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专题08 二次函数及指、对、幂数函数的问题的探究
1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）1．设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
2、（2023年全国甲卷数学（文））5．已知函数 ．记 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
3、【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
【答案】A
【解析】由9m=10可得m=log 10=
lg10
>1，而lg9lg11<
(lg9+lg11) 2
=
(lg99) 2
<1=(lg10) 2 ，所以
9 lg9 2 2
lg10 lg11
> ，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0．
lg9 lg10
又lg8lg10<
(lg8+lg10) 2
=
(lg80) 2
<(lg9) 2 ，所以
lg9
>
lg10
，即log 9>m，
2 2 lg8 lg9 8
所以b=8m−9<8log
8
9−9=0．综上，a>0>b．
故选：A.
4、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题） 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表
测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足
．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（
）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【答案】C
【解析】由 ，当 时， ，
则 .故选：C.
5、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题） 设 ， ， ．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,
所以 ;
下面比较 与 的大小关系.
记 ,则 , ，
由于
所以当00时, ,
所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即b0 ln|x−y|<0
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由 得： ，令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数， ，
， ， ，则A正确，B错误； 与 的大小不确定，故
CD无法确定，故选A．
9、（2020全国Ⅲ文理4）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数
据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 （ 的单位：天）的Logisic模型： ，
其中 为最大确诊病例数．当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，∴ ，则 ，
∴ ，解得 ，故选C．
10、（2020全国Ⅲ文10）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ，故选：A．
11、（2020全国Ⅲ理12）已知 ．设 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：由题意可知 、 、 ，
， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ．
综上所述， ．故选A．
解法二：易知 ，由 ，知
．∵ ， ，∴ ， ，即 ， 又∵ ， ，
∴ ，即 ．综上所述： ，故选A．
题组一 指、对数的比较大小
1-1、（2022·湖南娄底·高三期末）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】由题意： ， ，故 ．
又 ，即 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ．
因为 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故选：B.
1-2、（2023·安徽铜陵·统考三模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为 ，
又因为 ，
所以 ，即 ；
因为 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：A
1-3、（2023·吉林白山·统考三模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ，
所以 .故选：D.
1-4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知 ， ， （其中 为自然常
数），则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 变形，得 ， ， ，构造函数 ，利用导数得 在
上为减函数，在 上为增函数，根据单调性可得 ， ，再根据
可得答案.
【详解】 ， ， ，
设 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
综上所述： .
故选：D.题组二 一元二次、指、对、幂数的运算与性质
2-1、（2023·安徽安庆·校考一模）函数 与 在同一直角坐标系下的图象大致是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 ， ，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.
【详解】 ，为定义域上的单调递增函数
，故 不成立；
，为定义域上的单调递增函数，
，故C和D不成立.
故选：B.
2-1、（2022年深圳市高三月考模拟试卷）“幂函数 在 上为增函数”是“函数
为奇函数”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
【答案】A【解析】
【详解】要使函数 是幂函数，且在 上为增函数，
则 ，解得： ，当 时， ， ，
则 ，所以函数 为奇函数，即充分性成立；
“函数 为奇函数”，
则 ，即 ，
解得： ，故必要性不成立，
故选：A．
2-3、.（2022年闽江学院附中高三月考模拟试卷）已知函数 ，则函数
的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 .所以 ，
所以C选项的图象符合.
故选：C
2-4、（2022·江苏通州·高三期末）函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过
实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)
2
＝（ ）
A．4097 B．4107 C．5119 D．5129
【答案】B
【解析】由题意 时， ， ，在 上奇数共有 个，
， ，
，
设 ，则 ，
相减得： ，
所以 ，
所以 ．
故选：B．
题组三 指、对数函数的情景问题
3-1、（2023·江苏·统考三模）星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系
统在近海水下某深度的能量估算公式为 ，其中EP是激光器输出的单脉冲能量，Er是水下
潜艇接收到的光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km2，光斑面积与卫星高度有
关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T满足 （单位：dB）．当卫星达到一定高度
时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，则此时Γ大小约为（ ）（参考数据：
1g2≈0.301）
A．－76.02 B．－83.98 C．－93.01 D．－96.02
【答案】B
【详解】因为 ，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，所以 ，
则 ，
故选：B．
3-2、（2023·福建漳州·统考三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模
型.如果物体的初始温度是 ，环境温度是 ，则经过 物体的温度 将满足 ，其中
是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有 的物体，若放在 的空气中冷却，经过
物体的温度为 ，则若使物体的温度为 ，需要冷却（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得： ，即 ， ，
，
由 得： ，即 ，解得： ，
若使物体的温度为 ，需要冷却 .
故选：C.
