文档文本内容
第 80 讲 正态分布
正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态
分布，记为X～N(μ，σ2).
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称.
②曲线在 x ＝ μ 处达到峰值.
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝ σ 2 .
1、【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则
P(X>2.5)=____________．
7
【答案】0.14## ．
50
【解析】
因为X∼N(2,σ2)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5，因此
P(X>2.5)=P(X>2)−P(2<X≤2.5)=0.5−0.36=0.14．
故答案为：0.14．
2、（21•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中不正确的是
A． 越小，该物理量在一次测量中落在 内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中结果落在 与落在 的概率相等
【答案】
【解析】因为某物理量的测量结果服从正态分布 ，
所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差 越小，则分布越集中，
对于 ， 越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在 内的概率越大，故选项
正确；
对于 ，测量结果大于10的概率为0.5，故选项 正确；
对于 ，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项 正确；
对于 ，由于概率分布是集中在10附近的， 分布在10附近的区域大于 分布在10附近
的区域，
故测量结果落在 内的概率大于落在 内的概率，故选项 错误．
故选：
1、已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023
【答案】B
【解析】随机变量 服从正态分布 ，
若 ，则依据正态曲线的性质有
故选：B
2、某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布 ，且成绩不低
于140分的人数为100，则此次考试数学成绩高于100分的人数约为( )A．700 B．800 C．900 D．950
【答案】C
【解析】由题可知，x=140和x=100关于x=120对称，
故此次考试数学成绩低于100分的人数为100，
故此次考试数学成绩高于100分的人数约为1000-100=900．
故选：C．
3、(2022·滨州二模)设随机变量X～N(μ，σ2)，则“μ≥1”是“P(X<2)<”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】 B
【解析】 当μ＝1时，根据正态曲线的对称性可知 P(X<2)>，故μ≥1不是P(X<2)<的充分条件；反之，若
P(X<2)<，则μ>2，故μ≥1是P(X<2)<的必要条件，故“μ≥1”是“P(X<2)<”的必要不充分条件．
4、设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝________．
【答案】 0.7
【解析】 因为P(X>m)＝0.3，所以P(X<6－m)＝0.3，所以P(X>6－m)＝1－P(X<6－m)＝0.7.
5、设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数 ，
D．对任意正数 ，
【答案】C【解析】由正态密度曲线的性质可知， 、 的密度曲线分别关于 、
对称，因此结合所给图象可得 且 的密度曲线较 的密度曲线
“瘦高”，所以 ，所以对任意正数 ， ．
考向一 利用正态分布求概率
例1、“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂
交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展
和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从
正态分布，其密度曲线函数为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为100cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
【答案】AC
【解析】 ，故 ， ，故A正确B错误；
，故C正确；
根据正态分布的对称性知： ，故D错误.
故选：AC.
变式1、设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，两曲线分别关于 对称，
所以由图可知， ，所以A错误，
因为 的分布曲线“高瘦”， 的分布曲线“矮胖”，
所以 ，所以B错误，
所以 ， ，
所以C错误，D正确，
故选：D
变式2、（2022·江苏如皋·高三期末）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
【答案】D
【解析】∵随机变量 服从正态分布 ，∴正态曲线的对称轴是 ，
∵ ，∴ .
故选：D.
变式3、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩 近似地服
从正态分布 ，估计这些考生成绩落在 的人数约为（ ）(附： ，则 ， )
A．36014 B．72027 C．108041 D．168222
【答案】B
【解析】 ， ，
， ，
，
这些考生成绩落在 的人数约为 .
故选：B
变式4、（1）（2023·浙江·校联考三模）已知随机变量 服从正态分布 ，若
，则 _____________．
【答案】
【解析】 ， 为正态分布曲线的对称轴，
由 得： .
故答案为： .
（2）（2023·福建泉州·统考三模）设随机变量 ，若 ，则
____________．
【答案】 /
【解析】因为随机变量 ，且 ，
所以， .
故答案为： .
考向二 正态分布的综合性问题
例2、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量
其尺寸(单位：cm).根据长期的生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(μ，σ2).
