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第 02 讲 常用逻辑用语
1、 充分条件与必要条件
（1）充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是
⇒
q的充分不必要条件 p q且q⇏p
p是q的必要不充分条件 p ⇒⇏q且q p
p是q的充要条件 p q
⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p ⇔⇏q且q⇏p
（2）从集合的角度：
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A B可得，p是q的充分条件，请
写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． ⊆
提示 若A B，则p是q的充分不必要条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A⊇ B，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
2、全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
(2)全称命题：含有全称量词的命题．
(3)全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
3、存在量词与特称命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
(2)特称命题：含有存在量词的命题．
(3)特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x，使p(x)成立”的命题，用符号简记为∃x∈M，p(x)．
0 0 0 0
1、【2022年浙江省高考】设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
2、【2022年新高考北京高考】设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正
整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.3、【2021年乙卷文科】已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真命题的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 ，所以命题 为真命题；
由于 在 上为增函数， ，所以 ，所以命题 为真命题；
所以 为真命题， 、 、 为假命题.
故选：A．
1、命题“∀x≥0，tanx≥sinx”的否定为( )
A．x≥0，tanx＜sinx B．x＜0，tanx＜sinx
0 0 0 0 0 0
C．∀x≥0，tanx＜sinx D．∀x＜0，tanx＜sinx
【答案】A
【解析】由题意可知，命题“∀x≥0，tanx≥sinx”的否定为“x≥0，tanx＜sinx”，故选项A正确
2、【2022·广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考】
已知条件 ，那么 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】∵ ， ，∴ ： ，∵ ： ，∴ ，
所以 是 的必要不充分条件，故选：B．
3、（2022·江苏宿迁·高三期末）不等式 成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】 或 ，
因为 或 ，
所以不等式 成立的一个充分条件是 .
故选：C
4、已知p：|x|≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________；若p是q的必
要条件，则m的最小值为________．
【答案】1 4
【解析】由|x|≤m(m>0)，得－m≤x≤m.
若p是q的充分条件⇒⇒00，则B＝(a，3a)，
则解得≤a≤2；
③若a<0，则B＝(3a，a)，与A B矛盾，故舍去．
综上所述，实数a的取值范围是.
⊆
变式2、已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取
值范围．
【解析】 由p：|1－|≤2，得－2≤1－≤2，
解得－2≤x≤10.
由q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，
得[x－(1＋m)][x－(1－m)]≤0，
解得1－m≤x≤1＋m.
因为p是q的充分不必要条件，
所以且等号不同时成立，
解得m≥9，
所以实数m的取值范围是[9，＋∞).
变式3、 已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范
围．
【解析】 由p：|1－|≤2，得－2≤x≤10.
由q：x2－2x＋1－m2≤0，
得[x－(1＋m)][x－(1－m)]≤0.
设集合A＝[－2，10]，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0}．
因为p是q的充分不必要条件，所以A B.
①若m>0，则B＝[1－m，1＋m]，
⊆
则且等号不同时成立，
解得m≥9；
②若m＝0，则B＝{1}与A B矛盾，故舍去；
③若m<0，则B＝[1＋m，1－m]，
⊆
则且等号不同时成立，
解得m≤－9.
综上，实数m的取值范围是(－∞，－9]∪[9，＋∞).
方法总结：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数
的不等式(或不等式组)求解．
考向三 含有量词的否定
例3、（1）写出下列命题的否定，并判断真假．
（1） ，都有 ；
（2） ， ；
（3） 至少有一个二次函数没有零点；
（4） 存在一个角 ，使得 ．
（2）下列四个命题：
① x∈(0，＋∞)， ；
∃
② x∈(0,1)， ；
∃
③ x∈(0，＋∞)，x> ；
∀
④ x∈，x< .
其中真命题的序号为________．
∀【解析】（1）(1) 是全称命题． ： ，所以 是真命题．
(2) 是全称命题． ： ， ，如 时，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，即(－1)3≤(－1)2，所以
是真命题．
(3) 是存在性命题． ：所有二次函数都有零点，如二次函数 . ，
.因为 是真命题，所以 是假命题．
(4) 是存在性命题． ： ，设任意角 终边与单位圆的交点为 则
显然有 ，所以 是真命题．
（2） ②④ 对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，故①是假命题；
对于②，当x＝时，有 成立，故②是真命题；
对于③，当01>x，故③是假命题；
对于④，∀x∈，x<1< ，故④是真命题
变式1、（2022·广东佛山·高三期末）设命题 ，则p的否定为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得出答案.
