文档内容
专题 08 利用二阶导函数解决导数问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................1
三、专项训练..............................................8
一、必备秘籍
1、函数极值的第二判定定理：
若 在 附近有连续的导函数 ，且 ，
（1）若 则 在点 处取极大值；
（2）若 则 在点 处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数f '(x)，无法判断导函数正负；
（2）对函数 一次求导得到 之后，解不等式 难度较大甚至
根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有 或
3、解题步骤：
设 ，再求 ，求出 的解，即得到函数 的单调
性，得到函数 的最值，即可得到 的正负情况，即可得到函数 的单调性.
二、典型题型
1．（23-24高二下·福建厦门·阶段练习）已知函数 .(1)求 在 的单调区间：
(2)若对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）求导得 ，结合余弦函数性质求函数 的单调区
间；
（2）由题知 对于任意的 恒成立，进而分 和 两种情况讨论
即可得解.
【详解】（1）因为 ，则 ，
且 ，则 ，
当 ，即 ， ；
当 ，即 ， ；
所以 的递增区间为 ，递减区间为 ；
（2）因为对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
当 时，则 ，可知 ；
当 时， ，
构建 ，则 ，
构建 ，则 在 上恒成立，
可知 在 上单调递减，则 ，
即 在 上恒成立
可知 在 上单调递减，则 ，
可得 .
综上所述：实数 的取值范围为 .
2．（2024·广东深圳·二模）已知函数 ， 是 的导函数，且
．
(1)若曲线 在 处的切线为 ，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明： ．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，求导可得 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；
（2）设函数 ，利用导数研究函数 的单调性从而求出最小值大
于0，可得证.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
则曲线 在点 处的切线斜率为 ．
又因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即得 ， ．
（2）设函数 ， ，
则 ，
设 ，则 ，所以，当 时， ， 单调递增．
又因为 ，
所以， 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减．
又当 时， ，
综上 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
即 ，
所以，当 时， ．
3．（2024·北京石景山·一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值；
(3)当 时，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先求函数的导数，再讨论 和 两种情况求函数的单调性，求函数的最
值；
（3）首先根据不等式构造函数 ，再利用导数求函数的最小值，即可
证明.
【详解】（1） ， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2） ，
当 时， 在区间 上恒成立， 在区间 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ，最大值为 ，
当 时， ，得 ，在区间 小于0，函数 单调递减，
在区间 大于0，函数 单调递增，
所以函数 的最小值为 ，
， ，显然 ，所以函数 的最大值为 ，
综上可知，当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ，
当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ；
（3）当 时， ，即证明不等式 ，
设 ， ， ，
设 ， ， ，
所以 在 单调递增，并且 ， ，
所以函数 在 上存在唯一零点 ，使 ，
即 ，则在区间 ， ， 单调递减，
在区间 ， ， 单调递增，
所以 的最小值为 ，
由 ，得 ，且 ，
所以 ，
所以 ，即 .
4．（2024·浙江丽水·二模）设函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数 ，恒有 ，求实数 的取值范围.（其中 是
自然对数的底数）
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解；
（2）依题意可得 在 上恒成立，设 ，
，利用导数说明函数的单调性，即可得到 且
，利用导数求出 的范围，即可求出 的范围.
【详解】（1）当 时 定义域为 ，
且 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）函数 定义域为 ，
依题意 在 上恒成立，
设 ， ，则 ，
设 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，
且当 时 ，当 时 ，
所以 使得 ，即 ，
所以 ，
则当 时 ，即 单调递减，
当 时 ，即 单调递增，
所以
，令 ，则 且 ，
所以 为增函数，
由 ，所以 ，
又 与 均为减函数，所以 在 上单调递减，
所以当 时 ，
所以实数 的取值范围为 .
5．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数 ， ，其中
.
(1)求证：对任意的 ，总有 恒成立；
(2)求函数 在区间 上的最小值；
(3)当 时，求证：函数 在区间 上存在极值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）依题意可得 对任意的 恒成立，令
，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证；
（2）求出函数的导函数，分 、 两种情况讨论得到 在 上的单调性，
再结合所给区间，分3种情况讨论函数的最小值；
（3）利用导数说明导函数的单调性，以及隐零点的思想证明即可.
【详解】（1）依题意 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
令 ， ，
则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，即 对任意的 恒成立；
（2）因为 ，则 ，
①当 时 ，所以 在 上单调递增，
当 时 ；
②当 则 时 ， 时 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增；
又 ，
所以当 时 在 上单调递增，所以 ；
当 时 在 上单调递减，所以 ；
当 ，则 ；
综上可得 .
（3）因为 ， ，
则 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 恒成立，
所以 即 在 上单调递增，
又 ，当 时 ， ，所以 ，
所以 使得 ，
则当 时 ， 单调递减，
当 时 ， 单调递增，
所以 在 处取得极小值，
即函数 在区间 上存在极值.三、专项训练
1．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 零点的个数；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出 ，再利用直线的点斜式
方程，即可求出结果；
（2）令 ，可得 ，构造函数 ，利用导数
与函数单调性间的关系，求出 的取值范围，再数形结合，即可求出结果.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
所以 ，又 ，
由直线的点斜式可得 ，化简可得 ，
所以切线方程为 .
