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第 27 节 直线的方程与两直线的位置关系
基础知识要夯实
1．直线的倾斜角❶
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直
线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α ，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P ( x ， y ) ， P ( x ， y) 在直线l上，且x≠x，则l的斜率k＝ .
1 1 1 2 2 2 1 2
❷
3．直线方程的5种形式
名称 方程 适用条件
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含垂直于x轴的直线
0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 不含直线x＝x(x≠x)和直线y＝y(y≠y)
1 1 2 1 1 2
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式❸ Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线
平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；
倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．即直线与倾斜角是多对一的映射关系．
如果y ＝y ，x≠x ，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y≠y ，x ＝x ，则直线与x轴垂
2 1 2 1 2 1 2 1
直，倾斜角等于90°，斜率不存在．
4.斜率与倾斜角的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．
(2)当直线l的倾斜角α∈ 时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈ 时，α越大，直线
l的斜率越大．
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．
(4)已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范围，求倾斜
角α的范围，实质是在 ∪ 上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数
图象来解决此类问题．(1)把直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化为下面的形式：
①化为截距式：Ax＋By＝－C，即 .
②化为斜截式：y＝－ x－ .
③化为点斜式：先求出直线过定点 ，k＝－ ，则点斜式为y－ ＝－(x－0)．
(2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中，
若A＝0，则y＝－ ，它表示一条与y轴垂直的直线；
若B＝0，则x＝－ ，它表示一条与x轴垂直的直线.
5．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l，l，若其斜率分别为k，k，则有l∥l k＝k.
1 2 1 2 1 2 1 2
② 当直线 l ， l 不重合且斜率都不存在时， l ∥ l.
1 2 1 2 ⇔
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l，l 的斜率存在，设为k，k，则有l⊥l k·k＝－1.
1 2 1 2 1 2 1 2
② 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时， l ⊥ l.
⇔ 1 2
6．两条直线的交点的求法
直线 l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0，则 l 与 l 的交点坐标就是方程组
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
的解．
7．三种距离公式
(1)P(x，y)，P(x，y)两点之间的距离：|PP|＝ .
1 1 1 2 2 2 1 2
(2)点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离： d ＝ .
0 0 0
(3)平行线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0间距离： d ＝ .
1 2
[熟记常用结论]1．过定点P(x ，y)的直线系方程：A(x－x)＋B(y－y)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y ＝k(x－x)
0 0 0 0 0 0
和x＝x.
0
2．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
3．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
4．过两条已知直线Ax＋By＋C ＝0，Ax＋By＋C ＝0交点的直线系方程：Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2
By＋C )＝0(不包括直线Ax＋By＋C ＝0)和Ax＋By＋C ＝0.
2 2 2 2 2 2 2 2
5．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
6．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
7．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
9．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－
k)．
基本技能要落实
考点一 直线的倾斜角与斜率
【例1】(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是( )
A．[0，π) B. ∪
C. D. ∪
(2)已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取
值范围是________．
【答案】(1)B (2)(－∞，－ ]∪[1，＋∞)
【解析】(1)设直线的倾斜角为θ，
则有tan θ＝－sin α，
又－sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，
所以0≤θ≤ 或 ≤θ＜π.
(2)如图，因为k ＝ ＝1，
AP
k ＝ ，
BP
所以直线l的斜率k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．
【方法技巧】斜率取值范围的2种求法
数形结 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确
合法 定
函数图
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
象法
【跟踪训练】
1.若图中的直线l，l，l 的斜率分别为k，k，k，则( )
1 2 3 1 2 3
A．k＜k＜k B.k＜k＜k
1 2 3 3 1 2
C．k＜k＜k D．k＜k＜k
3 2 1 1 3 2
【答案】D
【解析】直线l 的倾斜角α 是钝角，故k ＜0.直线l 与l 的倾斜角α 与α 均为锐角，且α ＞α ，所
1 1 1 2 3 2 3 2 3
以0＜k＜k，因此k＜k＜k.故选D.
3 2 1 3 2
2．已知点(－1,2)和 在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是
________．
【答案】
【解析】点(－1,2)和 在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1) ＞
0，解得－ ＜a＜－1，即直线 l 的斜率的范围是(－ ，－1)，故其倾斜角的取值范围是
考点二 直线的方程
【例2】(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的 的直线方程．
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
【解析】(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4× ＝－ .又直线经过点A(1,3)，因此所求直线
方程为y－3＝－ (x－1)，即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为 ，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－ ，所
以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－ ，所以直线方程为y＝－ x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
【方法技巧】
求直线方程的方法
(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程；
(2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方
程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．
[提醒] (1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨
论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.
