的概率为 ．
22．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，
则出现向上的点数之和为6的概率是 ．
【题型训练Ⅱ-与排列组合结合】
一、单选题
1．口袋中有5个白球，3个红球和2个黄球，小球除颜色不同，大小形状均完全相同，现从中随机摸出2
个小球，摸出的2个小球恰好颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌
最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，
在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．第19届亚运会的样物由“琮琮”“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个
同类吉举物完全相同，无区别 ，若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉
祥物挂件的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于
的偶数都可以写成两个素数的和”，如 .在不超过 的素数中，随机选取 个不同的数，其和等
于 的概率是(注：若一个大于 的整数除了 和它本身外无其他因数，则称这个整数为素数)（ ）
A． B． C． D．
5．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选6只小白鼠，随机地将其中3只分配到试验组且饲养在
高浓度臭氧环境，另外3只分配到对照组且饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量
（单位： ）.则指定的两只小鼠分配到不同组的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．书籍是人类进步的阶梯，数学名著更是如此，《九章算术》《孙子算经》《周髀算经》《海岛算经》
是我国古代数学领域影响深远的四部著作，而《几何原本》《阿基米德全集》《圆锥曲线论》被称为“古
希腊三大数学书”，代表了文艺复兴之前欧洲数学的最高成就，这些著作对后世的数学发展有着深远而广
泛的影响．现从这七本名著中任选三本，则至少两本是中国数学名著的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理考
试与数学考试不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中
一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是（ ）
A． B． C． D．9．将 ， ， ， ， 共5名同学从左到右随机排成一排，则 与 之间恰好有1名同学的概率为
（ ）
A． B． C． D．
10．2023年6月25日19时，随着最后一场比赛终场哨声响起，历时17天的．2023年凉山州首届“火洛
杯”禁毒防艾男子篮球联赛决赛冠军争夺赛在凉山民族体育馆内圆满闭幕，为进一步展现凉山男儿的精神
风貌主办方设置一场扣篮表演，分别由西昌市、冕宁县、布拖县、昭觉县4个代表队每队各派1名球员参
加扣篮表演，则西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．三位同学参加某项体育测试，每人要从 跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参
加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.
某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大
名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．2025年四川省新高考将实行 模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物
四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程没有偏好，则他们所选六科中恰有
四科相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．一个袋子中有 个红球， 个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出 个球，那么两次取到的球
颜色相同的概率为
15．据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之．”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，
蕴含着中华文化的丰富内涵．现从3名男生和2名女生中任选3人参加围棋比赛，则所选3人中至多有1
名女生的概率为 ．
16．2023年8月，某志愿者团队从 ， ， ， ， ， 这6名志愿者中随机选取4名志愿者去河北参
加抗洪抢险，则 ， ， 中至少有2人被选中的概率为 .17．2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲､乙､丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘
坐3辆车，沪昆高速杭州入口有 共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候
的概率为 ．
18．某工厂生产 、 两种型号的不同产品，产品数量之比为 .现用分层抽样的方法抽出一个样本容量
为 的样本，则其中 种型号的产品有 件，现从样本中抽出两件产品，此时含有 型号产品的概率为
.
19．将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙
安排在一起的概率为 ．
20．在某道选词填空题中，共有4个空格、5个不同的备选单词，其中每个空格只有一个正确答案（备选
单词中有一个是多余的），若随机从备选单词中选4个不同的单词分别填入空格中，则恰答对3个空格的
概率是 ．
21．国家鼓励中小学校开展课后服务，某中学为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都
能积极选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、舞蹈社团、朗诵社团分别还可以接收1名学生，恰
好甲、乙、丙、丁4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进朗诵社团，
乙进书法社团或舞蹈社团的概率为 .
22．云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动.在活动期间，有6名志愿者报
名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、
丙志愿者相邻的概率为 .
