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专题08 切线（选填题12种考法）
【淘宝店铺：向阳百分百】【淘宝店铺：向阳百分百】【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 在点：求切线方程
【例1】（2023·全国·统考高考真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为 ，所以 ，所以 所以
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
故选：C
【变式】
1．（2021·全国·统考高考真题）曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线 在点 处的切线方程为
．
【答案】
【解析】 ，又 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 ．
故答案为: .
【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数 是奇函数，则曲线 在点 处的切线
方程为 ．
【答案】
【解析】由题意函数为奇函数可知
所以 ，所以 ，
则函数可化为 ，则 ，
则由导数得几何意义可知曲线 在点(0，0)处的切线斜率为-1.
所以曲线 在点 处的切线方程为
故答案为: .
考法二 在点：已知切线求参数
【例2-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 ．
【答案】
【解析】依题意，设切点为 ，则 ，
由 ，求导得 ，于是 ，解得 ，
从而 ，则 .故答案为：
【例2-2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知直线 是曲线 在点 处的切线方程，
则
【答案】e
【解析】由题设， 且 ，则 ，
所以，切线方程为 ，即 ，
所以 ，故 .
故答案为：
【变式】
【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数 （其中 ）在 处的
切线为 ，则直线 过定点的坐标为 .
【答案】
【解析】根据题意：函数 在 处有切线， 切点为 ，
又 ，故切线斜率为 ，
直线 的方程为 ，
该直线过定点的坐标为 .
故答案为：
2．（2023·广西·统考模拟预测）若曲线 在 处的切线与直线 相互垂直，
则 ．
【答案】
【解析】已知 ，则 ,
因为曲线 在 处的切线与直线 相互垂直，
所以 ，解得 .
故答案为： .
3．（2023·广东东莞·东莞实验中学校考一模）已知直线 与曲线 相切，则
.
【答案】3
【解析】对 求导，得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】设切点为 ，则 ，解得 ，
故答案为：3.
考点三 在点：求参数最值
【例3】（2023·浙江·模拟预测）已知直线 与曲线 相切，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】由 ，知定义域为 ，
设切点为 ， ， ，
所以 ，故切点为 ，代入直线 方程，
则 ，
，
令 ， ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 ，
故 的最小值为1.
故选：B
【变式】
1．（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线 与曲线 相切，则k的取值范围是（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，由导数的几何意义可知， .故选：A
2.（2023秋·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知 ， ，直线 与曲线
相切，则 的最小值为 .
【答案】8
【解析】设切点为 ，
因为 ，所以 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以， ，
当且仅当 ，即 时，取最小值，
所以 的最小值为8.
故答案为：8.
3．（2023秋·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线 与曲线 相切，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点为 ，则 ，解得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．令 ，所以 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 与直线 相切，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切点为 ， ， 时， ， ，
切线方程为 ，又切线方程为 ，即 ，
所以 ，消去 得 ，易知 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
所以 时， ，从而 取得最大值 ．故选：C．
考法四 过点：求切线方程
【例4】（2023春·上海浦东新）已知曲线 ，过点 作曲线的切线，则切线的方程为
____.
【答案】
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设切点坐标为 ， ,则切线的斜率 ，
故切线方程为 ，又因为点 在切线上，
所以 ，整理得到 ，
解得 ，所以切线方程为 ．
故答案为: .
【变式】
1．（2023吉林）已知函数 ，则曲线 过点 的切线方程为______．
【答案】 或
【解析】设切点为 ， ，则切线斜率为 ，
故曲线 在 处的切线方程为 ，
将点 的坐标代入切线方程可得 ，解 或 ，
故所求切线方程为 或 ，即 或 .
故答案为： 或 .
2．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）过点 与曲线 相切的直线方程为
______．
【答案】
【解析】设切点坐标为 ， ， .
则切线方程为 ，因为 在切线上，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即
又 ，所以 ，
令 ， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以方程 只有唯一解为 .
即切点坐标为 ，故所求切线方程为 ，即 .
故答案为：
3．（2022·全国·统考高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ，
．
【答案】
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
解： 因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： ；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
因为 是偶函数，图象为：
所以当 时的切线，只需找到 关于y轴的对称直线 即可.
