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2020年贵州省安顺市中考数学试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在
答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分.
1．（3分）计算（﹣3）×2的结果是（ ）
A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．6
2．（3分）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球
可能性最大的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2020年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进
行防疫，一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，
85，82，69，70．获得这组数据的方法是（ ）
A．直接观察 B．实验 C．调查 D．测量
4．（3分）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝60°，那么∠3是（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
5．（3分）当x＝1时，下列分式没有意义的是（ ）
第1页（共33页）A． B． C． D．
6．（3分）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5 B．20 C．24 D．32
8．（3分）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b
C． a+1＜ b+1 D．ma＞mb
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；
分别以D，E为圆心、以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF
交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程
ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜
n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
第2页（共33页）A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4
二、填空题：每小题4分，共20分
11．（4分）化简x（x﹣1）+x的结果是 ．
12．（4分）如图，点A是反比例函数y＝ 图象上任意一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，
垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为 ．
13．（4 分）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字
“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋
势接近的值是 ．
14．（4分）如图，△ABC是 O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，
若DA＝EB，则∠DOE的⊙度数是 度．
15．（4分）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长
线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为 ．
三、解答题：本大题10小题，共100分.
第3页（共33页）16．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下
列要求画三角形．
（1）在图 中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图①中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
③
17．（10分）2020年2月，贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中黔课”．
为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学生．根据调查
结果，绘制出了如图统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题：
部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表
时间/h 1.5 2 2.5 3 3.5 4
人数/人 2 6 6 10 m 4
（1）本次共调查的学生人数为 ，在表格中，m＝ ；
（2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是 ，众数是 ；
（3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法．
18．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝
BE．
第4页（共33页）（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．
19．（10分）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝ 的图象相交，其中一个交点的
横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y＝ 图
象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y＝ 的图象没有公共点．
20．（10分）“2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动，规则是：准
备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》
《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取卡片上
相应的书籍．
（1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张
第5页（共33页）卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率；
（2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽
出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为 ，那么应添加多少张《消防知识手册》
卡片？请说明理由．
21．（8分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图 是政府给贫困户新建的房屋，
如图 是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称①轴是房屋的高AB所在的直线，
为了②测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上
E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的
仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平
线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7， ≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
22．（10分）第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的
禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委
员对话如下：
第6页（共33页）（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价
已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
23．（10分）如图，AB为 O的直径，四边形ABCD内接于 O，对角线AC，BD交于点E， O
的切线AF交BD的延⊙长线于点F，切点为A，且∠CA⊙D＝∠ABD． ⊙
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．
24．（12分）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解
学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计
人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）
时间x（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15
人数y（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知
第7页（共33页）识求出y与x之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，
考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时
间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少
增加几个检测点？
25．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
（1）问题解决：如图 ，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数
量关系是 ，①位置关系是 ；
（2）问题探究：如图 ，△AO'E是将图 中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到
的三角形，连接CE，点②P，Q分别为CE，B①O'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并
证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图 ，△AO'E是将图 中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到
的三角形，连接BO'，点③P，Q分别为CE，B①O'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长
为1，求△PQB的面积．
第8页（共33页）2020年贵州省安顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在
答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分.
1．（3分）计算（﹣3）×2的结果是（ ）
A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．6
