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第 77 讲 条件概率与全概率公式
1、.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称 为在事件A发生的条件下，
事件B发生的条件概率，简称条件概率.
2、两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝ ；
②概率的乘法公式：P(AB)＝
3、全概率公式
一般地，设A，A，…，A是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A＝Ω且P(A)>0，i＝1,2，…，n，
1 2 n 1 2 n i
则对任意的事件B⊆Ω，有 ，我们称上面的公式为全概率公式．
4. *贝叶斯公式：
一般地，设A，A，…，A是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A＝Ω，且P(A)>0, i＝1,2，…，
1 2 n 1 2 n i
n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0有P(A
i
|B)＝＝，i＝1,2，…，n.
1、（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到 的概率为 ；已知
第一次抽到的是 ，则第二次抽取 的概率为 ．
2、（2023•甲卷（理））有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐
部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
1、 (2022·泰州模拟)足球训练中点球射门是队员练习的必修课，经统计，某足球队员踢向球门左侧时进球
的概率为80%，踢向球门右侧时进球的概率为75%.若该球员进行点球射门时踢向球门左、右两侧的概率分
别为60%，40%，则该球员点球射门进球的概率为( )
A. 77% B. 77.5% C. 78% D. 78.5%
2、 (2022·揭阳高三期末)袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依次抽取两
个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是( )A. B. C. D.
3、 (多选)(2022·聊城二模)从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽
出1道题，抽出的题不再放回，则下列说法中正确的是( )
A. “第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件
B. “第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立
C. 第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是
D. 在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是
4、已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|A)＝0.2，则P(A)＝( )
A. B. C.0.33 D.0.1
考向一 条件概率
例1、一袋中共有大小相同的5个黑球和5个白球．
(1) 若从袋中任意摸出2个球，求至少有1个白球的概率；
(2) 现从中不放回地取球，每次取 1个球，取2次，已知第一次取得白球，求第二次取得黑球的概
率．
变式1、 (1)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次
从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A. B. C. D.
(2)对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条
件下，第二次摸到正品的概率是( )
A. B. C. D.
变式2、（1）从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次
抽到偶数的概率为________．
(2)某射击选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，
则随后一次击中10环的概率是( )
A. B. C. D.
变式3、某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与
其上年度出险次数的关联如下：
上年度出
0 1 2 3 4 ≥5
险次数保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种的一位续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出
0 1 2 3 4 ≥5
险次数
概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
(1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
(3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
方法总结：求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的
基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝
考向二 全概率公式
例2、有甲、乙两个袋子，甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球．现从甲袋中任取
2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率．
变式1、 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为 0.9，用未
校正过的枪射击，中靶率为0.4.
(1) 该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
(2) 若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
变式2、(1) 某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表
明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被
保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在
一年内发生事故的概率是( )
A. 0.155 B. 0.175C. 0.016 D. 0.096
(2) 人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如
利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，
在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为 80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为
40%，则该只股票将上涨的概率为 .
方法总结：利用全概率公式的思路：
(1) 按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2) 求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；
(3) 代入全概率公式计算
1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，
发现该100名患者中有20名的年龄位于区间 内．已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于
区间 内人口占该地区总人口的30%．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 内，则此
人患该疾病的概率为（ ）
A．0.001 B．0.003 C．0.005 D．0.007
2、（2022·广东揭阳·高三期末）袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依次
抽取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
3、（2023·江苏南通·统考一模）（多选题）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､
黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件 ，
则（ ）
A． B． 为互斥事件
C． D． 相互独立
4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史
知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱
中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙
两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支
部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲
箱中取出的是2个选择题的概率.
