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第 27 节 直线的方程与两直线的位置关系
基础知识要夯实
1．直线的倾斜角❶
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直
线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α ，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P ( x ， y ) ， P ( x ， y) 在直线l上，且x≠x，则l的斜率k＝ .
1 1 1 2 2 2 1 2
❷
3．直线方程的5种形式
名称 方程 适用条件
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含垂直于x轴的直线
0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 不含直线x＝x(x≠x)和直线y＝y(y≠y)
1 1 2 1 1 2
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式❸ Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线
平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；
倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．即直线与倾斜角是多对一的映射关系．
如果y ＝y ，x≠x ，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y≠y ，x ＝x ，则直线与x轴垂
2 1 2 1 2 1 2 1
直，倾斜角等于90°，斜率不存在．
4.斜率与倾斜角的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．
(2)当直线l的倾斜角α∈ 时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈ 时，α越大，直线
l的斜率越大．
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．
(4)已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范围，求倾斜
角α的范围，实质是在 ∪ 上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数
图象来解决此类问题．(1)把直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化为下面的形式：
①化为截距式：Ax＋By＝－C，即 .
②化为斜截式：y＝－ x－ .
③化为点斜式：先求出直线过定点 ，k＝－ ，则点斜式为y－ ＝－(x－0)．
(2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中，
若A＝0，则y＝－ ，它表示一条与y轴垂直的直线；
若B＝0，则x＝－ ，它表示一条与x轴垂直的直线.
5．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l，l，若其斜率分别为k，k，则有l∥l k＝k.
1 2 1 2 1 2 1 2
② 当直线 l ， l 不重合且斜率都不存在时， l ∥ l.
1 2 1 2 ⇔
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l，l 的斜率存在，设为k，k，则有l⊥l k·k＝－1.
1 2 1 2 1 2 1 2
② 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时， l ⊥ l.
⇔ 1 2
6．两条直线的交点的求法
直线 l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0，则 l 与 l 的交点坐标就是方程组
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
的解．
7．三种距离公式
(1)P(x，y)，P(x，y)两点之间的距离：|PP|＝ .
1 1 1 2 2 2 1 2
(2)点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离： d ＝ .
0 0 0
(3)平行线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0间距离： d ＝ .
1 2
[熟记常用结论]1．过定点P(x ，y)的直线系方程：A(x－x)＋B(y－y)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y ＝k(x－x)
0 0 0 0 0 0
和x＝x.
0
2．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
3．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
4．过两条已知直线Ax＋By＋C ＝0，Ax＋By＋C ＝0交点的直线系方程：Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2
By＋C )＝0(不包括直线Ax＋By＋C ＝0)和Ax＋By＋C ＝0.
2 2 2 2 2 2 2 2
5．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
6．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
7．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
9．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－
k)．
基本技能要落实
考点一 直线的倾斜角与斜率
【例1】(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是( )
A．[0，π) B. ∪
C. D. ∪
(2)已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取
值范围是________．
【方法技巧】
斜率取值范围的2种求法
数形结 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确
合法 定
函数图
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
象法
【跟踪训练】
1.若图中的直线l，l，l 的斜率分别为k，k，k，则( )
1 2 3 1 2 3
A．k＜k＜k B.k＜k＜k
1 2 3 3 1 2
C．k＜k＜k D．k＜k＜k
3 2 1 1 3 2
2．已知点(－1,2)和 在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．
考点二 直线的方程
【例2】(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的 的直线方程．
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
【方法技巧】
求直线方程的方法
(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程；
(2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方
程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．
[提醒] (1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨
论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.
【跟踪训练】
1.求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等．
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．
(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
考点三 两条直线的平行与垂直
【例3】已知直线l ：ax＋2y＋6＝0和直线l ：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
1 2
(1)试判断l 与l 是否平行；
1 2
(2)当l ⊥l 时，求a的值.
1 2
【方法技巧】1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑
到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y的系
数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
【跟踪训练】
1.(2022·宁波期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程
是( )
A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0
2.已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
考点四 两直线的交点与距离问题【例4】(1)(2022·淮南模拟)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第
一象限，则实数k的取值范围为( )
A.