【详解】
解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题 的否定为 .
故选：B.变式2、（深圳市南山区期末试题）命题“存在无理数 ，使得 是有理数”的否定为（ ）
A. 任意一个无理数 ， 都不是有理数 B. 存在无理数 ，使得 不是有理数
C. 任意一个无理数 ， 都是有理数 D. 不存在无理数 ，使得 是有理数
【答案】A
【解析】
【详解】根据特称命题 的否定是全称命题得
命题“存在无理数 ，使得 是有理数”的否定为“任意一个无理数 ， 都不是有理数”
故选：A.
方法总结：1、判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立．
2、全称(或存在性)命题的否定是将其全称(或存在)量词改为存在量词(或全称量词)，并把结论否定．
考向四 存在性问题与恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.若∀x∈，∃x∈[2，3]，使得f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．
1 2 1 2
【解析】 因为f(x)＝x＋的定义域为，
所以f′(x)＝1－＝<0，
所以f(x)在区间上单调递减，
所以f(x) ＝f(1)＝1＋4＝5，
min
f(x) ＝f＝＋8＝.
max
因为g(x)＝2x＋a在区间[2，3]上单调递增，
所以g(x) ＝g(2)＝4＋a，g(x) ＝g(3)＝8＋a.
min max
因为∀x∈，∃x∈[2，3]，使得f(x)≥g(x)，
1 2 1 2
所以f(x) ≥g(x) ，
min min
所以5≥4＋a，解得a≤1，
故实数a的取值范围是(－∞，1].
变式1、已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x∈[2，3]，∃x∈，使得f(x)≥g(x)，求实数a的取值范
2 1 1 2
围．
【解析】 由例4可知f(x) ＝，
max
g(x) ＝8＋a.
max
因为∀x∈[2，3]，∃x∈，使得f(x)≥g(x)，
2 1 1 2
所以f(x) ≥g(x) ，
max max所以≥8＋a，解得a≤，
故实数a的取值范围是.
变式2、若∀x∈(0，＋∞)，，则实数m的取值范围为 ．
【答案】(－，12]
【解析】由题意可知，x∈(0，＋∞)，所以＝4x＋≥2＝12，当且仅当4x＝，即x＝时取等号，则m≤12，
即实数m的取值范围为(－，12]．
变式3、 若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (2，＋∞)
【解析】“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则其否定“对任意x∈R，ax2＋4x＋a>0”为真命题，
当a＝0,4x>0不恒成立，故不成立；当a≠0时，解得a>2，所以实数a的取值范围是(2，＋∞)．
方法总结：应用含有量词的命题求参数的策略：（1）对于全称量词命题 （或 ）
为真的问题实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求 的最大值（或最小值），即 （或
）．（2）对于存在量词命题 （或 ）为真的问题实质就是不等式能成
立问题，通常转化为求 的最小值（或最大值），即 （或 ）．
1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知 ，则“a，b的平均数大于1”是“a，b，c的平均数大于1”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若a，b，c的平均数大于1，则 ，∴ ，∴ ，即a，b，c的平
均数大于1，反之亦成立，
故选：C．
2、（2022·山东德州·高三期末）已知向量 ， ，则 是 为钝角的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】
【分析】
由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果.
【详解】
因为 ， ，所以 ，则 ，
若 ，则 ，
当 时，得 ，但当 时 反向，此时 依然成立，而
夹角为 ，所以由 不能推出 为钝角；
反之，若 为钝角，则 且 ，即 且 ，能推出 ；
因此，“ ”是 为钝角的必要不充分条件.
故选：B
3、（2022·山东烟台·高三期末）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】
命题“ ， ”为全称命题，该命题的否定为“ ， ”.
故选：A.
4、（汕头市高三期末试题）已知集合 ，集合 ，则以下命题为真命题的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【详解】由题知，集合 ，集合 ，
所以 是 的真子集，
所以 ， 或 ， 或 ， ，
只有A选项符合要求，
故选：A.
5、（2022·浙江绍兴·模拟预测） 中，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
等价于 ，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
在三角形中，因为 ，所以 ，即
若 ，则 ，即 ，
若 ，由正弦定理 ，得 ，根据大边对大角，可知
所以“ ”是“ ”的充要条件
故选：C
6、已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解析】 由p：|1－|≤2，
得－2≤x≤10.
由q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，
得1－m≤x≤1＋m.
设集合A＝[－2，10]，B＝[1－m，1＋m].
因为q是p的充分不必要条件，所以B A，
⊆所以且等号不同时成立，
解得m≤3，
所以0
