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第 41 讲 等差数列
1、 数列的通项公式
一般地，如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列
的通项公式．
注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．
2、数列的表示方法
数列可以用通项公式来描述，也可以通过图像或列表来表示．
3、等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a
n＋1
－a
n
＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中 A 叫做 a ， b 的等差中项．
4、等差数列的有关公式
(1)通项公式：a＝a ＋ ( n － 1 ) d ＝ n d ＋ ( a － d )⇒当 d ≠ 0 时， a 是关于 n 的一次函数．
n 1 1 n
(2)前n项和公式：S＝ ――→S＝na＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，S 是关于n的二次函数，且没有常数项．
n n 1 n
1、（2023•甲卷（文））记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】
【解析】等差数列 中， ，
所以 ，
，
故 ，
则 ， ，
则 ．
故选： ．2、（2022•乙卷（文））记 为等差数列 的前 项和．若 ，则公差 ．
【答案】2．
【解析】 ，
，
为等差数列，
，
，解得 ．
故答案为：2．
3、（2022•上海）已知等差数列 的公差不为零， 为其前 项和，若 ，则 ，2， ，
中不同的数值有 个．
【答案】98．
【解析】 等差数列 的公差不为零， 为其前 项和， ，
，解得 ，
，
， ，1， ， 中 ，
， ，
其余各项均不相等，
， ， 中不同的数值有： ．
故答案为：98．
4、（2023•新高考Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ， 分别为数列 ，的前 项和．
（1）若 ， ，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
【解析】（1） ， ，
根据题意可得 ，
，
，又 ，
解得 ， ，
， ；
（2） 为等差数列， 为等差数列，且 ，
根据等差数列的通项公式的特点，可设 ，则 ，且 ；
或设 ，则 ，且 ，
①当 ， ， 时，
则 ，
， ，又 ，
解得 ；②当 ， ， 时，
则 ，
， ，又 ，
此时 无解，
综合可得 ．
5、（2021•新高考Ⅱ）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）求使 成立的 的最小值．
【解析】（Ⅰ）数列 是公差 不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
根据等差数列的性质， ，故 ，
根据 可得 ，
整理得 ，可得 不合题意），
故 ．
（Ⅱ） ， ，
，
，即 ，
整理可得 ，
当 或 时， 成立，
由于 为正整数，故 的最小正值为7．
6、（2021•甲卷（理））已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两
个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列；②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
由题意可得： ， ，
数列的前 项和： ，
故 ，
据此可得数列 是等差数列．
选择①②为条件，③结论：
设数列 的公差为 ，则：
，
数列 为等差数列，则： ，
即： ，整理可得： ， ．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得： ， ，
则数列 的公差为 ，
通项公式为： ，
据此可得，当 时， ，当 时上式也成立，故数列的通项公式为： ，
由 ，可知数列 是等差数列．
7、（2023•乙卷（文））记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）在等差数列中， ， ．
，即 ，
得 ， ，
则 ．
（2） ，
即 时， ，
当 时， ，
当 时，数列 的前 项和 ，
当 时 ， 数 列 的 前 项 和
．
1、在等差数列{a}中，a＝2，a＝3a，则a 等于( )
n 1 5 3 3
A．－2 B．0 C．3 D．6
【答案】： A
【解析】： a＝2，a＝3a，得a＋4d＝3(a＋2d)，即d＝－a＝－2，
1 5 3 1 1 1所以a＝a＋2d＝－2，故选A.
3 1
2、记等差数列{a}的前n项和为S.若a＝16，S＝35，则{a}的公差为( )
n n 6 5 n
A．3 B．2 C．－2 D．－3
【答案】： A
【解析】 由等差数列性质可知，S＝×5＝5a＝35，解得a＝7，
5 3 3
故d＝＝3.故选A.
3、 是等差数列， ， ，则该数列前10项和 等于（）
A．64 B．100 C．110 D．120
【答案】：B
【解析】：设等差数列的公差为 ，由a +a =4，a +a =28，可得：
1 2 7 8
解方程组可得 .
故选：B
4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知正项等差数列 满足 ，且 是 与
的等比中项，则 的前 项和 ___________.
【答案】
【解析】：设等差数列 的公差为 ， ，
所以
又因为 即
可得 ，又由 即
即 即 且正项等差数列 ，即
解得 ，所以故答案为： .
考向一 等差数列中基本量的运算
例1、（2022·福建省诏安县高三模拟试卷）数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法
正确的是（ ）
A. 是递增数列 B.
C. 当 时， D. 当 或4时， 取得最大值
【答案】CD
【解析】
【详解】当 时， ，又 ，所以 ，则
是递减数列，故A错误；
，故B错误；
当 时， ，故C正确；
因为 的对称轴为 ，开口向下，而 是正整数，且 或 距离对称轴一样远，所以
当 或 时， 取得最大值，故D正确.