[方法三]：
因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ； .
考法五 过点：已知切线求参数
【淘宝店铺：向阳百分百】【例5】（2023·北京）过原点的直线 与分别与曲线 ， 相切，则直线 斜率的乘积
为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】设 的切点分别为 ，
由题意可得 ， ，
所以 在 处的切线为 ， 在 处的切线为 ，
又因为两条切线过原点，所以 ，解得 ，
所以直线 斜率的乘积为 ，
故选：B
【变式】
1．（2023春·河南周口 ）已知曲线 在 处的切线过点 ，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
曲线 在 处的切线的斜率为 ，
又因为 ，曲线 在 处的切线过点 ，
故 ，则 ．
故选：B．
2.（2023广东湛江）过点 可以作曲线 的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则
【淘宝店铺：向阳百分百】的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】 ，设切点为坐标 ，
则 ，
即 ，则 ，
由题意知 有两解，分别为m，n，
故 ，
故选：D.
考法六 过点：求切线的数量
【例6】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数 过点 作曲线
的切线，则切线的条数为 ．
【答案】2
【解析】当 时， ，设切点为 ， ，
又
故过 的切线方程为 ,
将 代入可得 ,
解得 或4，均大于0，满足要求；
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，设切点为 ，
又 ，
故过 的切线方程为
将 代入，可得
解得 或4，均大于0，不合要求，舍去．
故答案为：2．
【变式】
1．（2023春·甘肃张掖）若过点 作曲线 的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【解析】设切点为 ，由 ，所以 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，因为切线过点 ，
所以 ，解得 或 ，
所以过点 作曲线 的切线可以作2条，
故选：C
2.（2023·海南·统考模拟预测）已知函数 ，过点 作曲线 的切线，则切线
的条数为 ．
【答案】1
【解析】当 时， ，设切点为 ， ，
其中 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】故过 的切线方程为 ，
将 代入，可得 ，解得 ，满足要求，
当 时， ，设切点为 ， ，
其中 ，
故过 的切线方程为 ，
将 代入，可得 ，解得 ，不合要求，舍去；
故答案为：1
3．（2023·高二单元测试）已知函数 ，则过点 与曲线 相切的直线有
条.
【答案】2
【解析】曲线方程为 ，点 不在曲线上，
设切点为 ，则点 的坐标满足 ，
由 ，得 ，
由导数的几何意义知， 在 处的切线的斜率为 ，
故切线的方程为 ，
因为点 在切线上，所以
联立 得 ，解得 或 ，
故所求切线方程为 或 ，
则过点 与曲线 相切的直线有2条.
【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：2.
考法七 过点：求最值与取值范围
【例7-1】（2022·全国·统考高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
【例7-2】（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知函数 ，若过点 恰能作3条曲
线 的切线，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】设切点为 ，则 ，所以切线的斜率为 ，
则切线的方程为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】因为点 在切线上，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
令 ，得 或 ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以当 时， 取得极大值 ，
当 时， 取得极小值 ，
因为过点 恰能作3条曲线 的切线，所以直线 与 的图象有3个交点，
如图所示：
所以m的取值范围是 ，故选：BC
【变式】
1．（2021·全国·统考高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D.
2．（2023·云南）过坐标原点可以作曲线 两条切线，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，
设切点为 ，则 ，切线斜率 ,
切线方程为 ，
∵切线过原点，∴ ，
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ，解得 或 ，
∴ 的取值范围是 ,
故选：D
3．（2023·江西·校联考模拟预测）若过 轴上任意点 可作曲线 两条切线，则
的取值范围 ．
【答案】
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设曲线上一点 ，
在 点的切线方程 ，
把 点代入切线方程得 ，
得： ，
令 ，则 ，分别令 ， 解得
在 单调递增， 单调递减， ，
当 ， ， ， ，
要有两个解，
则 即对任意 ，则 ，
对任意 ，则 ，只要 ，
令 ， ，
在 单调递减，在 单调递增，则 ．
．故答案为： .
4．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为
【答案】
【解析】设该切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】又切线过点 ，则 ，整理得 .
