第27讲三角恒等变换（1）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 27 讲 三角恒等变换（1） 知识梳理 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin(α±β)＝ sin α cos β± cos α sin β ，简记作S ； (α±β) cos(α±β)＝ cos α cos β ∓ sin α sin β ，简记作C ； (α±β) tan(α±β)＝，简记作T (α±β)． 2. 二倍角公式 sin2α＝ 2 sin α· cos α ； tan2α＝； cos2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2 cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2 sin 2 α ． 3. 辅助角公式 y＝asinx＋bcosx＝ sin (x ＋ φ) ，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝. 4. 公式的逆用及有关变形 tanα±tanβ＝ tan (α±β)(1 ∓ tan α· tan β) ； sinα±cosα＝ sin (α±) ； sinα·cosα＝ sin 2α ； 1＋sin2α＝ ( sin α ＋ cos α ) 2 ； 1－sin2α＝ ( sin α － cos α ) 2 ； sin2α＝； cos2α＝； tan2α＝ ( 降幂公式 ) ； 1－cos2α＝ 2 sin 2 α ；1＋cos2α＝ 2 cos 2 α (升幂公式) ( π) 1、【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos α+ sinβ，则（ ） 4 A．tan(α−β)=1 B．tan(α+β)=1 C．tan(α−β)=−1 D．tan(α+β)=−1 【答案】C 【解析】 由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ, 即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0， 即：sin(α−β)+cos(α−β)=0, 所以tan(α−β)=−1, 故选：C π 2、【2022年浙江】若3sinα−sinβ=√10,α+β= ，则sinα=__________，cos2β=_________． 23√10 4 【答案】 10 5 π 【解析】α+β= ，∴sinβ=cosα，即3sinα−cosα=√10， 2 (3√10 √10 ) √10 3√10 即√10 sinα− cosα =√10，令sinθ= ，cosθ= ， 10 10 10 10 π π 则√10sin(α−θ)=√10，∴α−θ= +2kπ，k∈Z，即α=θ+ +2kπ， 2 2 ( π ) 3√10 ∴sinα=sin θ+ +2kπ =cosθ= ， 2 10 4 则cos2β=2cos2β−1=2sin2α−1= ． 5 3√10 4 故答案为： ； ． 10 5 3、【2021年甲卷文科】若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， ， ，解得 ， ， . 故选：A. 4、【2021年乙卷文科】 （ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】 【分析】 由题意结合诱导公式可得 ，再由二倍角公式即可得解. 【详解】 由题意， . 故选：D. 5、【2020年新课标1卷理科】已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角 函数关系，即可得出结论. 【详解】 ，得 ， 即 ，解得 或 （舍去）， 又 . 故选：A. 6、【2020年新课标3卷理科】已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 【答案】D 【解析】【分析】 利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】 ， ， 令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 . 故选：D. 1、sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A.1 B. C. D.－ 【答案】B 【解析】 sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝. 2、知cos α＝－，α∈，则sin等于( ) A.－ B. C.－ D. 【答案】 C 【解析】 ∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－， ∴sin＝－×＋×＝－. 3（2022·福建三明·模拟预测）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 故选：A. 4、（2022·湖南·雅礼中学二模）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得 ，解得 （舍去），或 . 故选：A. 考向一 利用两角和(差)公式运用 例1、（1）（2022·福建·模拟预测）已知 为锐角，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 . 故选：B （2）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角 的终边过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由任意三角形的定义求出 ，由两角差的正弦公式代入即可求出 . 【详解】因为角 的终边过点 ，由任意三角形的定义知： ， . 故选：D. 变式1、（2022年湖南常德市高三模拟试卷）下列选项中，与 的值相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 ， ，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC 变式2、（1）若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝ ． 【答案】 2 【解析】 因为tan ＝tan (α＋β)＝＝－1，所以tan αtan β－1＝tan α＋tan β，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1 －tan α－tan β＋tan α·tan β＝2. (2) 在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则C＝ ； 【答案】 【解析】 由已知，得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)，所以tan (A＋B)＝＝－.又00． 因此＝＝2cos． 又(1＋sinθ＋cosθ)＝ ＝2cos＝－2coscosθ． 故原式＝＝－cosθ． 变式1、（1）（2022·湖北江岸·高三期末）计算 （ ） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】B 【解析】故选：B （2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末） ______． 【答案】 【解析】因为 ． 故答案为： 变式2、（1）（2022年福建龙岩市高三模拟试卷）已知 ， ，其中 ， 为锐角，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】因为 ， ，其中 ， 为锐角，故所以： ，故A正确； 因为 ， 所以 ，故B错误； 可得 ，故C正确； 可得 ，所以 ，故D错误． 故选:AC （2）（2023·江苏南通·统考一模）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 所以 ， 所以 故选:B. 方法总结：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函 数公式之间的共同点. 1、（2022·福建·模拟预测）已知 为锐角，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 . 故选：B 2、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知 ，则 （ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】 由于 且 ，则有 ． 由 得， ，故 ， 故选：D． 3、（2022·广东湛江·二模）若 ， ，则 ___________. 【答案】 【解析】因为 ， ， 所以 ， 故答案为： 4、（2022·广东韶关·一模）若 ，则 __________. 【答案】 【解析】 因为 ，所以 ，所以 ，所以 . 故答案为： 5、（2022年湖北宜昌市高三模拟试卷） （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】：． 故选： ． 6、（2022年湖北黄冈市高三模拟试卷）已知 ， ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 :∵ ，∴ ，∴ ， ， ，而 ， ∴ ，选B.   3   sin   , 0,     7、（2021·山东青岛市·高三三模）若  4 5  2，则 cos2 ___________. 24  【答案】 25   3     sin     sin2    cos2    1 【解析】因为  4 5 ，  4  4 ，   4 cos     所以  4 5，    0,   4 因为   2  ，所以 cos   4    5 ，          sinsin   sin  cos cos  sin        所以  4 4  4 4  4 43 2 4 2 7 2      5 2 5 2 10 . 7 2 24 cos212sin212( )2  10 25. 24  故答案为： 25 .