故选：CD.
变式1、（2022年福建省永泰县高三模拟试卷）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 数列 中最大项为
【答案】ABC【解析】
【详解】 ， ， ，故A正确；
又 ，故B正确；
，故C正确；
由 可得{S}中最大项为S，故D错误．
n 6
故选：ABC.
变式2、(1) 已知{a}为等差数列，a＋a＋a＝105，a＋a＋a＝99，则a ＝________；
n 1 3 5 2 4 6 20
【答案】 1
【解析】 两式相减，可得3d＝－6，则d＝－2.由已知可得3a ＝105，则a ＝35，所以a ＝a ＋17d＝35＋
3 3 20 3
(－34)＝1.
(2) 已知递增的等差数列{a}满足a＝1，a＝a－4，则a＝________；
n 1 3 n
【答案】 2n－1
【解析】 设等差数列{a}的公差为d.由已知，得解得因为等差数列{a}是递增的等差数列，所以所以a ＝
n n n
a＋(n－1)d＝2n－1.
1
(3) 已知在等差数列{a}中，a＝1，a＝－3.
n 1 3
①求数列{a}的通项公式；
n
②若数列{a}的前k项和S＝－35，求k的值．
n k
【解析】 ①设等差数列{a}的公差为d.
n
由a＝1，a＝－3，得1＋2d＝－3，
1 3
解得d＝－2，
故a＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
n
②由①知a＝3－2n，
n
所以S＝＝2n－n2.
n
由S＝－35，可得2k－k2＝－35，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.
k
变式 3、（2022 年江苏省淮安市高三模拟试卷）记 为等差数列 的前 n 项和，已知 ，
.
（1）求 的通项公式；（2）求 ，并求 的最小值.
【答案】（1）
（2） ，最小值为－15
【解析】
（1）设 的公差为 ，由题意得 .
由 得： .
所以 的通项公式为 ；
（2）由等差数列求和公式得： ，
令 ， ，解得： ，
令 ， ，解得： ，
故当n＝3时， 取得最小值，最小值为
方法总结：(1)a ，d是等差数列的基本量，把所给的条件代入等差数列的通项公式，可列出方程组，如果
1
能把a－1作为一个整体处理，则能简化运算．一般地，给出含有a，d的两个独立条件，即可求出该等差
1 1
数列的通项公式，进而求出其前n项和．
(2)第(2)小问，充分利用等差数列的第二通项公式a＝a＋3d，a＝a＋d，则简化了运算．
5 2 3 2
考向二 等差数列的性质
例2、（2020届北京市昌平区新学道临川学校上学期期中）已知等差数列 的前 项之和为 ，前
项和为 ，则它的前 项的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于等差数列 中 也成等差数列，即 成等差数列，所以 ，故选C.
变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，
，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由已知 ，得 ，
故选：C.
变式2、(1) 若等差数列{a}的前17项和 S ＝51，则a－a＋a－a ＋a ＝________；
n 17 5 7 9 11 13
【答案】 3
【解析】 因为S ＝×17＝17a＝51，所以a＝3.根据等差数列的性质，得a＋a ＝a＋a ，所以a－a＋a
17 9 9 5 13 7 11 5 7 9
－a ＋a ＝a＝3.
11 13 9
(2) 在等差数列{a}中，若a＋a＋a＝39，a＋a＋a＝27，则前9项和S＝________；
n 1 4 7 3 6 9 9
【答案】 99
【解析】 由等差数列的性质及a ＋a ＋a ＝39，可得3a ＝39，所以a ＝13.同理，由 a ＋a ＋a ＝27，可
1 4 7 4 4 3 6 9
得a＝9，所以S＝＝＝99.
6 9
(3) 已知等差数列{a}与{b}的前n项和分别为S 和T，若＝，则等于( )
n n n n
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 ＝＝＝＝＝＝.
变式3、(1)等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S，T，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．
n n n n
【答案】
【解析】 ＋＝＝＝，
∴＝＝＝＝.
(2) 等差数列{a}与{b}的前n项和分别为S 和T，若＝，则＝________；
n n n n
【答案】
【解析】 ＝＝.
