文档内容
专题 08 利用二阶导函数解决导数问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................1
三、专项训练.......................................................................................3
一、必备秘籍
1、函数极值的第二判定定理：
若 在 附近有连续的导函数 ，且 ，
（1）若 则 在点 处取极大值；
（2）若 则 在点 处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数f '(x)，无法判断导函数正负；
（2）对函数 一次求导得到 之后，解不等式 难度较大甚至
根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有 或
3、解题步骤：
设 ，再求 ，求出 的解，即得到函数 的单调
性，得到函数 的最值，即可得到 的正负情况，即可得到函数 的单调性.
学科网（北京）股份有限公司二、典型题型
1．（23-24高二下·福建厦门·阶段练习）已知函数 .
(1)求 在 的单调区间：
(2)若对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
2．（2024·广东深圳·二模）已知函数 ， 是 的导函数，且
．
(1)若曲线 在 处的切线为 ，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明： ．
3．（2024·北京石景山·一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值；
学科网（北京）股份有限公司(3)当 时，求证： ．
4．（2024·浙江丽水·二模）设函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数 ，恒有 ，求实数 的取值范围.（其中 是
自然对数的底数）
5．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数 ， ，其中
.
(1)求证：对任意的 ，总有 恒成立；
(2)求函数 在区间 上的最小值；
(3)当 时，求证：函数 在区间 上存在极值.
学科网（北京）股份有限公司三、专项训练
1．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 零点的个数；
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
(1)求函数 的单调区间；
(2)令 ，求 在 处的切线 的方程，并证明 的图象在直线 的上
方．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 的最小值为 ，不等式 在 上恒成立，求实数
的取值范围．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，当 时，
，求 的取值范围.
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： 在定义域内恒成立．
6．（23-24高二下·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在 上的函数 ．
(1)若 为单调递增函数，求实数 的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司(2)当 时，证明： ．
7．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
8．（2024·陕西西安·二模）已知函数 ．
(1)当 时， ， ，求 的取值范围；
(2)证明：当 时， 在 上单调递增．
学科网（北京）股份有限公司