要使过点 的切线有3条，需方程 有3个不同的解，
即函数 图象与直线 在R上有3个交点，
设 ，则 ，
令 ，令 或 ，
所以函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减，
且极小值、极大值分别为 ，如图，
由图可知，当 时，函数 图象与直线 在R上有3个交点，
即过点 的切线有3条.所以实数a的取值范围为 .
考法八 公切线
【例 8-1】（2023·江西南昌·校考模拟预测）若直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则b的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或
【答案】B
【解析】设 是 在点 的切线，则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】同理设设 是 在点 的切线，则 ，
由方程组得 ，代入解得
故选：B
【例8-2】（2023·河北·统考模拟预测）若曲线 与曲线 存在公切线，则
实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，
设公切线与 切于点 ，与曲线 切于点 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 或 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，
则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以实数 的最小值为 .
故选：A
【变式】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数 ， ，若直线
为 和 的公切线，则b等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线 与 相切于点 ，
与 相切于点 ，
由 ，所以 ，
由 ，
则 ，
即点 ，代入直线 中有：
， ①
由 ，
所以 ，
由 ，
，
即点 ，代入直线 中有：
【淘宝店铺：向阳百分百】， ②
联立①②解得： ，
所以 ，
故选：B.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线 是曲线 与 的公
切线，则 .
【答案】 /
【解析】对于函数 ，则 ，
设 是曲线 上的一点，切线斜率 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ，
对于函数 ，则 ，
根据斜率关系可得： ，解得 ，
可得 ，可知切点坐标为 ，
则切线方程为 ，即 ，
可得 ，整理得 ，解得 或 ，
当 时，切线方程为 ，此时 ，不符合题意，舍去；
当 时，切线方程为 ，故 ， ；
综上所述： .
故答案为： .
3．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【解析】设 ， ，依题意只需求公切线斜率即可.
， ，设切点分别为 ， ，
则切线方程为 ，即 .
，即 .
则 ，由①得 ，
代入②得： ，则 ，
故公切线斜率为 或 ，如图， .
故选：C.
4．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）若存在直线与曲线
都相切，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设该直线与 相切于点 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 .
设该直线与 相切于点 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 .
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递减；在 和 上单调递增.
又 -1，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .故选：D.
考法九 切线与倾斜角
【例9-1】（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）设点 是函数
图象上的任意一点，点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 或 .
故选：B.
【例9-2】（2023春·福建·高二校联考期中）曲线 在某点处的切线的倾斜角为锐角，且
该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
曲线 在某点处的切线的倾斜角为锐角，
，即 ，
解得： ．
又切点坐标为整数， ，0，1．
该曲线上这样的切点的个数为3个．
故选：C．
【变式】
1．（2023·上海徐汇·位育中学校考三模）设P是曲线 上任意一点，则曲线在点P处的切线的
倾斜角α的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由已知得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由 得 ．
故答案为： ．
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设点P是函数 图象
上的任意一点，点P处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是
【答案】
【解析】 ，
， ， ， ， .
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为 ， .
， .
3．（2023·河北衡水·校联考二模）已知函数 的导函数为 ，且满足关系式
.则 的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最
小值为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为 .
故答案为： .
考法十 切线的应用1---点到曲线的距离最值
【例10】（2022·全国·高三专题练习（理））若点 与曲线 上点 距离最小值为 ，则实数
为_______.
【答案】
【解析】设点 的坐标为 ，对函数 求导得 ，
由题意可知，直线 与曲线 在点 处的切线垂直，则 ，
得 ，
由两点间的距离公式得 ，
由于 的最小值为 ，即 ， ，解得 ，
因此， .
故答案为：
【变式】
1．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学）直线 分别与曲线 ， 直线
交于 两点， 则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，设 到直线 的距离为 ，直线 的倾斜角为 ，则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ，故 最小即 最小，即为当过点 处的切线与直线 平行时最小，
由曲线 ，得 ，所以切点为 ，
可求得点 到直线 的距离最小值为
故 ，
故选：C
2．（2022·河北邯郸·二模）已知点P为曲线 上的动点，O为坐标原点．当 最小时，直线OP恰
好与曲线 相切，则实数a＝___．
【答案】
【解析】设 ，所以 ，
设 ， ，
当 时， ， ，所以 单调递增，
当 时， ， ，
所以 单调递减，
当 时，函数 有最小值，即 有最小值，所以 ，
此时直线OP的方程为 ，设直线 与曲线 相切于点 ，
由 ，显然 在直线 上，
则 ，因此有 ，
故答案为：
【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·山西临汾·统考一模）设 是曲线 上的动点，且 .则 的取值范围是
.