方法总结：如果{a
n
}为等差数列，m＋n＝p＋q，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现a
m－n
，
a ，a 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a (或其他项)有关的条件；若求a 项，可由a ＝(a
m m＋n m m m m＋a )转化为求a ，a 或a ＋a 的值．
－n m＋n m－n m＋n m－n n＋m
考向三 等差数列的判定及证明
例3、（2023·安徽宿州·统考一模）在数列 中， ，且 .
(1)令 ，证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，求 .
【解析】（1）因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，又 ，
所以，数列 为以1为首项，4为公差的等差数列，
所以 .
（2）因为 ，
所以 ，即
所以
变式1、已知数列{a}的前n项和为S，且满足a＝，a＝－2SS (n≥2).
n n 1 n n n－1
(1) 求证：数列是等差数列；
(2) 求S 和a.
n n
【解析】 (1) 因为当n≥2时，
a＝S－S ＝－2SS ，①
n n n－1 n n－1所以S(1＋2S )＝S .
n n－1 n－1
由上式可知，若S ≠0，则S≠0.
n－1 n
因为S＝a≠0，由递推关系知S≠0(n∈N*)，
1 1 n
由①式，得－＝2(n≥2)，
所以是等差数列，其中首项为＝＝2，公差为2.
(2) 由(1)，得＝＋2(n－1)＝＋2(n－1)＝2n，
所以S＝.
n
当n≥2时，a＝S－S ＝－；
n n n－1
当n＝1时，a＝S＝不适合上式，
1 1
所以a＝
n
变式2、已知在数列{a}中，a＝，a＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{b}满足b＝(n∈N*).
n 1 n n n
(1) 求证：数列{b}是等差数列；
n
(2) 求数列{a}中的最大项和最小项，并说明理由．
n
【解析】 (1) 因为a＝2－(n≥2，n∈N*)，b＝(n∈N*)，
n n
所以b －b＝－＝－＝－＝1.
n＋1 n
又b＝＝－，
1
所以数列{b}是以－为首项，1为公差的等差数列．
n
(2) 由(1)知b＝n－，
n
则a＝1＋＝1＋.
n
设f(x)＝1＋，则f(x)在区间和上为减函数．
当1≤n≤3时，数列{a}递减且a<1；当n≥4时，数列{a}递减且a>1.
n n n n
故当n＝3时，a 取得最小值－1，当n＝4时，a 取得最大值3.
n n
等差数列的判定方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a －a 为同一常数；(2)等差中项法：验
n n－1
证2a ＝a ＋a (n≥3，n∈N*)成立；(3)通项公式法：验证a ＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证S ＝An2
n－1 n n－2 n n
＋Bn．在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空
题中的简单判断．
1、（2022年广州番禺高三模拟试卷）我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四
个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），
夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降､立冬､小雪､大雪是连续十二个节气，其日影子长依次
成等差数列.经记录测算，夏至､处暑､霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之
和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）尺.
A. 1 B. 1.25 C. 1.5 D. 2【答案】C
【解析】
【详解】由题意知：十二个节气的日影子长依次成等差数列，
设为 ，公差为 ，则
即 ，
解得 ， ，
所以夏至的日影子长为 尺，
故选：C
2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，且
，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】设等差数列的公差为 ，由 ， 得 ，
所以
故选：B
3、（2023·浙江温州·统考三模）已知数列 各项为正数， 满足 ， ，则
（ ）
A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． 是等差数列 D． 是等比数列
【答案】C
【详解】因为数列 各项为正数， 满足 ， ，故对任意的 ， ，则 ，
所以，数列 的每一项都是正数，
所以， ，可得 ，
由等差中项法可知，数列 是等差数列，
故选：C.
3、（多选）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考三模）已知等差数列 的前n项和为
，公差为d，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】解：由题意得：
对于选项A：取 ，则 ，解得 ，即A正确；
对于选项B：由A可知， ，则 ，即B正确；
对于选项C：因为 ，即C错误；
对于选项D：因为 ，且 ，即D正确.
故选：ABD.
4、（多选）（2023·重庆·统考三模）对于数列 ，若 ， ，则下列说法正确的
是（ ）
A． B．数列 是等差数列
C．数列 是等差数列 D．
【答案】ACD
【详解】由 ， ，
得 ， ，
，所以A选项正确；
又 ， ，
两式相减得 ，令 ，可得 ，
所以 不是等差数列， 是等差数列，
故B选项错误，C正确；
同理，令 ，则 ，
所以 是以 为首项，公差为2的等差数列，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
5、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设数列 的前n项积为 ，若 ，求数列 的通项公式．
【详解】（1）当 时，
当n≥2时， ，所以 ，
所以 （常数），
故数列 是以 为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知， ，得 ，
当n≥2时， ，
当 时， ，不符合上式，
故 ．