B.∪(－1，＋∞)
C.∪
D.
(2)(2022·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范
围是________.
【方法技巧】1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写
出直线方程.
2.利用距离公式应注意：(1)点P(x ，y )到直线x＝a的距离d＝|x －a|，到直线y＝b的
0 0 0
距离d＝|y －b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为
0
对应相等.
【跟踪训练】
1.(2022·贵阳诊断)与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线方程为( )
A.2x＋y＝0
B.2x＋y－2＝0
C.2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D.2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
2.求经过直线l ：3x＋2y－1＝0和l ：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l ：3x－5y
1 2 3
＋6＝0的直线l的方程为________________.
考点五 对称问题
【例5】(1) 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l ：2x＋y－8＝0和l ：x－3y＋10＝0截
1 2
得的线段被点P平分，则直线l的方程为________.
（2）一束光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，则
入射光线所在直线的方程为________.
(3)(2021·成都诊断)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是( )
A.3x－4y＋5＝0 B.3x－4y－5＝0
C.3x＋4y－5＝0 D.3x＋4y＋5＝0
(4)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________.【方法技巧】1.点关于点的对称：点P(x，y)关于M(a，b)对称的点P′(x′，y′)满足
2.直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考
虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.
3.若点A(a，b)与点B(m，n)关于直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)对称，则直线Ax＋By＋
C＝0垂直平分线段AB，即有
4.几个常用结论
(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).
(2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y).
5.求直线l 关于直线l对称的直线l 有两种处理方法：
1 2
(1)在直线l 上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直
1
线l的对称点，再用两点式写出直线l 的方程.
2
(2)设点P(x，y)是直线l 上任意一点，其关于直线 l的对称点为P (x ，y )(P 在直线l
2 1 1 1 1 1
上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x ，y ，再代入直线l 的方程，
1 1 1
即得直线l 的方程.
2
【跟踪训练】
1.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.
达标检测要扎实
1．设直线 ， ，若 ，则 （ ）
A．-1 B．1 C．±1 D．0
2．已知直线 ，当 变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．D．
3．已知直线 ，点 ， ，若直线 与线段AB有公共点，则实数 的取值
范围是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．已知点 与 关于直线 对称，则 的值分别为（ ）
A．1，3 B． ， C．-2，0 D． ，
5．点 关于直线 的对称点是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线 经过 ， ， 两点，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点 、 ，若线段 的垂直平分线的方程是 ，则实数 的值是
（ ）
A． B．
C． D．
9．如果两条直线 与 平行，则实数m的值为
（ ）
A．2 B．﹣3 C．﹣3或2 D．3或2
10．平行于直线 且过 的直线方程为（ ）A． B． C． D．
11．已知 则直线 不过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．已知直线 ： ，点 ， ，若直线 与线段 相交，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．直线l 的斜率为k= ，直线l 的倾斜角为l 的 ，则直线l 与l 的倾斜角之和为________.
1 1 2 1 1 2
14．方程组 有无穷多组解，则实数 ___________
15．在平面直角坐标系 中，定义 ， 两点的折线距离 .
设点 ， ， ， ，若 ，则 的取值范围___________.
16．已知实数x，y满足方程 ，当 ]时， 的取值范围为_______.
三、解答题
17．已知直线 的倾斜角是所求直线 的倾斜角的大小的5倍，且直线 分别满足下列条
件：（结果化成一般式）
（1）若过点 ，求直线 的方程．
（2）若在 轴上截距为 ，求直线 的方程．
（3）若在 轴上截距为3，求直线 的方程．
18．已知直线l： .
（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
（2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.19．三角形的三个顶点是 ， ， ．
（1）求 边上的高所在直线的方程；
（2）求 边上的中线所在直线的方程．
20．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设 AOB的面积为S，求
S的最小值及此时直线l的方程． △
21．已知直线l经过点（0，﹣2），其倾斜角为30°．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
22．已知 的三个顶点分别为 ， ， ．
（1）若过 的直线 将 分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从 点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，
最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