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
设点 ，则 在点P处的切线斜率为 ，
∵ ，即：当且仅当PA垂直于切线时， 取得最小值 ，
又∵ ，
∴ ，即： ，①
∴ ，即： ，②
∴由①②得： ，解得： 或 ，
又∵由①知， ，
∴ ，即： ，解得： ，
∴ .
故答案为： .
考法十一 切线的应用2---曲线上的动点到直线距离的最值
【例11】（2023春·陕西安康）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 距离的
最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】过点 作曲线 的切线，当切线与直线 平行时，点 到直线
【淘宝店铺：向阳百分百】距离最小.
设切点为 ，
所以切线斜率为 ，由题知 ，解得 或 （舍），
，此时点 到直线 距离 .
故选：D
【变式】
1．（2023春·广西钦州 ）已知P是函数 图象上的任意一点，则点P到直线 的距
离的最小值是（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】A
【解析】设直线 与直线 平行，且与函数 的图象相切，
设切点为 ，因为 是单调递增函数，
直线 的斜率为1，所以 ，解得 ，即切点为 ，
所以点P到直线 的距离的最小值是点 到直线 的距离，
即为 .
故选：A
2．（2023秋·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）点 是曲线 上任意一点，则
点 到直线 的最短距离 .
【答案】 /
【解析】 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，解得 （ 舍去），
又 ，可得与直线 平行且与曲线 相切的直线的切点为 ，
所以点 到直线 的最短距离为 .
故答案为： .
3．（2023春·福建漳州·高二校考阶段练习）已知函数 ，如果直线 与 的图象无
交点，则 的取值范围是
【答案】
【解析】令 ，整理得 ，
构建 ，原题意等价于 与 没有交点，
因为 ，
设切点坐标为 ，切线斜率 ，
则切线方程为 ，
若切线过原点 ，则 ，解得 ，
此时切线斜率 ，
可得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
考法十二 切线的应用3--零点或实根的个数
【例12-1】（2023北京）函数 ，若方程 恰有3个根，则实数 的取值范
【淘宝店铺：向阳百分百】围为 .
【答案】
【解析】画出函数 的图象,如图所示：
由题意可知 ，
先求 与 相切时的情况，由图可得此时 ,
设切点为 ,则 ，解得 , ，
此时直线 ，此时直线 与 只有两个公共点，所以 ，
又斜率 ，又当 时 与 平行， 与 有三个公共点，而当 ，
直线 与 有四个交点，故 .
故答案为：
【例12-2】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数 ，
，若方程 恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】A
【解析】作出 与 的图象，如图，
当 时，设 与 相切于点 ，
则 ，解得 ，所以 ，
由图象可知，当 时， 与 有2个交点，与 有1个交点，即
与 有3个交点.；
当 时，设 与 相切于点 ，
由 可知， ，
解得 或 （舍去），此时 ，而 ，
由图象知，当 时， 与 有3个交点.
综上， 或 时图象有3个交点，即方程 恰有三个不相等的实数根.
故选：A
【变式】
【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023·四川·校考模拟预测）若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ，当 趋向正无穷时， 趋向正无穷，故作出 的大致图象，如图所示．
由题知函数 恰有2个零点，即函数 的图象与直线 的图象恰有2个
交点，
易知点 为 与直线 的公共点，又曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以当 ，直线 与与曲线 有2个交点；
当 时，直线 与曲线 有2个交点．
综上所述，实数 的取值范围为 ．
故选：C．
2．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数 ， ，若
【淘宝店铺：向阳百分百】函数 恰有2个零点，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【解析】由 得 ，
由题意得，函数 与函数 的图象恰有2个公共点，
作出函数 的图象，如图，
再作出直线 ，它始终过原点，
设直线 与 相切，切点为 ，
由 知 ，切线斜率为 ，切线方程为 ，
把 代入得 ，
所以切线斜率为 ，
设 与 相切，则 ，
所以， ，解得 舍去），
由图可得实数m的取值范围是 或 .
