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专题 12.5 全等三角形中辅助线的添法（三大模型）
【模型一：倍长中线模型】
1．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，在△ABC中．AD是BC边上的中线，交BC于点D．
（1）如下图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE． 求证：△ACD≌△EBD．
（2）如下图，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
（3）如下图，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O． 请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，
并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用SAS可得△ACD≌△EBD；
（2）延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，先根据△ACD≌△EBD证得∠C=∠CBE，AC=BE，进
1
而得到AC∥EB，AD= AE；再证得△ABC≌△BAE(SAS)利用全等三角形全等的性质即可；
2
（3）延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO，证得△MOB≌△NBO(ASA)可得MB=NO，进而得到AO=2OD，
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【解题过程】
（1）证明：在△ACD和△EBD中，
{
DA=DE
)
∠ADC=∠EDB
DC=DB
∴△ACD≌△EBD(SAS)；
1
（2）解：AD= BC，理由如下：
2
延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，如图
由（1）得△ACD≌△EBD，
∴∠C=∠CBE，AC=BE
1
∴AC∥EB， AD= AE
2
∴∠BAC+∠ABE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAC=∠ABE
在△ABC和△BAE中
{
AC=BE
)
∠BAC=∠ABE
AB=AB
∴△ABC≌△BAE(SAS)
∴BC=AE，
1
∴AD= BC；
2
（3）AO=2OD，理由如下：延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO，如图，
由（1）得△AOE≌△BME，△ODC≌△NDB，
∴∠AOE=∠BME，∠OCD=∠NBD，AO=BM，
∴AO∥BM，OC∥NB，
∴∠MBO=∠BON ，∠MOB=∠NBO
在△MOB和△NBO中，
{∠MBO=∠BON
)
OB=OB ，
∠MOB=∠NBO
∴△MOB≌△NBO(ASA)
∴MB=NO，
∴AO=2OD．
2．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小红在组内经过合作交流，得
到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小红的方法思考作答：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______；
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是______；
A．5EM即可得出结论；
（3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF=FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可
得AB=CG，即可得到结论．
【解题过程】
解：（1）如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵∠ADC=∠BDE，
∴△ACD≌△EBD(SAS)，
∴BE=AC=4，
在△ABE中，AB−BEEF，理由如下：
延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD(SAS)，
∴BM=CF，∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EM=EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：
BE+BM>EM，
∴BE+CF>EF；
（3）AF+CF=AB，理由如下：
如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠G，
在△ABE和△GCE中，
{
CE=BE，
)
∠BAG=∠G， ，
∠AEB=∠GEC
∴△ABE≌△GEC(AAS)，
∴CG=AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠GAF，
∴∠FAG=∠G，
∴AF=GF，
∵FG+CF=CG，
∴AF+CF=AB ．
4．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，
若AB=6,AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
如图1所示，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的思路继续思考：（1）由已知和作图能证得△ADC≌△EDB，得到BE=AC，在△ABE中求得2AD的取值范围，从而求
得AD的取值范围是______________．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关
系；
（2）如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE+∠CAF=180°，试判断线段AD与EF
的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在△ABC中，D,E是BC的三等分点．求证：AB+AC>AD+AE．
【思路点拨】
本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．
（1）延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，根据题意证明△MDB≌△ADC，可知BM=AC，在
△ABM中，根据AB−BMAK，
∴AC+CQ>AK+QK，
∵AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE，
∴AK+QK>AE+QE，
∴AC+CQ>AK+QK>AE+QE，
∵AB=CQ,AD=EQ，
∴AB+AC>AD+AE．
5．（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了
如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD
请根据小明的方法思考：（1）求得AD的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC，DC=DE，P为BE的中点．
（2）如图1，若A，C，D共线，求证：AP平分∠BAC ；
（3）如图2，若A，C，D不共线，求证：AP⊥DP；
（4）如图3，若点C在BE上，记锐角∠BAC=x，且AB=AC=CD=DE，则∠PDC的度数是
___________（用含x的代数式表示）．
【思路点拨】
（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；
（2）延长DP交AB延长线于点F，证△APF≌△APD即可；
（3）延长DP至点F，使得PF=PD，连接BF、AF、AD，证△APF≌△APD即可；
（4）过点C作CM⊥BC交AP于点M，由（3）可得∠APD=90°，证△ACM≌△DCP，用含x的代数
式表示出∠PDC即可．
【解题过程】
（1）∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中
{
BD=CD
)
∠ADC=∠EDB
AD=ED
∴△ADC≌△EDB(SAS) ，
∴BE=AC=6，∵AB=8，
∴8−6