3-3、（2023·安徽合肥·校联考三模）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广
贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是 ；如果
每天的“退步”率都是1%，那么一年后是 .一年后“进步”的是“退步”的
倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进
步”的是“退步”的一万倍.（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】D
【详解】设经过 天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,
则 ，
即 ，
,
故选：D．
3-4、（2022·山东枣庄·高三期末）良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，
包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，
2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，
终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的
草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的 ．已知经过x年后，碳14的残
余量 ，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年
代是（ ）．（参考数据： ）
A．公元前2893年 B．公元前2903年
C．公元前2913年 D．公元前2923年
【答案】B
【解析】 碳14的半衰期为5730年， ，当
时， ， ， 2010年之前的
4912年是公元前2902年， 以此推断此水坝大概的建成年代是公元前2903年.
故选：B.
题组四 指对数函数的综合性问题
4-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设函数 ，下列四个命题正确的是
（ ）
A．函数 为偶函数
B．若 ，其中 ， ， ，则
C．函数 在 上为单调递增函数
D．若 ，则【答案】ABD
【分析】A选项，由 ，即可得出 为偶函数；
B选项，由已知可得 ，利用对数的运算性质可得： ，可得 ；
C选项，由 ，解出可得函数的定义域为 ，即可判断出正误；
D选项，由 ，可得 ， ，作差
，化简即可得出正误.
【详解】解： ， .函数 ，
∵ ，∴ 为偶函数，故A正确；
若 ，其中 ， ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，故B正确；
函数 ，
由 ，解得 ，∴函数的定义域为 ，
因此在 上不具有单调性，故C不正确；
若 ，∴ ，∴ ，
故
，即 ，故D正确.
故选：ABD.
4-2、（2022年河北高三月考模拟试卷）已知函数 ，则下
列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 的图象关于点 对称
C. 若函数 在 上的最大值、最小值分别为M、N，则
D. 若函数 满足 ，则实数a的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项：根据奇偶性的定义判断即可；
BC选项：根据对称性判断即可；
D选项：根据对称性将原不等式整理为 ，然后根据单调性列不等式求解即可.
【详解】A选项： ， 所以 的定义域为R，关于原点对
称， ，同时 ，所
以 非奇非偶，故A错；
B选项： 的定义域为R， ，所以
关于 对称，故B正确；
定义域为R ，且，
则 关于 对称，所以 若在 处取得最大值，则 在 处取得最小值，
，故C正确；
因为 关于 对称， 关于 对称，所以
，即 ， 关
于 对称，
令 ， ，则 ，所以函数 为减函
数， 为减函数，
，所以 为减函数，则 为减函数，
，即 ，所以 ，解得
，故D错.
故选：BC.
1、（2023·江苏南通·统考一模）已知函数 ，则 __________.
【答案】4【分析】根据分段函数的定义求解即可.
【详解】由 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：4.
2、（2022·江苏海门·高三期末）已知 ，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
【答案】D
【解析】由题意， ， ， ，则
.
故选：D.
3、（淮安、南通部分学校2023-2024学年高三上学期11月期中监测数学试题）咖啡适度饮用可以提神醒
脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的
温度是 ，空气的温度是 ，经过 分钟后物体的温度为 满足 ．研究表明，
咖啡的最佳饮用口感会出现在 ．现有一杯 的热水用来冲咖啡，经测量室温为 ，那么为了获
得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待____________分钟．（结果保留整数）（参考数据：
）
【答案】5
【解析】
【分析】由题意列出方程，根据指对数互化求解即可．
【详解】由题意得， ，即 ，
所以 ，解得 ，所以大约需要等待5分钟，
故答案为：5．
4．（2023·江苏·统考三模）已知 ， （b＞1），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】若 ，则 ，∴ ， ， ，故A错．
若 ，则 ，∴ ， ，故B错．
若 ，则 ， ， ．
对于C， ，故C对，
对于D， ，而 ，故D错，
故选：C．
5、（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的
血氧饱和度正常范围是 ，当血氧饱和度低于 时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某
段时间内，可以用指数模型： 描述血氧饱和度 随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中
为初始血氧饱和度，K为参数.已知 ，给氧1小时后，血氧饱和度为 .若使得血氧饱和度达
到 ，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据： ）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
【答案】B
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要 小时，
由题意可得 ， ，两边同时取自然对数并整理，
得 ， ，
则 ，则给氧时间至少还需要 小时
故选： B
6、（2022·山东泰安·高三期末）若函数 （ 且 ）在 上为减函数，则函数
的图象可以是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 在 上为减函数，可知
函数 的定义域为 或 ，故排除A，B
又 ，可知 在 单调递减，故排除D
故选：C
7、（2023·全国·校联考三模）已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，又当
时， ，则 ______.
【答案】
【详解】因为 为奇函数，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
所以 的一个周期为8.
.因为 ，所以 ，所以 .
因为当 时， ， 是周期为8的奇函数，
所以
.
故答案为：