(1) 假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，
求P(X≥1)及X的数学期望；(2) 在一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这
一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算，得＝ ＝9.97，s＝ ≈0.212，其中x为抽取
i
的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用样本平均数作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^
，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估
计μ和σ.(精确到0.01)
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4，
0．997 416≈0.959 2，≈0.09.
【解析】 (1) 抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，
μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X～B(16，0.002 6)，
所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8，
X的数学期望为E(X)＝16×0.002 6＝0.041 6.
(2) ①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16
个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这
种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检
查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个
零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为×(16×9.97－9.22)＝10.02，
所以μ的估计值为10.02.
μ^ σ^ μ^ σ^
=16×0.212²+16×9.97²≈1591.134，剔除( －3 ， ＋3 )之外的数据9.22，剩下数据的样本方差
为×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
所以σ的估计值为≈0.09.
变式1、从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率直
方图：(1) 求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表，记
作x，i＝1，2，…，7)；
i
(2) 由频率直方图可以认为，这种产品的质量指标值 X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平
均数 ，σ2近似为样本方差s2.
①若使84.14%的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准，则合格标准的质量指标值大约为多少？
②若该企业又生产了这种产品1 000件，且每件产品相互独立，则这1 000件产品质量指标值不低于
12.14的件数最有可能是多少？
附： (x－)2h＝3.46，3.46≈×2.632；若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7；P(μ－
i i
2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3.
【解析】 (1) ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.4，
s2＝ (x－)2h×2＝3.46×2＝6.92.
i i
(2) 由题意，知X～N(17.4，6.92).
①P(X>μ－σ)＝0.5＋≈0.841 4，
所以μ－σ≈17.4－2.63＝14.77时，满足题意，
即合格标准的质量指标值约为14.77.
②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋≈0.977 3，
可知每件产品的质量指标值不低于12.14的事件概率为0.977 3.
记这1 000件产品的质量指标值不低于12.14的件数为ξ，
则ξ～B(103，p)，其中p＝0.977 3，
所以恰有k件产品的质量指标值不低于12.14的事件概率P(ξ＝k)＝Ck103pk(1－p)103－k，k∈N，
令＝>1，k∈N，
解得k<1 001p＝978.277 3，
所以当0≤k≤978时，P(ξ＝k－1)<P(ξ＝k)；
当979≤k≤1 000时，P(ξ＝k－1)>P(ξ＝k)，
由此可知，在这1 000件产品中，质量指标值不低于12.14的件数最有可能是978.
变式2、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每
周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数 和样本方差 (同一组的数据用该组区间中点值代表)；
(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布 ，其中 近似为样本平
均数 ， 近似为样本方差 .
①一般正态分布 的概率都可以转化为标准正态分布 的概率进行计算：若 ，令
，则 ，且 利用直方图得到的正态分布，求 ；
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均
值.
参考数据： ，若 ，则 .
【答案】(1) ， ；
(2)① ；② .
【解析】
【分析】
(1)利用频率分布直方图计算平均数和方差的方法直接计算作答.
(2)①利用给定公式直接计算 ；②利用①的结论结合二项分布的期望公式计算作答.(1)
根据频率分布直方图知，阅读时间在区间
内的频率分别为 ，
，
，
所以样本平均数 和样本方差 分别为9，1.78.
(2)
①由题意知 ， ，则有 ，
， ，
②由①知 ，可得 ，
所以Z的均值 .
方法总结：对于正态分布题型的数据分析，需要结合μ，σ的含义来进行理解，根据题设中如P(μ－σ<X≤μ
＋σ)≥0.682 7；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≥0.954 5；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≥0.997 3来寻找对应条件下的样品数，
计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须保证数据的
准确性，特别是统计个数和计算μ－σ，μ＋σ等数据时．
1、（2022·江苏海门·高三期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，
其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差，X ~N(0， )，则为
n
使|X |≥ 的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（ ）
n
（附）随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜
μ＋3σ)＝0.9974．
A．32 B．64 C．128 D．256【答案】C
【解析】根据题意， ，
而 ，则 ，所以 .
故选：C.