故答案为：
【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数 ，若 有且仅有两个零点，
则实数 的取值范围为
【答案】
【解析】由 可知 ，即 与 存在两个交点，
令 ，则 ，
令 ，解得： ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
令 ，解得 ，
则 在 处的切线方程为 ；
令 ，解得 ，则 在 处的切线方程为 ，
所以 与 的图象如下表：
且这两条切线在 轴上的截距分别为 实数 的取值范围为 .
一．单选题
1．（2023·山东潍坊·三模）若 为函数 图象上的一个动点，以 为切点作曲线
【淘宝店铺：向阳百分百】的切线，则切线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 点坐标为 ，由 ， ，得 ，
则以 为切点的切线斜率为 ，令切线倾斜角为 ， ，则 ，
则 .故选：D.
2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知 ，设曲线 在
处的切线斜率为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 当 时， ， ， ，
， 在 上单调递减；
，
所以 ，而 ，
所以 ，
.
故选：A.
【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·全国·模拟预测）过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】由题意得 ，
过点 作曲线 的两条切线，设切点坐标为 ，
则 ，即 ，
由于 ，故 ， ，
由题意可知 为 的两个解，
故 ，
故选：D
4．（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）若函数 的图象上任意一点
的切线的斜率都大于0，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 的定义域是 ，依题意， 恒成立，即 恒成立，
由于 ，当且仅当 时等号成立，所以 .故选：C
【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023·山东烟台·校考模拟预测）已知函数 （ 且 ）有一个极大值点 和一个
极小值点 ，且 ，则a的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知， 时， ，
又 ，当 时， 时， ，所以 ，
矛盾，故 ，
由 有两不同实数根可知 ， 有两个不同交点，
设过原点与 相切的直线为 ，切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
即 ，如图，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 与 有两个不同交点则需 ，解得 ，
又 ，所以 ，此时满足极大值点为 ，极小值点为 ，且 .
故选：B
6．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线 与曲线 和曲线 均相切，则实数
的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【答案】C
【解析】根据题意可知，直线 与曲线 和曲线 都相切，
所以对于曲线 ，则 ，所以 ，
所以切点 ，
对于曲线 ，则 ，所以 ，
切点 ，易知A,B不重合，
因为公切线过 两点，所以 ，
进而可得 ，
令 ，则 ，
令 ，则
所以 在 单调递增，
因为 ，
所以存在 使得 ，即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
故 .
又因为 ，
所以 ，
当 时， ，
因为 ，
所以在 内存在 ，使得 ，
当 时， ，
因为 ， ，
所以在 内存在 ，使得 ，
综上所述，存在两条斜率分别为 ， 的直线与曲线 和曲线 都相切，
故选：C.
7．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数 ，存在两条过原点的直线与曲线
相切，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设切点坐标为 ，又 ，则切线斜率
又 ，则切线方程为： ，
又切线过原点，则 ，即方程 在 上有两不
相等的实根，
设 ， ，则 ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，不可能存在两个零点，故不符合题意；
当 时， 得 ，当 时， ， 单调递减， 时， ，
单调递增，
要使得 两个不同的零点，则 ，解得
，
又 ， 时， ，故当 时， 有两个零点，
则实数a的取值范围是 .
故选：D.
8．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若曲线 上恰有三个不同的点到直线
的距离为 ，则实数a的值为（ ）
A．-3 B． C．1 D．-3或1
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】依题意，设直线 与直线 平行，且与曲线 的图象相切于点 ，
对于 ，定义域为 ，则 ，
所以有 ，直线 的斜率 ，
又因为直线 与直线 平行，则有 ，解得： ，
则 ，故点 的坐标为 ，所以直线 的方程为： ，
若曲线 上恰有三个不同的点到直线 的距离为 ，
必有直线 到直线 的距离为 ，则有 ，解得： 或 ，
当 时，直线 即为 与曲线 没有交点，
曲线 上只有 个点到直线 的距离为 ，不符合题意；
当 时，直线 即为 与曲线 有 个交点，
曲线 上恰有三个不同的点到直线 的距离为 ，
一个点为点 ，剩余的两个点则在直线 的右下方，符合题意；
故 .
