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专题08 切线（选填题12种考法）考法一 在点：求切线方程
【例1】（2023·全国·统考高考真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（2021·全国·统考高考真题）曲线 在点 处的切线方程为 ．
2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线 在点 处的切线方程为
．
3．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数 是奇函数，则曲线 在点 处的切线
方程为 ．
考法二 在点：已知切线求参数
【例2-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 ．
【例2-2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知直线 是曲线 在点 处的切线方程，
则
【变式】
1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数 （其中 ）在 处的
切线为 ，则直线 过定点的坐标为 .
2．（2023·广西·统考模拟预测）若曲线 在 处的切线与直线 相互垂直，
则 ．
3．（2023·广东东莞·东莞实验中学校考一模）已知直线 与曲线 相切，则
.
考点三 在点：求参数最值
【例3】（2023·浙江·模拟预测）已知直线 与曲线 相切，则 的最小值为（ ）A． B．1 C． D．
【变式】
1．（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线 与曲线 相切，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023秋·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知 ， ，直线 与曲线
相切，则 的最小值为 .
3．（2023秋·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线 与曲线 相切，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 与直线 相切，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考法四 过点：求切线方程
【例4】（2023春·上海浦东新）已知曲线 ，过点 作曲线的切线，则切线的方程为
____.
【变式】
1．（2023吉林）已知函数 ，则曲线 过点 的切线方程为______．
2．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）过点 与曲线 相切的直线方程为
______．
3．（2022·全国·统考高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ，
．
考法五 过点：已知切线求参数【例5】（2023·北京）过原点的直线 与分别与曲线 ， 相切，则直线 斜率的乘积
为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【变式】
1．（2023春·河南周口 ）已知曲线 在 处的切线过点 ，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．3
2.（2023广东湛江）过点 可以作曲线 的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
考法六 过点：求切线的数量
【例6】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数 过点 作曲线
的切线，则切线的条数为 ．
【变式】
1．（2023春·甘肃张掖）若过点 作曲线 的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
2.（2023·海南·统考模拟预测）已知函数 ，过点 作曲线 的切线，则切线
的条数为 ．
3．（2023·高二单元测试）已知函数 ，则过点 与曲线 相切的直线有
条.
考法七 过点：求最值与取值范围【例7-1】（2022·全国·统考高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
【例7-2】（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知函数 ，若过点 恰能作3条曲
线 的切线，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（2021·全国·统考高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·云南）过坐标原点可以作曲线 两条切线，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江西·校联考模拟预测）若过 轴上任意点 可作曲线 两条切线，则
的取值范围 ．
4．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为
考法八 公切线
【例 8-1】（2023·江西南昌·校考模拟预测）若直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则b的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或【例8-2】（2023·河北·统考模拟预测）若曲线 与曲线 存在公切线，则
实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数 ， ，若直线
为 和 的公切线，则b等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线 是曲线 与 的公
切线，则 .
3．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）若存在直线与曲线
都相切，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考法九 切线与倾斜角
【例9-1】（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）设点 是函数
图象上的任意一点，点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【例9-2】（2023春·福建·高二校联考期中）曲线 在某点处的切线的倾斜角为锐角，且
该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式】
1．（2023·上海徐汇·位育中学校考三模）设P是曲线 上任意一点，则曲线在点P处的切线的
倾斜角α的取值范围是 ．
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设点P是函数 图象
上的任意一点，点P处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是
3．（2023·河北衡水·校联考二模）已知函数 的导函数为 ，且满足关系式
.则 的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为 .
考法十 切线的应用1---点到曲线的距离最值
【例10】（2022·全国·高三专题练习（理））若点 与曲线 上点 距离最小值为 ，则实数
为_______.
【变式】
1．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学）直线 分别与曲线 ， 直线
交于 两点， 则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北邯郸·二模）已知点P为曲线 上的动点，O为坐标原点．当 最小时，直线OP恰
好与曲线 相切，则实数a＝___．
3．（2023·山西临汾·统考一模）设 是曲线 上的动点，且 .则 的取值范围是.
考法十一 切线的应用2---曲线上的动点到直线距离的最值
【例11】（2023春·陕西安康）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 距离的
最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式】
1．（2023春·广西钦州 ）已知P是函数 图象上的任意一点，则点P到直线 的距
离的最小值是（ ）
A． B．5 C．6 D．
2．（2023秋·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）点 是曲线 上任意一点，则
点 到直线 的最短距离 .
