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易错点 15 概率与随机变量的分布列
易错题【01】对“基本事件”概念不清致误
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2.确定基本事件个数的三种方法
(1)列举法：此法适合基本事件较少的古典概型．
(2)列表法(坐标法)：此法适合多个元素中选定两个元素的试验．
(3)树状图法：适合有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求．
易错题【02】误用公式
若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，如果事件A与事件B互斥，
则P(A+B)＝P(A)＋P(B)，若事件A与事件B不互斥，则P(A+B)＝P(A)＋P(B) ，所
以在利用 时要判断事件A与事件B是否互斥。
易错题【03】利用古典概型求概率列举基本事件重复或遗漏
1.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
2.古典概型的概率公式
P(A)＝.
古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就
需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时
可根据需要灵活选择．
3.求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A包含的基本事件的个数，
这就需要正确列出基本事件，在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，
以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，注意是无序还是有序．在解答时，缺少必要的
文字说明，没有按要求列出基本事件是常见错误．
易错题【04】利用古典概型求概率考虑问题不全面
较复杂的古典概型概率计算，常会借助排列组合知识进行计数，在计数时如果考虑问题不
全面，会出现计数错误。
易错题【05】混淆超几何分布与二项分布
1.如果随机变量 的可能取值为 0，1，2，…，n，且 取值的概率
(其中 )，其随机变量分布列为0 1 … k … n
… …
则称 服从二项分布，记为 .
2.在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X＝k}发生的概率为
P(X＝k)＝,k＝0,1,2,…,m,其中m＝min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列为超几何分布
列.记为X～H(n,M,N).此时有 .
3.超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女
生”“正品、次品”等,②总体一般是有限个.超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型
的小球等模型注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不
放回地抽取n个元素,当两类对象的总数量很大时,超几何分布近似于二项分布.
01
(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 (
)
A． B． C． D．
【警示】不理解基本事件，不会确定基本事件是本题失分的主要原因。
【答案】C
【问诊】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相
邻，则有5种排法，若2个0不相邻，则有10种排法，
所以2个0不相邻的概率为 ．故选C．
【叮嘱】注意任意两个基本事件是互斥的
1.(2021届陕西省西安市高三下学期质量检测)两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字 ，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被 整除的概率为( )
A． B． C． D．
2. 以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为
B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中
随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为
C．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
02
抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的
数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,求P(A∪B)．
【警示】本题一种错误解法是：因为P(A)＝＝,P(B)＝＝,所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝
1.
【问诊】事件A、B不是互斥事件,使用加法公式错误．
【答案】将A∪B分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件,记出现“1、2、3”为事件C,出现
“5”为事件D,则C与D两事件互斥,所以P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
【叮嘱】在应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解概率问题时,一定要注意分析事件是否互斥,
若事件不互斥,可以转化为互斥事件,再用公式．
1.(2021届广西南宁市高三5月考)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或
元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：
小时)均服从正态分布 ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使
用寿命超过1000小时的概率为( )A． B． C． D．
2.( 2021届宁夏银川市高三下学期二模)托马斯·贝叶斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”
的问题中得到了一个公式： ，这个公式被称为贝
叶斯公式(贝叶斯定理)，其中 称为 的全概率.这个定理在
实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是 ，医院现有
的技术对于该疾病检测准确率为 ，即已知患病情况下， 的可能性可以检查出阳性，
正常人 的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳
性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个
人得病的概率( )
A． B． C． D．
03
(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理))我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界
领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如
．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 (
)
A． B． C． D．
【警示】在列举和等于30的数时出现遗漏或重复是本题失分的主要原因。
【答案】C
【问诊】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取
两个不同的数，共有 种方法，因为 ，所以随机选取两
个不同的数，其和等于30的有3种选法，故概率 ，故选C．【叮嘱】求古典概型的概率的关键是正确列出基本事件，在列举基本事件空间时，要按照
一定的标准列举，如用列举法，还要注意是无序还是有序．
1.对关于 的一元二次方程 ，通过掷骰子确定其中的系数，第一次出现的数作
为 ，第二次出现的数作为 (一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每
次扰掷，各数出现的可能性相同)，那么，这个方程有解的概率是( )
A． B． C． D．
2. 某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产
品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等
品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.
04
箱子中有6件产品,其中4件正品,2件次品,每次随机取出1件检验,直到把所有次品检验出停
止,求检验4次停止检验的概率.
【警示】本题的一种错误解法是：
【问诊】忽略前4次全是正品的情况
【答案】 .
【叮嘱】如果基本事件个数比较多,可以利用两个计数原理及排列组合知识直接计算m,n,再
运用公式P(A)＝求概率,但要注意问题的所有可能情况.
1.中国足球队超级联赛的积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某球
队打完3场比赛，则该球队积分情况共有几种( )
A． B． C． D．
2.《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎
得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古
代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为( )
A． B． C． D．
05
为研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调
查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中,平均车速超过
的有40人,不超过 的有15人；在45名女性驾驶员中,平均车速超过
的有20人,不超过 的有25人.