故选：A.
9．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数 ，若方程 有两个实
根，且两实根之和小于0，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，易知方程 总有一个实根为0，
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， ，方程 没有非零实根.
当 时，当 时， ， ；当 时， ，
，
在 上单调递减，在 上单调递增
如图所示，作出两函数的大致图像，可知坐标原点为两个图像的公共点.
当 时， ， ，
， ， 与 的图像在原点处相切，
当 时， ， ，
， ， 与 的图像在原点处相切，
此时方程 仅有一个实根0.
结合图像可知，当 时，方程另有一正根，不合题意；
当 时，方程另有一负根，符合题意.
故满足条件的 的取值范围是 .
故选：C.
10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知 ， 为函数 的零
【淘宝店铺：向阳百分百】点， ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 大小关系不确定
【答案】C
【解析】易知 为函数 的零点，
又
解之： ，负根舍去；
又 ，
即 与 有三个交点，交点横坐标分别为 ，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设
切点为
切线方程为： 过原点，
此时 的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，
故选：C
【淘宝店铺：向阳百分百】．
二．多选题
11．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 有2个零点 B．若 ，则 有3个零点
C．存在负数 ，使得 只有1个零点D．存在负数 ，使得 有3个零点
【答案】ABC
【解析】由题意知 的零点个数即为 和 的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系内画
出 和 的图象.
对A，由图可知，当 时，图象有两个不同的交点，故A正确；
对B，设直线 与曲线 相切于点 ，
则 ，故切线斜率 ，
所以当 ，直线 与 有3个不同的交点，
即 有3个零点，故B正确；
对C，设直线 与曲线 相切于点 ，
则 ，故切线斜率 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时， 恰有1个零点，故C正确；
对D，当 时，直线 与 的图象至多有2个交点，故D错误；
故选：ABC.
12．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知 ，若过点 恰能作两条直线与曲
线 相切，其中 ，则m与n可能满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设切点坐标为 ，因为 ，则 ，切线斜率为 ，
所以，曲线 在 处的切线方程为
将点 的坐标代入切线方程可得 ，
过点 恰能作两条直线与曲线 相切，
即方程 有2个解，即 ，
与 的图象有2个交点，
，
若 ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
即 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
即 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
又 ， ，
故由图可知，当 或 时， 与 的图象有2个交点，
此时， 或 .
故选：AD.
13．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数 （e为自然对数的底数），则
下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的切线斜率可以是
B．曲线 的切线斜率可以是3
C．过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条
D．过点 且与曲线 相切的直线有且只有2条
【答案】BCD
【解析】因为 ，所以 ，
对于A：令 ，方程无解，所以曲线 的切线斜率不可以是 ，故A错误；
对于B：令 ，解得 ，所以曲线 的切线斜率可以是 ，故B正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】对于C：设切点 ，则切线方程为 ，因为点 在切线上，
所以 ，即 ，显然 ，所以 ，
故过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条，故C正确；
对于D：设切点 ，则切线方程为 ，
因为点 在切线上， ，所以 ，
令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，所以存在 使得 ，
所以方程 有且仅有两个实数根，
所以过点 且与曲线 相切的直线有且只有 条，故D正确；
故选：BCD
14．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数 ，则过点 恰能作曲线 的
两条切线的充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】由 ，得 ，
设切点为 ，则切线的斜率为 ，
所以有 ，
整理可得： ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由题意可知：此方程有且恰有两个解，令 ，
，
，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，
所以当 时， ；当 时， ，
①当 ，即 时，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
所以只要 或 ，即 或 ；
②当 ，即 时，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， 函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，
所以只要 或 ，由 可得： ，
由 得 ；
③当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当 时， 或 ；
当 时， 或 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以选项A正确，B正确，C错误，D错误，
故选：AB
15（2023·上海·高二专题练习）已知函数 ，过点 作曲线 的切线，下列说法正确的是
（ ）
A．当 ， 时，有且仅有一条切线
B．当 时，可作三条切线，则
C．当 ， 时，可作两条切线
D．当 时，可作两条切线，则b的取值范围为 或
【答案】AD
【解析】A：当 时，点 在 上， ，
若 为切点，则切线斜率为 ，所以切线方程为 ，
若 不为切点，设切点坐标为 ，所以 ，
切线斜率为 ，所以 ， ，即切点为原点，所以 时，有且仅有一条切线，正确；
B：设切点坐标为 ，所以 ， ，
则切线的斜率为 ，切线方程为 ，
当 时， ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 时 有极小值，为 ， 时 有极大值，为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】时 ，画出 的图象，
当 时，若有三条切线，则 与 有3个交点，由图得 ，错误；
C：当 时，由切线方程得 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 单调递减，且 ，
如图，
所以当 ， 时， 与 有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误；
D：当 时，由切线方程为 得 ，则 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以当 时 ， 单调递增，
所以当 时 ， 单调递减，
所以当 时 ， 单调递减，
【淘宝店铺：向阳百分百】时， 有极小值为 ，
时， 有极大值为 ，
的图象为
若有两条切线，则 的取值为 或 ，正确.
