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第 27 节 直线的方程与两直线的位置关系
基础知识要夯实
1．直线的倾斜角❶
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直
线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α ，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P ( x ， y ) ， P ( x ， y) 在直线l上，且x≠x，则l的斜率k＝ .
1 1 1 2 2 2 1 2
❷
3．直线方程的5种形式
名称 方程 适用条件
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含垂直于x轴的直线
0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 不含直线x＝x(x≠x)和直线y＝y(y≠y)
1 1 2 1 1 2
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式❸ Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线
平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；
倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．即直线与倾斜角是多对一的映射关系．
如果y ＝y ，x≠x ，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y≠y ，x ＝x ，则直线与x轴垂
2 1 2 1 2 1 2 1
直，倾斜角等于90°，斜率不存在．
4.斜率与倾斜角的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．
(2)当直线l的倾斜角α∈ 时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈ 时，α越大，直线
l的斜率越大．
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．
(4)已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范围，求倾斜
角α的范围，实质是在 ∪ 上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数
图象来解决此类问题．(1)把直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化为下面的形式：
①化为截距式：Ax＋By＝－C，即 .
②化为斜截式：y＝－ x－ .
③化为点斜式：先求出直线过定点 ，k＝－ ，则点斜式为y－ ＝－(x－0)．
(2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中，
若A＝0，则y＝－ ，它表示一条与y轴垂直的直线；
若B＝0，则x＝－ ，它表示一条与x轴垂直的直线.
5．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l，l，若其斜率分别为k，k，则有l∥l k＝k.
1 2 1 2 1 2 1 2
② 当直线 l ， l 不重合且斜率都不存在时， l ∥ l.
1 2 1 2 ⇔
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l，l 的斜率存在，设为k，k，则有l⊥l k·k＝－1.
1 2 1 2 1 2 1 2
② 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时， l ⊥ l.
⇔ 1 2
6．两条直线的交点的求法
直线 l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0，则 l 与 l 的交点坐标就是方程组
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
的解．
7．三种距离公式
(1)P(x，y)，P(x，y)两点之间的距离：|PP|＝ .
1 1 1 2 2 2 1 2
(2)点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离： d ＝ .
0 0 0
(3)平行线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0间距离： d ＝ .
1 2
[熟记常用结论]1．过定点P(x ，y)的直线系方程：A(x－x)＋B(y－y)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y ＝k(x－x)
0 0 0 0 0 0
和x＝x.
0
2．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
3．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
4．过两条已知直线Ax＋By＋C ＝0，Ax＋By＋C ＝0交点的直线系方程：Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2
By＋C )＝0(不包括直线Ax＋By＋C ＝0)和Ax＋By＋C ＝0.
2 2 2 2 2 2 2 2
5．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
6．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
7．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
9．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－
k)．
基本技能要落实
考点一 直线的倾斜角与斜率
【例1】(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是( )
A．[0，π) B. ∪
C. D. ∪
(2)已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取
值范围是________．
【答案】(1)B (2)(－∞，－ ]∪[1，＋∞)
【解析】(1)设直线的倾斜角为θ，
则有tan θ＝－sin α，
又－sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，
所以0≤θ≤ 或 ≤θ＜π.
(2)如图，因为k ＝ ＝1，
AP
k ＝ ，
BP
所以直线l的斜率k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．
【方法技巧】斜率取值范围的2种求法
数形结 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确
合法 定
函数图
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
象法
【跟踪训练】
1.若图中的直线l，l，l 的斜率分别为k，k，k，则( )
1 2 3 1 2 3
A．k＜k＜k B.k＜k＜k
1 2 3 3 1 2
C．k＜k＜k D．k＜k＜k
3 2 1 1 3 2
【答案】D
【解析】直线l 的倾斜角α 是钝角，故k ＜0.直线l 与l 的倾斜角α 与α 均为锐角，且α ＞α ，所
1 1 1 2 3 2 3 2 3
以0＜k＜k，因此k＜k＜k.故选D.
3 2 1 3 2
2．已知点(－1,2)和 在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是
________．
【答案】
【解析】点(－1,2)和 在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1) ＞
0，解得－ ＜a＜－1，即直线 l 的斜率的范围是(－ ，－1)，故其倾斜角的取值范围是
考点二 直线的方程
【例2】(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的 的直线方程．
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
【解析】(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4× ＝－ .又直线经过点A(1,3)，因此所求直线
方程为y－3＝－ (x－1)，即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为 ，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－ ，所
以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－ ，所以直线方程为y＝－ x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
【方法技巧】
求直线方程的方法
(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程；
(2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方
程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．
[提醒] (1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨
论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.
【跟踪训练】
1.求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等．
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．
(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
【解析】(1)设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，
所以l的方程为y＝ x，即x－4y＝0.
若a≠0，设l的方程为 ，
因为l过点(4,1)，所以 ，
所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan α＝3，所以tan 2α＝
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－ (x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.考点三 两条直线的平行与垂直
【例3】已知直线l ：ax＋2y＋6＝0和直线l ：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
1 2
(1)试判断l 与l 是否平行；
1 2
(2)当l ⊥l 时，求a的值.
1 2
【解析】(1)法一 当a＝1时，l ：x＋2y＋6＝0，l ：x＝0，l 不平行于l ；
1 2 1 2
当a＝0时，l ：y＝－3，l ：x－y－1＝0，l 不平行于l ；
1 2 1 2
当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l ：y＝－x－3，
1
l ：y＝x－(a＋1)，
2
l ∥l
1 2
解得a＝－1，综上可知，当a＝－1时，l ∥l .
⇔ 1 2
法二 由A B －A B ＝0，得a(a－1)－1×2＝0，
1 2 2 1
由A C －A C ≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l ∥l 可得a＝－1，
1 2 2 1 1 2
故当a＝－1时，l
1
∥l
2
.
⇔⇔
(2)法一 当a＝1时，l ：x＋2y＋6＝0，l ：x＝0，
1 2
l 与l 不垂直，故a＝1不成立；
1 2
当a＝0时，l ：y＝－3，l ：x－y－1＝0，l 不垂直于l ，故a＝0不成立；
1 2 1 2
当a≠1且a≠0时，
l ：y＝－x－3，l ：y＝x－(a＋1)，
1 2
由·＝－1，得a＝.
法二 由A A ＋B B ＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝.
1 2 1 2
【方法技巧】1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑
到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y的系
数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
【跟踪训练】
1.(2022·宁波期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程
是( )
A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0
【答案】A【解析】因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直
线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0.
2.已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
【答案】1
【解析】由题意知 ＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
考点四 两直线的交点与距离问题
【例4】(1)(2022·淮南模拟)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第
一象限，则实数k的取值范围为( )
A.
B.∪(－1，＋∞)
C.∪
D.
(2)(2022·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范
围是________.
【答案】(1)D (2)[0，10]
【解析】(1)联立解得x＝，y＝(k≠－2).
∵直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，
∴>0，且>0.
解得－