【分析】原式利用乘法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣3×2
＝﹣6．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．
2．（3分）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球
可能性最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】各选项袋子中分别共有10个小球，若要使摸到红球可能性最大，只需找到红球的
个数最多的袋子即可得出答案．
【解答】解：在四个选项中，D选项袋子中红球的个数最多，
所以从D选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大，
故选：D．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的
计算方法．
第9页（共33页）3．（3分）2020年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进
行防疫，一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，
85，82，69，70．获得这组数据的方法是（ ）
A．直接观察 B．实验 C．调查 D．测量
【分析】直接利用调查数据的方法分析得出答案．
【解答】解：一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，
68，85，82，69，70．
获得这组数据的方法是：调查．
故选：C．
【点评】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握基本调查方法是解题关键．
4．（3分）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝60°，那么∠3是（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【分析】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即
可得解．
【解答】解：∵∠1+∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等），
∴∠1＝30°，
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°．
故选：A．
【点评】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确
识图是解题的关键．
5．（3分）当x＝1时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
第10页（共33页）【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：A、 ，当x＝1时，分式有意义不合题意；
B、 ，当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义符合题意；
C、 ，当x＝1时，分式有意义不合题意；
D、 ，当x＝1时，分式有意义不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
6．（3分）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在
同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．
【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错
误；
B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；
C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．
D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照
射下形成的影子就是平行投影．
7．（3分）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
第11页（共33页）A．5 B．20 C．24 D．32
【分析】根据题意画出图形，由菱形的性质求得OA＝4，OB＝3，再由勾股定理求得边长，
继而求得此菱形的周长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝ AC＝4，OB＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∴此菱形的周长＝4×5＝20；
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出菱
形的边长是解题的关键．
8．（3分）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b
C． a+1＜ b+1 D．ma＞mb
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＜b﹣1，原变
形正确，故此选项不符合题意；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，原变形正确，故
此选项不符合题意；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以 ，不等号的方向不变，即 a＜ b，不等式 a＜ b的
两边同时加上1，不等号的方向不变，即 a+1＜ b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma
＝mb，原变形不正确，故此选项符合题意．
第12页（共33页）故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；
分别以D，E为圆心、以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF
交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用
垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程
第13页（共33页）ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜
n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的
方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣
1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴这两个整数根是﹣4或2，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键
是明确题意，利用二次函数的关系解答．
二、填空题：每小题4分，共20分
11．（4分）化简x（x﹣1）+x的结果是 x 2 ．
【分析】先根据单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项即可．
【解答】解：x（x﹣1）+x
＝x2﹣x+x
＝x2，
故答案为：x2．
【点评】本题考查了单项式乘以多项式和合并同类项法则，能灵活运用法则进行计算是解
此题的关键．
12．（4分）如图，点A是反比例函数y＝ 图象上任意一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，
垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为 3 ．
第14页（共33页）【分析】根据反比例函数y＝ 的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形OBAC．
【解答】解：∵过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，
∴AB×AC＝|k|＝3，
则四边形OBAC的面积为：3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数y＝ （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝
（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
13．（4 分）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字
“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋
势接近的值是 ．
【分析】随着试验次数的增多，变化趋势接近于理论上的概率．
【解答】解：在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．
14．（4分）如图，△ABC是 O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，
若DA＝EB，则∠DOE的⊙度数是 12 0 度．
第15页（共33页）【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到
∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，
∵△ABC是 O的内接正三角形，
∴∠AOB＝1⊙20°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOE＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性
质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（4分）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长
线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为 4 ．
【分析】延长BD到F，使得DF＝BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出
第16页（共33页）答案．
【解答】解：延长BD到F，使得DF＝BD，
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝CF，
过点C点作CH∥AB，交BF于点H
∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，
∴HF＝HC，
∵CH∥AB，
∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，
∴EH＝CH，
∵EA＝EB，
∴AC＝BH，
∵BD＝8，AC＝11，
∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，
∴HF＝HC＝8﹣3＝5，
在Rt△CDH，
∴由勾股定理可知：CD＝4，
在Rt△BCD中，
∴BC＝ ＝4 ，
故答案为：4
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题属于
第17页（共33页）中等题型．
三、解答题：本大题10小题，共100分.
16．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下
列要求画三角形．