故选：AD.
三．填空题
16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知 的图象在 处的切线
与与函数 的图象也相切，则该切线的斜率 .
【答案】
【解析】函数 的图象在 处的切线的切点为 ，
因为 ，所以切线斜率为 ，切线方程为 ，即 ，
设 的图象的切线的切点为 ，因为 ，所以切线斜率为 ，
切线方程为 ，即 ，
由题 ，解得 ， ，斜率为 .
故答案为： .
【淘宝店铺：向阳百分百】17．（2023·浙江·统考一模）若曲线 存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题知，令 ，
则 ．
若函数曲线存在两条互相垂直的切线
则可得 ， ， ．
当 时， ， ，与题目矛盾；
当 时，由 ，
可得 的值域是
故 ，使得 ，
， ．
故答案为： ．
18．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知曲线 与曲线 有相同的切线，则这条切线
的斜率为 .
【答案】 /0.5
【解析】设曲线 与曲线 的切点分别为 ， ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以切线为 ，即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，即 ，
所以 ，
所以 ， ，即这条切线的斜率为 .
故答案为： .
19．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数 ，则 所有的切线中斜率最小的切线
方程为 .
【答案】
【解析】由 ， ，
则 ， 时等号成立，
则函数 所有切线中斜率最小为3，且过点 ，
则切线方程为
故答案为：
20．（2023·全国·模拟预测）曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则
．
【答案】
【解析】由题得 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
21．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）设点 为函数 与 图象的
公共点，以 为切点可作直线 与两曲线都相切，则实数 的最大值为 ．
【答案】
【解析】设点 坐标为 ，则有 ，因为以 为切点可作直线 与两曲线都相切，所
以 ，即
或 由 ，故 ，此时 ；所以点 坐标为 ，代入
整理得： ， ，令 ，即
，得 ，可判断 在 上递增，在 上递减，所以当 时有极大值也
是最大值， ，故答案为 .
22．（2023·河南郑州·校联考二模）已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程为
.
【答案】
【解析】由 得 ，
故 ，而 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】故曲线 在 处的切线方程为 ，
即
故答案为：
23．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）函数 在 处的切线方程为
.
【答案】
【解析】函数 ，可得 ，
又由 ，可得 ，即切线的斜率为 ，
所求切线方程为 ，即 .
故答案为： .
24．（2023·广东梅州·统考三模）曲线 在点 处的切线方程为 .
【答案】
【解析】 ，则 ，则
又因为当 时， ，所以所求的直线方程为 ，即 .
故答案为： .
25．（2023·湖南·校联考模拟预测）若函数 是奇函数，则曲线 在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为 是奇函数，
所以 对 恒成立，
【淘宝店铺：向阳百分百】即 对 恒成立，
所以 ，则 ，故 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
化简得 .