3．（2023春·福建漳州·高二校考阶段练习）已知函数 ，如果直线 与 的图象无
交点，则 的取值范围是
考法十二 切线的应用3--零点或实根的个数
【例12-1】（2023北京）函数 ，若方程 恰有3个根，则实数 的取值范
围为 .
【例12-2】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数 ，
，若方程 恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【变式】
1．（2023·四川·校考模拟预测）若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数 ， ，若
函数 恰有2个零点，则实数m的取值范围为 .
3．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数 ，若 有且仅有两个零点，
则实数 的取值范围为
一．单选题
1．（2023·山东潍坊·三模）若 为函数 图象上的一个动点，以 为切点作曲线
的切线，则切线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知 ，设曲线 在处的切线斜率为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．2
4．（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）若函数 的图象上任意一点
的切线的斜率都大于0，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山东烟台·校考模拟预测）已知函数 （ 且 ）有一个极大值点 和一个
极小值点 ，且 ，则a的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线 与曲线 和曲线 均相切，则实数
的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
7．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数 ，存在两条过原点的直线与曲线
相切，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
8．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若曲线 上恰有三个不同的点到直线
的距离为 ，则实数a的值为（ ）
A．-3 B． C．1 D．-3或1
9．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数 ，若方程 有两个实
根，且两实根之和小于0，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知 ， 为函数 的零
点， ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 大小关系不确定
二．多选题
11．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 有2个零点 B．若 ，则 有3个零点
C．存在负数 ，使得 只有1个零点D．存在负数 ，使得 有3个零点
12．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知 ，若过点 恰能作两条直线与曲线 相切，其中 ，则m与n可能满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数 （e为自然对数的底数），则
下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的切线斜率可以是
B．曲线 的切线斜率可以是3
C．过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条
D．过点 且与曲线 相切的直线有且只有2条
14．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数 ，则过点 恰能作曲线 的
两条切线的充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
15（2023·上海·高二专题练习）已知函数 ，过点 作曲线 的切线，下列说法正确的是
（ ）
A．当 ， 时，有且仅有一条切线
B．当 时，可作三条切线，则
C．当 ， 时，可作两条切线
D．当 时，可作两条切线，则b的取值范围为 或
三．填空题
16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知 的图象在 处的切线与与函数 的图象也相切，则该切线的斜率 .
17．（2023·浙江·统考一模）若曲线 存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是 ．
18．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知曲线 与曲线 有相同的切线，则这条切线
的斜率为 .
19．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数 ，则 所有的切线中斜率最小的切线
方程为 .
20．（2023·全国·模拟预测）曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则
．
21．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）设点 为函数 与 图象的
公共点，以 为切点可作直线 与两曲线都相切，则实数 的最大值为 ．
22．（2023·河南郑州·校联考二模）已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程为
.
23．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）函数 在 处的切线方程为
.
24．（2023·广东梅州·统考三模）曲线 在点 处的切线方程为 .
25．（2023·湖南·校联考模拟预测）若函数 是奇函数，则曲线 在点
处的切线方程为 ．
26．（2022·全国·统考高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值
点和极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．27．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数 ，若曲线 与曲线
存在公切线，则实数 的最大值为 ．
28．（2023·山西吕梁·统考二模）若过点 （ ）有3条直线与函数 的图象相切，则
的取值范围是 ．
29．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数 过点 作曲线 的
切线，则切线的条数为 ．
30．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）若过点 可以作曲线 的两条切线，切点
分别为 ，则 的取值范围是 .
31．（2023·上海·统考模拟预测）若曲线 有两条过 的切线，则 的范围是 ．
32．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数 ，过点 存在3条直线与曲线
相切，则实数 的取值范围是 .
33．（2023·云南·校联考模拟预测）已知抛物线 ： ，在直线 上任取一点 ，过点 作抛物
线 的两条切线，切点分别为 ， ，则原点到直线 距离的最大值为 .
34．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知曲线 与直线
相切，则 的最大值为 ．
35．（2023秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知 ，若过点 恰能作两条直线
与曲线 相切，且这两条切线关于直线 对称，则 的一个可能值为 ．
