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第 27 讲 三角恒等变换（1）
知识梳理
1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
sin(α±β)＝ ，简记作S ；
(α±β)
cos(α±β)＝ ，简记作C ；
(α±β)
tan(α±β)＝ ，简记作T
(α±β)．
2. 二倍角公式
sin2α＝ ；
tan2α＝ ；
cos2α＝ ＝ ＝ ．
3. 辅助角公式
y＝asinx＋bcosx＝ ，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.
4. 公式的逆用及有关变形
tanα±tanβ＝ ；
sinα±cosα＝ )；
sinα·cosα＝ ；
1＋sin2α＝ ；
1－sin2α＝ ；
sin2α＝ ；
cos2α＝ ；
tan2α＝ (降幂公式)；
1－cos2α＝ ；
1＋cos2α＝ (升幂公式)
( π)
1、【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos α+ sinβ，则（ ）
4
A．tan(α−β)=1 B．tan(α+β)=1
C．tan(α−β)=−1 D．tan(α+β)=−1
π
2、【2022年浙江】若3sinα−sinβ=√10,α+β= ，则sinα=__________，cos2β=_________．
2
3、【2021年甲卷文科】若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4、【2021年乙卷文科】 （ ）A． B． C． D．
5、【2020年新课标1卷理科】已知 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
6、【2020年新课标3卷理科】已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
1、sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )
A.1 B. C. D.－
2、知cos α＝－，α∈，则sin等于( )
A.－ B. C.－ D.
3（2022·福建三明·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4、（2022·湖南·雅礼中学二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考向一 利用两角和(差)公式运用
例1、（1）（2022·福建·模拟预测）已知 为锐角，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．（2）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角 的终边过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
变式1、（2022年湖南常德市高三模拟试卷）（多选题）下列选项中，与 的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
变式2、（1）若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝ ．
(2) 在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则C＝ ；
变式3、（1）已知 是第二象限角，且 ， ，则 ____.
（2）已知sin α＝sin＋，则cos的值为( )
A. B.－ C. D.－
方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、
所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，
选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．
考向二 二倍角公式的运用
例2、（2022年深圳市深圳中学高三模拟试卷）（多选题）下列各式的值等于 的是（ ）
A. B. C. D.
变式1、(1) 化简： （－tan ）·（1＋tan α·tan ）＝ ；(2) 求证：＝sin 2α.
变式2、已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．－ D．
方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下 3点：①看角之间的差别与联
系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化
弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题
考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．
考向三 公式的综合运用
例3、化简：(0<θ<π)．变式1、（1）（2022·湖北江岸·高三期末）计算 （ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末） ______．
变式2、（1）（2022年福建龙岩市高三模拟试卷）（多选题）已知 ， ，
其中 ， 为锐角，以下判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（2）（2023·江苏南通·统考一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
方法总结：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函
数公式之间的共同点.
1、（2022·福建·模拟预测）已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．2、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知 ，则
（ ）
A． B． C．3 D．
3、（2022·广东湛江·二模）若 ， ，则 ___________.
4、（2022·广东韶关·一模）若 ，则 __________.
5、（2022年湖北宜昌市高三模拟试卷） （ ）
A. B. C. D.
6、（2022年湖北黄冈市高三模拟试卷）已知 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
3
sin , 0,
7、（2021·山东青岛市·高三三模）若 4 5 2，则 cos2 ___________.