【跟踪训练】
1.求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等．
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．
(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
【解析】(1)设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，
所以l的方程为y＝ x，即x－4y＝0.
若a≠0，设l的方程为 ，
因为l过点(4,1)，所以 ，
所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan α＝3，所以tan 2α＝
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－ (x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.考点三 两条直线的平行与垂直
【例3】已知直线l ：ax＋2y＋6＝0和直线l ：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
1 2
(1)试判断l 与l 是否平行；
1 2
(2)当l ⊥l 时，求a的值.
1 2
【解析】(1)法一 当a＝1时，l ：x＋2y＋6＝0，l ：x＝0，l 不平行于l ；
1 2 1 2
当a＝0时，l ：y＝－3，l ：x－y－1＝0，l 不平行于l ；
1 2 1 2
当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l ：y＝－x－3，
1
l ：y＝x－(a＋1)，
2
l ∥l
1 2
解得a＝－1，综上可知，当a＝－1时，l ∥l .
⇔ 1 2
法二 由A B －A B ＝0，得a(a－1)－1×2＝0，
1 2 2 1
由A C －A C ≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l ∥l 可得a＝－1，
1 2 2 1 1 2
故当a＝－1时，l
1
∥l
2
.
⇔⇔
(2)法一 当a＝1时，l ：x＋2y＋6＝0，l ：x＝0，
1 2
l 与l 不垂直，故a＝1不成立；
1 2
当a＝0时，l ：y＝－3，l ：x－y－1＝0，l 不垂直于l ，故a＝0不成立；
1 2 1 2
当a≠1且a≠0时，
l ：y＝－x－3，l ：y＝x－(a＋1)，
1 2
由·＝－1，得a＝.
法二 由A A ＋B B ＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝.
1 2 1 2
【方法技巧】1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑
到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y的系
数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
【跟踪训练】
1.(2022·宁波期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程
是( )
A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0
【答案】A【解析】因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直
线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0.
2.已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
【答案】1
【解析】由题意知 ＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
考点四 两直线的交点与距离问题
【例4】(1)(2022·淮南模拟)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第
一象限，则实数k的取值范围为( )
A.
B.∪(－1，＋∞)
C.∪
D.
(2)(2022·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范
围是________.
【答案】(1)D (2)[0，10]
【解析】(1)联立解得x＝，y＝(k≠－2).
∵直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，
∴>0，且>0.
解得－<k<.故选D.
(2)由题意得，点P到直线的距离为＝.
又≤3，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10].
【方法技巧】1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写
出直线方程.
2.利用距离公式应注意：(1)点P(x ，y )到直线x＝a的距离d＝|x －a|，到直线y＝b的
0 0 0
距离d＝|y －b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为
0
对应相等.
【跟踪训练】
1.(2022·贵阳诊断)与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线方程为( )A.2x＋y＝0
B.2x＋y－2＝0
C.2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D.2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
【答案】C
【解析】设与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线方程为2x＋y＋m＝0(m≠－1)，
∴＝，解得m＝0或m＝－2.
∴与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线方程为2x＋y＝0或2x＋y－2＝0.
2.求经过直线l ：3x＋2y－1＝0和l ：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l ：3x－5y
1 2 3
＋6＝0的直线l的方程为________________.
【答案】5x＋3y－1＝0
【解析】先解方程组
得l ，l 的交点坐标为(－1，2)，
1 2
再由l 的斜率求出l的斜率为－，
3
于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
考点五 对称问题
【例5】(1) 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l ：2x＋y－8＝0和l ：x－3y＋10＝0截
1 2
得的线段被点P平分，则直线l的方程为________.
【答案】x＋4y－4＝0
【解析】设l 与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，
1
2a－6)在l 上，代入l 的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直
2 2
线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
（2）一束光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，则
入射光线所在直线的方程为________.
【答案】5x－4y＋2＝0
【解析】设点Q(1，1)关于直线l的对称点为Q′(x′，y′)，由已知得解得
即Q′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q′在入射光线所在的直线上，又k ＝＝，
PQ′
∴入射光线所在直线的方程为y－3＝(x－2)，即5x－4y＋2＝0.