2、（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知某校高二男生的身高X（单位：cm）服从正态分布N
（175，16），且 ，则（ ）
A．该校高二男生的平均身高是175cm
B．该校高二男生身高的方差为4
C．该校高二男生中身高超过183cm的人数超过总数的3%
D．从该校高二男生中任选一人，身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等
【答案】AD
【详解】对选项A：在 中， 为平均数，正确；
对选项B：方差为 ，错误；
对选项C： ，则身高超过 的概率 ，错误；
对选项D：正态曲线关于直线 对称，所以身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相
等，正确；
故选：AD
3、（多选）（2023·湖南郴州·统考三模）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．对于独立性检验 的值越大，说明两事件相关程度越大.
B．若随机变量 ，则
C．若 ，则
D．已知样本点 组成一个样本，得到回归直线方程 ，且 ，剔除两个样
本点 和 得到新的回归直线的斜率为 ，则新的回归方程为
【答案】BCD
【详解】选项A，对于独立性检验 的值越大，说明这两事件具有相关性的把握越大，错误；
选项B， ， ，正确；
选项C， ，则 ， ，正确；选项D，把 代入回归直线方程 ，得 ，
剔除两个样本点 和 后，新的平均数 ，
又新的回归直线的斜率为 ，即 ，则 ，解得 ，
则新的回归方程为 ，正确；
故选：BCD
4、（多选）（2023·辽宁沈阳·统考三模）下列命题中正确的是（ ）
A．已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50%分位数是7.5
B．已知随机变量 ，且 ，则
C．已知随机变量 ，则
D．已知经验回归方程 ，则y与x具有负线性相关关系
【答案】ABD
【详解】对于A选项， ，第3个和第4个数的平均数为 ，故A正确；
对于B选项， ，故B正确；
对于C选项， ，则 ，故C错误；
对于D选项， ，可得y与x具有负线性相关关系，可知D正确．
故选：ABD．
5、（2023·重庆·统考三模）已知随机变量 ，若 ，则 ______．
【答案】 /
【解析】由已知可得， ，
根据正态分布的对称性可得， ，
所以， .
故答案为： .
6、（2022·山东青岛·高三期末）习近平总书记在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最
现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民
对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率分
布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分 低于60分 60分到79分 80分到89分 不低于90分满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市民满意度，现从全市民中随机抽取5人，求至少
2人非常满意的概率；
(2)相关部门对该项目进行验收，验收的硬性指标是：全民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需
要进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由；(注：满意指数=
)
(3)在等级为不满意的市民中，老人占 ，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从
中选取3人担任督导员.记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X).
【解析】
(1) ，解得 ，设至少2人非常满意的概率为事件A，由
题意知5人中非常满意的人数 ， .
(2)由频率分布直方图得：
满意度平均分为 ，满意指数，因此，能通过验收.
(3)
分层抽取9人中老人有3人，由题意知 服从超几何分布， 的可能取值为 ，
， ， ， ，
则分布列为：
0 1 2 3
所以， .
7、（2022·湖北江岸·高三期末）5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技
术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量
的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分
分成以下6组： ､ ､ ､…， ，统计结果如图所示：
(1)由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布 ，其中 近
似为样本平均数 ， 近似为样本的标准差s，并已求得 .若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间 的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
(2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相
互独立，中奖率均为 .每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结
束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布 ，即 ，则 ，
.
【解析】(1)
由题意知样本平均数为 ，
∴ ，∵ ，所以， ，
而
故2万名5H手机用户中满意度得分位于区间 的人数约为 （人）
(2)由题意可知X的可能取值有0､100､200､300，
∴ （元）
8、（2022·山东青岛·高三期末）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买
一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000 ，上下浮动不超过50 .这句话用
数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000 ，标准差为50 的正态分布.
(1)已知如下结论：若 ，从 的取值中随机抽取 个数据，记这 个数据的平均值为 ，则随机变量 .利用该结论解决下面问题.
（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为 ，求
；
（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在 上，并经计算25
个面包质量的平均值为 .庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的
理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；
第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出
黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：
①随机变量 服从正态分布 ，则 ，
；
②通常把发生概率小于 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
【解析】
(1)（i）因为 ，所以 ，因为 ，所以
，因为 ，所以 ；
（ii）由第一问知 ，庞加莱计算25个面包质量的平均值为 ，
，而 ，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师
的理由；
(2)设取出黑色面包个数为随机变量 ，则 的可能取值为0,1,2,则 ； ，
，故分布列为：
0 1 2
其中数学期望