（1）在图 中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图①中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
③
【分析】（1）构造边长3，4，5的直角三角形即可．
（2）构造直角边为2 ，斜边为4的直角三角形即可（答案不唯一）．
（3）构造三边分别为2 ， ， 的直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图 中，△ABC即为所求．
（2）如图 中，△ABC①即为所求．
（3）△AB②C即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，无理数，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题
的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（10分）2020年2月，贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中黔课”．
为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学生．根据调查
第18页（共33页）结果，绘制出了如图统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题：
部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表
时间/h 1.5 2 2.5 3 3.5 4
人数/人 2 6 6 10 m 4
（1）本次共调查的学生人数为 5 0 ，在表格中，m＝ 2 2 ；
（2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是 3. 5 h ，众数是 3. 5 h ；
（3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法．
【分析】（1）根据2小时的人数和所占的百分比求出本次调查的学生人数，进而求得m的
值；
（2）根据中位数、众数的定义分别进行求解即可；
（3）如：认真听课，独立思考（答案不唯一）．
【解答】解：（1）本次共调查的学生人数为：6÷12%＝50（人），
m＝50×44%＝22，
故答案为：50，22；
（2）由条形统计图得，2个1.5，6个2，6个2.5，10个3，22个3.5，4个4，
∵第25个数和第26个数都是3.5h，
∴中位数是3.5h；
∵3.5h出现了22次，出现的次数最多，
∴众数是3.5h，
故答案为：3.5h，3.5h；
（3）就疫情期间如何学习的问题，我的看法是：认真听课，独立思考（答案不唯一）．
【点评】本题考查扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
第19页（共33页）的思想解答．
18．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝
BE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．
【分析】（1）先根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，然后证明AD＝EF可判断四边形
AEFD是平行四边形；
（2）连接DE，如图，先利用勾股定理计算出AE＝2 ，再证明△ABE∽△DEA，利用相似
比求出AD，然后根据平行四边形的面积公式计算．
【解答】（1）证明：∵∠四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+EF，即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：连接DE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE中，AE＝ ＝2 ，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD，
∵∠B＝∠AED＝90°，
∴△ABE∽△DEA，
∴AE：AD＝BE：AE，
∴AD＝ ＝10，
第20页（共33页）∵AB＝4，
∴四边形AEFD的面积＝AB×AD＝4×10＝40．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的
关系；也考查了平行四边形的判定和矩形的性质．
19．（10分）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝ 的图象相交，其中一个交点的
横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y＝ 图
象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y＝ 的图象没有公共点．
【分析】（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），将（2，3）代入反比例函
数表达式，即可求解；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1 ，联立 即可求解；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5 ，联立 并整理②得：kx2+5①x﹣②6﹣0，则△＝
③ ①③
25+24k＜0，解得：k＜﹣ ，即可求解．
第21页（共33页）【解答】解：（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），
将（2，3）代入反比例函数表达式并解得：k＝2×3＝6，
故反比例函数表达式为：y＝ ；
①
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1 ，
②
联立 并解得： ，
①②
故交点坐标为（﹣2，﹣3）或（3，2）；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5 ，
联立 并整理得：kx2+5x﹣6＝0， ③
①③
∵两个函数没有公共点，故△＝25+24k＜0，解得：k＜﹣ ，
故可以取k＝﹣2（答案不唯一），
故一次函数表达式为：y＝﹣2x+5（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次
函数，体现了方程思想，综合性较强．
20．（10分）“2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动，规则是：准
备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》
《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取卡片上
相应的书籍．
（1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张
卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率；
（2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽
出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为 ，那么应添加多少张《消防知识手册》
卡片？请说明理由．
【分析】（1）画出树状图，由概率公式即可得出答案；
（2）设应添加x张《消防知识手册》卡片，由概率公式得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别记为A、B、C，
画树状图如图：
第22页（共33页）共有6个等可能的结果，恰好抽到2张卡片都是《辞海》的结果有2个，
∴恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率为 ＝ ；
（2）设应添加x张《消防知识手册》卡片，
由题意得： ＝ ，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解；
答：应添加4张《消防知识手册》卡片．
【点评】本题考查了列表法或画树状图法以及概率公式；列表法或画树状图法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步
以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图 是政府给贫困户新建的房屋，
如图 是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称①轴是房屋的高AB所在的直线，
为了②测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上
E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的
仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平
线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7， ≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
第23页（共33页）【分析】（1）根据题意得到AG⊥EF，EG＝ ∠AEG＝∠ACB＝35°，解直角三角形即可得
到结论；
（2）过E作EH⊥CB于H，设EH＝x，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的
直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，EG＝ EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，
∵tan∠AEG＝tan35°＝ ，EG＝6，
∴AG＝6×0.7＝4.2（米）；
答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；
（2）过E作EH⊥CB于H，
设EH＝x，
在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，
∵tan∠EDH＝ ，
∴DH＝ ，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH＝ ，
∴CH＝ ，
∵CH﹣DH＝CD＝8，
∴ ﹣ ＝8，
解得：x≈9.52，
∴AB＝AG+BG＝13.72≈14（米），
答：房屋的高AB约为14米．
第24页（共33页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造
直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22．（10分）第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的
禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委
员对话如下：
（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价
已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
【分析】（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100﹣x）支，根据
总共的费用为（1300﹣378）元列方程解答即可；
（2）设笔记本的单价为a元，根据总共的费用为（1300﹣378）元列方程解求出方程的解，