(3)(2021·成都诊断)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是( )
A.3x－4y＋5＝0 B.3x－4y－5＝0C.3x＋4y－5＝0 D.3x＋4y＋5＝0
【答案】D
【解析】设所求直线上点的坐标(x，y)，则关于x轴的对称点(x，－y)在已知的直线3x
－4y＋5＝0上，所以所求对称直线方程为3x＋4y＋5＝0，故选D.
(4)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________.
【答案】x－2y＋3＝0
【解析】设所求直线上任意一点P(x，y)，
则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x ，y )，
0 0
由得
由点P′(x ，y )在直线2x－y＋3＝0上，
0 0
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
【方法技巧】1.点关于点的对称：点P(x，y)关于M(a，b)对称的点P′(x′，y′)满足
2.直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考
虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.
3.若点A(a，b)与点B(m，n)关于直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)对称，则直线Ax＋By＋
C＝0垂直平分线段AB，即有
4.几个常用结论
(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).
(2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y).
5.求直线l 关于直线l对称的直线l 有两种处理方法：
1 2
(1)在直线l 上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直
1
线l的对称点，再用两点式写出直线l 的方程.
2
(2)设点P(x，y)是直线l 上任意一点，其关于直线 l的对称点为P (x ，y )(P 在直线l
2 1 1 1 1 1
上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x ，y ，再代入直线l 的方程，
1 1 1
即得直线l 的方程.
2
【跟踪训练】
1.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.
【解析】 (1)设A′(x，y)，则
解得即A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上.设对称点
为M′(a，b)，
则
解得即M′.
设m与l的交点为N，则由
得N(4，3).又m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1，1)，N(4，3)，
则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.
易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二 设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－
x，－4－y)，∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
达标检测要扎实
1．设直线 ， ，若 ，则 （ ）
A．-1 B．1 C．±1 D．0
【答案】D
【解析】 ， 当 时， ，矛盾，
当 时，符合题意，故选：D.
2．已知直线 ，当 变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】D
【解析】 可化为 ，∴直线过定点 ，故选：D.
3．已知直线 ，点 ， ，若直线 与线段AB有公共点，则实数 的取值
范围是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】若直线 与线段 有公共点，则 、 在直线 的两侧（也可以点在直线上）.
令 ，则有 ， ， ，即 .
解得 ，故选：A.
4．已知点 与 关于直线 对称，则 的值分别为（ ）
A．1，3 B． ， C．-2，0 D． ，
【答案】B
【解析】 ，若点 与 关于直线 对称，
则直线 与直线 垂直，直线 的斜率是 ，
所以 ，得 .
线段 的中点 在直线 上，则 ，得 故选:B
5．点 关于直线 的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点 关于直线 的对称点是 ，则有 ，解得 ， ，
故点 关于直线 的对称点是 .故选：B.
6．若直线 经过 ， ， 两点，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，直线 经过 ， ，
则直线 的斜率 ，
又由 ，则 ，则有 ，
又由 ，则 ；故选： ．
7．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意直线方程可写为：
所以直线的斜率为 ，由直线倾斜角的取值范围为
故题中直线的倾斜角为120°，选项C正确，选项ABD错误，故选：C.
8．已知点 、 ，若线段 的垂直平分线的方程是 ，则实数 的值是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】由中点坐标公式，得线段 的中点坐标为 ，
直线 的斜率为 ，由题意知，直线 的斜率为 ，
所以， ，解得 .故选：C.
9．如果两条直线 与 平行，则实数m的值为
（ ）
A．2 B．﹣3 C．﹣3或2 D．3或2
【答案】D
【解析】∵两条直线 与 平行，
∴ ，即 ，
解得 或3，
当 时， ， ，满足题意；
当 时， ， ，满足题意；故选：D
10．平行于直线 且过 的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，故 ，
根据点斜式方程可得 ，化简得 ，故选：D
11．已知 则直线 不过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B【解析】直线方程即： ，
其斜率 ，直线在 轴的截距 ，
据此可知直线不经过第二象限.
本题选择B选项.
12．已知直线 ： ，点 ， ，若直线 与线段 相交，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线 方程变形得： .
由 得 ，∴直线 恒过点 ，
， ，
由图可知直线 的斜率 的取值范围为： 或 ，
又 ，
∴ 或 ，即 或 ，
又 时直线的方程为 ，仍与线段 相交，
∴ 的取值范围为 .
故选：C.二、填空题
13．直线l 的斜率为k= ，直线l 的倾斜角为l 的 ，则直线l 与l 的倾斜角之和为________.