故答案为：
26．（2022·全国·统考高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值
点和极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，则 在
上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单
调递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且
【淘宝店铺：向阳百分百】的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
27．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数 ，若曲线 与曲线
存在公切线，则实数 的最大值为 ．
【答案】 /0.5
【解析】 ，
假设两曲线在同一点 处相切，
则 ，可得 ，即 ，
因为函数 单调递增，且 时 ，
所以 ，则 ，此时两曲线在 处相切，
根据曲线的变化趋势，若 ，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
【淘宝店铺：向阳百分百】28．（2023·山西吕梁·统考二模）若过点 （ ）有3条直线与函数 的图象相切，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可得 ，设切点坐标为 ，则切线斜率 ，
所以切线方程为 ，
将 代入得 ．
因为存在三条切线，即方程 有三个不等实数根，
等价于函数 与 的图象有三个交点，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
在 和 上， ， 单调递减，
， ，当 或 时， ，
要使函数 与 的图象有三个交点，
只需 ，即 ，即 的取值范围是 ．
故答案为：
29．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数 过点 作曲线 的
切线，则切线的条数为 ．
【答案】2
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】当 时， ，设切点为 ， ，
又
故过 的切线方程为 ,
将 代入可得 ,
解得 或4，均大于0，满足要求；
当 时， ，设切点为 ，
又 ，
故过 的切线方程为
将 代入，可得
解得 或4，均大于0，不合要求，舍去．
故答案为：2．
30．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）若过点 可以作曲线 的两条切线，切点
分别为 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设切点 ，
则切线方程为 ，
又切线过 ，则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】有两个不相等实根 ，
其中 或 ，
令 或 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，即 .
故答案为：
31．（2023·上海·统考模拟预测）若曲线 有两条过 的切线，则 的范围是 ．
【答案】
【解析】设切线切点为 , ，又 ，所以切线斜率为
因为 ，所以切线方程为： ．
又切线过 ，则 ，即
则由题可知函数 图象与直线 有两个交点，
由 得 ，由 得
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，又 ， ， ， ．
据此可得 大致图象如下．
则由图可得，当 时，曲线 有两条过 的切线．
故答案为： .
32．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数 ，过点 存在3条直线与曲线
相切，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 ，设切点为 ，则切线斜率为 ，
所以，过 的切线方程为 ，
综上， ，即 ，
所以 有三个不同 值使方程成立，
即 与 有三个不同交点，而 ，
故 、 上 ， 递减， 上 ， 递增；
所以 极小值为 ，极大值为 ，故 时两函数有三个交点，
综上， 的取值范围是 .
故答案为：
【淘宝店铺：向阳百分百】33．（2023·云南·校联考模拟预测）已知抛物线 ： ，在直线 上任取一点 ，过点 作抛物
线 的两条切线，切点分别为 ， ，则原点到直线 距离的最大值为 .
【答案】4
【解析】
设 ， ，则 ， ，
由 得 ，
，
在 处的切线方程为 ，即
在 处的切线方程为 ，即
设 ，
则 ， ，
则直线 方程为： ，即 ，直线 恒过定点 ，
所以原点到直线 的距离的最大值为4.
故答案为：4
34．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知曲线 与直线
相切，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】设切点为 ， ，当 时， ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】切线方程为 ，又切线方程为 ，
所以 ，消去 得 ，易知 ，
所以 ，令 ，得
当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
所以 时，函数取得最大值 ，从而 取得最大值 ．
故答案为： ．
35．（2023秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知 ，若过点 恰能作两条直线
与曲线 相切，且这两条切线关于直线 对称，则 的一个可能值为 ．
【答案】 （或 或 或 ）
【解析】设切点坐标为 ，因为 ，则 ，切线斜率为 ，
所以，曲线 在 处的切线方程为
将点 的坐标代入切线方程可得 ，
设过点 且与曲线 相切的切线的切点的横坐标分别为 、 ，且 ，
因为这两条切线关于直线 对称，则 ，
所以， ，
易知 、 关于 的方程 的两个根，设该方程的第三个根为 ，
则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
所以， ，
因为过点 恰能作两条直线与曲线 相切，
则关于 的方程 只有两个不等的实根，不妨设 ，
则 ，
若 ，则 ，可得 ，解得 ；
若 ，则 ，所以， ，可得 ， ，
所以， ，解得 .
综上所述， 或 .
故答案为： （或 或 或 ）.
【淘宝店铺：向阳百分百】