再根据a的取值范围以及一次函数的性质求出x的值，再把x的值代入方程的解即可求出
a的值．
【解答】解：（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100﹣x）支，根
据题意，得：
6x+10（100﹣x）＝1300﹣378，
解得x＝19.5，
因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；
第25页（共33页）（2）设笔记本的单价为a元，根据题意，得：
6x+10（100﹣x）+a＝1300﹣378，
整理，得：x＝ ，
因为0＜a＜10，x随a的增大而增大，所以19.5＜x＜22，
∵x取整数，
∴x＝20，21．
当x＝20时，a＝4×20﹣78＝2；
当x＝21时，a＝4×21﹣78＝6，
所以笔记本的单价可能是2元或6元．
【点评】本题考查了一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，理清题意，找出相
应的等量关系是解答本题的关键．
23．（10分）如图，AB为 O的直径，四边形ABCD内接于 O，对角线AC，BD交于点E， O
的切线AF交BD的延⊙长线于点F，切点为A，且∠CA⊙D＝∠ABD． ⊙
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．
【分析】（1）根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD，进而得∠ACD＝∠CAD，便可由等腰三
角形判定定理得AD＝CD；
（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式
求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC便可．
【解答】解：（1）证明：∵∠CAD＝∠ABD，
又∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴AD＝CD；
第26页（共33页）（2）∵AF是 O的切线，
∴∠FAB＝90°⊙，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠FAD＝90°，
∴∠ABD＝∠FAD，
∵∠ABD＝∠CAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE（ASA），
∴AF＝AE，DF＝DE，
在Rt△ADE中，∵AB＝4，BF＝5，
∴AF＝ ，
∴AE＝AF＝3，
∵ ，
∴ ，
∴DE＝ ，
∴BE＝BF﹣2DE＝ ，
∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴△BEC∽△AED，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠BDC＝∠BAC，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°
第27页（共33页）∴ ．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，全等三
角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，勾股定理，关键是
证明三角形全等与相似．
24．（12分）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解
学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计
人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）
时间x（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15
人数y（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知
识求出y与x之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，
考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时
间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少
增加几个检测点？
【分析】（1）分两种情况讨论，利用待定系数法可求解析式；
（2）设第x分钟时的排队人数为w人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x＝7
时，w的最大值＝490，当9＜x≤15时，210≤w＜450，可得排队人数最多时是490人，由全
部考生都完成体温检测时间×每分钟检测的人数＝总人数，可求解；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由“在12分钟内让全部考生完成体温检测”，
列出不等式，可求解．
【解答】解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，
当0≤x≤9时，y是x的二次函数，
①∵当x＝0时，y＝0，
第28页（共33页）∴二次函数的关系式可设为：y＝ax2+bx，
由题意可得： ，
解得： ，
∴二次函数关系式为：y＝﹣10x2+180x，
当9＜x≤15时，y＝810，
②
∴y与x之间的函数关系式为：y＝ ；
（2）设第x分钟时的排队人数为w人，
由题意可得：w＝y﹣40x＝ ，
当0≤x≤9时，w＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，
①∴当x＝7时，w的最大值＝490，
当9＜x≤15时，w＝810﹣40x，w随x的增大而减小，
②∴210≤w＜450，
∴排队人数最多时是490人，
要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x＝0，
解得：x＝20.25，
答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由题意得：12×20（m+2）≥810，
解得m≥ ，
∵m是整数，
∴m≥ 的最小整数是2，
∴一开始就应该至少增加2个检测点．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式
的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
25．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
（1）问题解决：如图 ，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数
①
第29页（共33页）量关系是 PQ ＝ BO ，位置关系是 PQ ⊥ BO ；
（2）问题探究：如图 ，△AO'E是将图 中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到
的三角形，连接CE，点②P，Q分别为CE，B①O'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并
证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图 ，△AO'E是将图 中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到
的三角形，连接BO'，点③P，Q分别为CE，B①O'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长
为1，求△PQB的面积．
【分析】（1）由正方形的性质得出BO⊥AC，BO＝CO，由中位线定理得出PQ∥OC，PQ＝
OC，则可得出结论；
（2）连接O'P并延长交BC于点F，由旋转的性质得出△AO'E是等腰直角三角形，
O'E∥BC，O'E＝O'A，证得∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，△O'PE≌△FPC（AAS），则
O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，证得△O'BF为等腰直角三角形．同理△BPO'也为等腰直角三角
形，则可得出结论；
（3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．证明△O'GP≌△BCP（SAS），得出∠O'PG＝
∠BPC，O'P＝BP，得出∠O'PB＝90°，则△O'PB为等腰直角三角形，由直角三角形的性质
和勾股定理可求出O'A和O'B，求出BQ，由三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点O为对角线AC的中点，
∴BO⊥AC，BO＝CO，
∵P为BC的中点，Q为BO的中点，
∴PQ∥OC，PQ＝ OC，
第30页（共33页）∴PQ⊥BO，PQ＝ BO；
故答案为：PQ＝ BO，PQ⊥BO．
（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接O'P并延长交BC于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，
∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，
∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，
又∵点P是CE的中点，
∴CP＝EP，
∴△O'PE≌△FPC（AAS），
∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，
∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，
∴BO'＝BF，
∴△O'BF为等腰直角三角形．
∴BP⊥O'F，O'P＝BP，
∴△BPO'也为等腰直角三角形．
又∵点Q为O'B的中点，
∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，
∴△PQB的形状是等腰直角三角形；
第31页（共33页）（3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECG＝45°，
由旋转得，四边形O'ABG是矩形，
∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∵点P是CE的中点，
∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，
∴△O'GP≌△BCP（SAS），
∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，
∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，
∴∠O'PB＝90°，
∴△O'PB为等腰直角三角形，
∵点Q是O'B的中点，
∴PQ＝ O'B＝BQ，PQ⊥O'B，
∵AB＝1，
∴O'A＝ ，
∴O'B＝ ＝ ＝ ，
∴BQ＝ ．
∴S△PQB ＝ BQ•PQ＝ × ＝ ．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性
质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的
第32页（共33页）面积等知识，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
第33页（共33页）