1 1 2 1 1 2
【答案】90°
【解析】因为l 的斜率k= ，所以倾斜角为60°.
1 1
又l 的倾斜角为l 的 ，所以l 的倾斜角为30°，
1 1 2
所以l 与l 的倾斜角之和为60°+30°=90°.
1 2
故答案为：90°．
14．方程组 有无穷多组解，则实数 ___________
【答案】
【解析】若关于 的方程组 有无穷多组解，
则直线 与直线 重合，即 ，解得 ，
故答案为 ．
15．在平面直角坐标系 中，定义 ， 两点的折线距离 .
设点 ， ， ， ，若 ，则 的取值范围___________.
【答案】【解析】由题意 ，设 ， ，
所以 ，
当 时， ，
， ， ，
时， ，
， ， ，
综上， ，
故答案为： ，
16．已知实数x，y满足方程 ，当 ]时， 的取值范围为_______.
【答案】
【解析】 的几何意义是过 两点的直线的斜率，如图所示：
由题知点M在直线 上，且 ，当 时， ；当 时， .设
， .又 ，结合图象可得，
的取值范围是.
故答案为：
三、解答题
17．已知直线 的倾斜角是所求直线 的倾斜角的大小的5倍，且直线 分别满足下列条
件：（结果化成一般式）
（1）若过点 ，求直线 的方程．
（2）若在 轴上截距为 ，求直线 的方程．
（3）若在 轴上截距为3，求直线 的方程．
【解析】由直线 得其斜率为 ，则其倾斜角的正切值为 ，
，
又直线 的倾斜角是所求直线 的倾斜角的大小的5倍，
故所求直线 的倾斜角为 ，其斜率为 ；
（1）若所求直线过点 ，由点斜式方程得： ，
整理得： ；
即所求方程为 ；（2）若所求直线在 轴截距为 ，则直线 过点 ，
由点斜式方程得： ，
整理得 ；
即所求方程为 ；
（3）在 轴上截距为3，由斜截式方程得： ，
整理得： ；
即所求方程为 .
18．已知直线l： .
（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
（2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.
【解析】（1） 直线l为 ，
即 ，
，解得 ，
不论a为何值，直线l总过第一象限的点 ，
即直线l过第一象限；
（2）因为直线 的斜率显然存在，
又直线l不经过第二象限，直线l过第一象限，
所以斜率只能为正，且直线与 轴不能交于正半轴；
因此 ；解得 ，
的取值范围是 .19．三角形的三个顶点是 ， ， ．
（1）求 边上的高所在直线的方程；
（2）求 边上的中线所在直线的方程．
【解析】（1） 边所在直线的斜率
因为 所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为 ，
所以 高线的斜率为 ，又因为 高线所在的直线过
所以 高线所在的直线方程为 ，即
（2）设 中点为 ，则中点 ，又
所以 边上的中线 所在的直线方程为： ，即：
20．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设 AOB的面积为S，求
S的最小值及此时直线l的方程． △
【解析】（1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点
（－2，1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，
则 解得k≥0，故k的取值范围是 ．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A ，B（0，1＋2k）．
又 且1＋2k＞0，∴k＞0．
故S＝ |OA||OB|＝ × ×（1＋2k）＝ ≥ ×（4＋ ）＝4，当且仅当4k＝ ，即k＝ 时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
21．已知直线l经过点（0，﹣2），其倾斜角为30°．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
【解析】（1）根据题意，直线l的倾斜角为30°，则其斜率k＝tan30° ，
又由直线经过点（0，﹣2），则其方程为y+2 （x﹣0），即y x﹣2；
（2）根据题意，由（1）的结论，直线l的方程为y x﹣2，
与y轴交点坐标为（0，﹣2），与x轴的交点为（2 ，0），
则直线l与两坐标轴围成三角形的面积S 2×2 2 ．
22．已知 的三个顶点分别为 ， ， ．
（1）若过 的直线 将 分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从 点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，
最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）直线BC的方程为： ，
直线 只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点，由 得 ， ，
直线 与x轴交点为 ， ，
由 ，即 ，
化简得： ，又 ，
，解得： ，
而 ， ．
（2）设 ，直线AC的方程为： ，直线BC的方程为： ，
设 关于直线AC的对称点为 ，
则 ，解得 ，
同理可得 关于直线BC的对称点为 ，
则 在直线ED上，所以直线ED的斜率为 ，
的斜率为 ，l方程为 ，即 ， 过定点 ．