（2）因为函数 ，
令 ，可得 ，设 ，
则 ，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
当 时， ，此时 在 上单调递减，
所以当 时， 有极大值，即最大值， ，
且 时， ， 时， ，图象如图所示，
所以当 时，函数 与函数 无交点；当 时，函数 与函数 有且仅有一个交点；
当 时，函数 与函数 有两个交点；
当 时，函数 与函数 有且仅有一个交点；
综上所述，当 时，函数 无零点；
当 或 时，函数 有且仅有一个零点；
当 时，函数 有两个零点.
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
(1)求函数 的单调区间；
(2)令 ，求 在 处的切线 的方程，并证明 的图象在直线 的上
方．
【答案】(1)增区间是 和 的减区间是
(2) ，证明见解析
【分析】（1）对函数 求导并根据导函数符号可得其单调区间；
（2）利用导函数的几何意义可求得切线 的方程，构造函数
，求出其最值可证明 恒成立即可得出结论.
【详解】（1） 的定义域为 ，
则
当 或 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
所以 的增区间是 和 的减区间是 ．
（2）由（1）知 ，则 ，
又 ， ，
所以 在 处的切线方程 为 .
令 ，
则
令 可得
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
所以当 时， 取得最小值 ，
当 趋近于 时， 趋近于 ，又 ；
故当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
因此当 时， 取得最小值 ，
即 恒成立，所以 恒成立，
所以 的图象在直线 的上方．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 的最小值为 ，不等式 在 上恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，即可对 进行分类讨论求解导函数的正负求解，
（2）将原不等式进行转化，分离参数，从而可构造函数
，将问题转化为函数的最值问题进行求解.
【详解】（1）由题知 的定义域为 ， ．
①当 时， ，则 ，故 单调递增．②当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增．
（2）由（1）知， ，且 ，即 ．
令 ，则 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以 ．
由题可得 在 上恒成立．
令 ，
则 ，
令 ，则 ，可得 在 上单调递减，
又 ，
故存在 ，使得 ，即 ，
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
易知 ，
由于 ，故 ，
因此 ，故 ，即 的取值范围为 ．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，当 时，
，求 的取值范围.
【答案】
【分析】分离参数，分 两种情况分析，当 时，利用导数求出函数的最大值，即可得解.
【详解】由 ，得 ，其中 .
①当 时，不等式为 ，显然成立，符合题意．
②当 时，得 .
记 ，则 ，
令 ，
则 ，令 ，则 ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， .
由 得 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
因此， .
综上可得，实数 的取值范围为 .
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： 在定义域内恒成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理先判定 时符合题意，
再适当放缩即可证明.
【详解】（1）当 时， ，
，当 时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即
．
（2）由题知，函数 的定义域为 ，
当 时，设 ，
则 ．
令 ，则 对任意 恒成立，
在 上单调递减，又 ，
，使得 ，即 ，则 ．
当 时， ，则 单调递增；
当 时， ，则 单调递减，
，即 ．
又 ，
，
当 时， 在定义域内恒成立．
6．（23-24高二下·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在 上的函数 ．
(1)若 为单调递增函数，求实数 的取值范围；
(2)当 时，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得当 时， 恒成立，即
恒成立，令 ， ，利用导数求出函数的单调性，即可
求出参数的取值范围；
（2）依题意只需证明：当 时， 恒成立，令
，利用导数说明函数的单调性，即可证明.【详解】（1）因为 ，又 为 上的单调递增函数，
当 时， 恒成立，即 恒成立，
令 ， ，则 ，
在 在上单调递减， ，
，即实数 的取值范围为 ；
（2）依题意只需证明：当 时， 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， 为单调递增函数，
所以 为单调递增函数， ，即 ，
，即当 时， ．
7．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)函数的极小值为 ，无极大值；
(2)
【分析】（1）利用导数，先判断函数的单调区间，再求函数的极值；
（2）首先不等式化简为 恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可
求解.
【详解】（1） ，令 ，得 ，
， 和 的关系，如下表所示，
0
单调递减 极小值 单调递增所以函数的极小值为 ，无极大值；
（2）不等式 恒成立，即 恒成立，
即 ， ，恒成立，所以 ， ，
设 ， ，
，其中 ，
设 ， ，所以 在 单调递增，
因为 ， ，所以存在 ，使 ，即 ，即
，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值 ，
由 ，可得 ，所以 ，
所以 .
8．（2024·陕西西安·二模）已知函数 ．
(1)当 时， ， ，求 的取值范围；
(2)证明：当 时， 在 上单调递增．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据三角函数的性质，利用导数研究函数的值域即可；
（2）利用二次求导结合 适当放缩判定 的导函数符合即可.
【详解】（1）当 时，
，
令 ，显然 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ，即 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ；
（2）由 ，
令 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
即 ，
若 ，则 ，即 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以当 时， 在 上单调递增.