(1)完成下面 列联表,并判断能否在犯错误概率不超过 的前提下认为“平均车速超
过 与性别有关”？
平均车速超过 平均车速不超过 总计
男性驾驶员
女性驾驶员
总计
附： ,其中 .
(2)在被调查的驾驶员中,从平均车速不超过 的人中随机抽取2人,求这2人恰好是
1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；
(3)以上述样本数据估计总体,从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车平均
车速超过 且为男性驾驶员的车辆数为 ,求 的分布列和数学期望 .【警示】本题出错的主要原因是第(3)小题因用超几何分布而错误
【问诊】出错原因是混淆超几何分布与二项分布
【答案】(1)完成的 列联表如下：
平均车速超过 平均车速不超过 合计
男性驾驶员 40 15 55
女性驾驶员 20 25 45
合计 60 40 100
,
所以在犯错误概率不超过 的前提下,能认为“平均车速超过 与性别有关”.
(2)平均车速不超过 的驾驶员有40人,
从中随机抽取2人的方法总数为 ,记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为
事件 ,
则事件 所包含的基本事件数为 ,
所以所求的概率 .
(3)根据样本估计总体的思想,从总体中任取1辆车,
平均车速超过 且为男性驾驶员的概率为 ,
故 .
所以 ； ；
； .所以 的分布列为
0 1 2 3
(或 ).
【叮嘱】(1)超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成,比如“正,反”、“黑,白”、
“男生、女生”“正品、次品”等,②总体一般是有限个.
(2)超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型的小球等模型
(3)注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不放回地抽取
n个元素,当两类对象的总数量很大时,超几何分布近似于二项分布.
1. (2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考)2021年9月以来，多地限电的话题备受
关注，广东省能源局和广东电网有限责任公司联合发布《致全省电力用户有序用电、节约
用电倡议书》，目的在于引导大家如何有序节约用电.某市电力公司为了让居民节约用电，
采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超过标准用电量 (千瓦时)时，
按平价计费，每月用电量超过标准电量 (千瓦时)时，超过部分按议价计费.随机抽取了100
户居民月均用电量情况，已知每户居民月均用电量均不超过450度，将数据按照 ，
，… 分成9组，制成了频率分布直方图(如图所示).(1)求直方图中 的值；
(2)如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准
(千瓦时)的值；
(3)在用电量不小于350(千瓦时)的居民样本中随机抽取4户，若其中不小于400(千瓦时)的
有 户居民，求 的分布列.
2. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有
4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球､5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若都是
红球，则可获得现金50元；若只有1个红球，则可获得20元购物券；若没有红球，则不
获奖.
(1)若某顾客有1次抽奖机会，求该顾客获得现金或购物券的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获得现金为X元，求X的分布列和数
学期望.
错
1．有2个男生和2个女生一起乘车去抗日战争纪念馆参加志愿者服务，他们依次上车，
则第二个上车的是女生的概率为
A． B． C． D．
11．从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等
于12的概率为( )
A． B．
C． D．
3．(2022届广东省广州市高三上学期12月调研)2021年7月，我国河南省多地遭受千年一
遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家赴郑州，洛阳
两地工作，每地至少安排一名专家，则甲，乙被安排在不同地点工作的概率为( )
A． B． C． D．
4．(多选题)从1，2，3，4，5中随机选两个数，下列事件的概率为 是( )A．两数之差绝对值为2 B．两数之差绝对值为1
C．两数之和不小于6 D．两数之和不大于5
5．(2022届山东省潍坊高三上学期检测)已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个
黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则( )
A．从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为
B．从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为
C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为
D．从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为
6．下列四个命题错误的是( )
A．对立事件一定是互斥事件
B．若 ， 为两个事件，则
C．若事件 ， ， 彼此互斥，则
D．若事件 ， 满足 ，则A， 是对立事件
7．(2022届天津市第一中学高三上学期月考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统
(简称系统) 和 ，系统 和系统 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 ，若在任意
时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，则 ________
8．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方
法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的
身体检查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；
②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A
发生的概率．9．(2022届福建省广东省部分学校高三12月考)2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员对
某高风险小区居民进行检测.
(1)若假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测样本中有1份呈阳性，且这10
人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，
并写出设计步骤；
(2)若A，B为确诊患者，C，D为密切接触者，且C被A或B感染的概率均为 ，D被A或
B或C感染的概率均为 (D没有途径感染C)，则C，D中受感染的人数X作为一个随机变
量，求X的分布列及数学期望.
10．(2022届河北省衡水中学高三上学期模拟)某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目
标 处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射
击，但需在距离目标 处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还
可以进行第三次射击，此时需在距离目标 处，若第三次命中则记1分，并停止射击．
若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，
他在 处击中目标的概率为 ，且各次射击都相互独立．
(1)求选手甲在射击中得0分的概率；
(2)设选手甲在比赛中的得分为 ，求 的分布列和数学期望．
