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第 80 讲 正态分布
正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态
分布，记为X～N(μ，σ2).
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称.
②曲线在 x ＝ μ 处达到峰值.
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝ σ 2 .
1、【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(22.5)=____________．
7
【答案】0.14## ．
50
【解析】
因为X∼N(2,σ2)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5，因此
P(X>2.5)=P(X>2)−P(2，故μ≥1不是P(X<2)<的充分条件；反之，若
P(X<2)<，则μ>2，故μ≥1是P(X<2)<的必要条件，故“μ≥1”是“P(X<2)<”的必要不充分条件．
4、设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝________．
【答案】 0.7
【解析】 因为P(X>m)＝0.3，所以P(X<6－m)＝0.3，所以P(X>6－m)＝1－P(X<6－m)＝0.7.
5、设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数 ，
D．对任意正数 ，
【答案】C【解析】由正态密度曲线的性质可知， 、 的密度曲线分别关于 、
对称，因此结合所给图象可得 且 的密度曲线较 的密度曲线
“瘦高”，所以 ，所以对任意正数 ， ．
考向一 利用正态分布求概率
例1、“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂
交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展
和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从
正态分布，其密度曲线函数为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为100cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
【答案】AC
【解析】 ，故 ， ，故A正确B错误；
，故C正确；
根据正态分布的对称性知： ，故D错误.
故选：AC.
变式1、设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，两曲线分别关于 对称，
所以由图可知， ，所以A错误，
因为 的分布曲线“高瘦”， 的分布曲线“矮胖”，
所以 ，所以B错误，
所以 ， ，
所以C错误，D正确，
故选：D
变式2、（2022·江苏如皋·高三期末）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
【答案】D
【解析】∵随机变量 服从正态分布 ，∴正态曲线的对称轴是 ，
∵ ，∴ .
故选：D.
变式3、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩 近似地服
从正态分布 ，估计这些考生成绩落在 的人数约为（ ）(附： ，则 ， )
A．36014 B．72027 C．108041 D．168222
【答案】B
【解析】 ， ，
， ，
，
这些考生成绩落在 的人数约为 .
故选：B
变式4、（1）（2023·浙江·校联考三模）已知随机变量 服从正态分布 ，若
，则 _____________．
【答案】
【解析】 ， 为正态分布曲线的对称轴，
由 得： .
故答案为： .
（2）（2023·福建泉州·统考三模）设随机变量 ，若 ，则
____________．
【答案】 /
【解析】因为随机变量 ，且 ，
所以， .
故答案为： .
考向二 正态分布的综合性问题
例2、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量
其尺寸(单位：cm).根据长期的生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(μ，σ2).
(1) 假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，
求P(X≥1)及X的数学期望；(2) 在一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这
一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算，得＝ ＝9.97，s＝ ≈0.212，其中x为抽取
i
的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用样本平均数作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^
，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估
计μ和σ.(精确到0.01)
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σμ－σ)＝0.5＋≈0.841 4，
所以μ－σ≈17.4－2.63＝14.77时，满足题意，
即合格标准的质量指标值约为14.77.
②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋≈0.977 3，
可知每件产品的质量指标值不低于12.14的事件概率为0.977 3.
记这1 000件产品的质量指标值不低于12.14的件数为ξ，
则ξ～B(103，p)，其中p＝0.977 3，
所以恰有k件产品的质量指标值不低于12.14的事件概率P(ξ＝k)＝Ck103pk(1－p)103－k，k∈N，
令＝>1，k∈N，
解得k<1 001p＝978.277 3，
所以当0≤k≤978时，P(ξ＝k－1)P(ξ＝k)，
由此可知，在这1 000件产品中，质量指标值不低于12.14的件数最有可能是978.
变式2、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每
周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数 和样本方差 (同一组的数据用该组区间中点值代表)；
(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布 ，其中 近似为样本平
均数 ， 近似为样本方差 .
①一般正态分布 的概率都可以转化为标准正态分布 的概率进行计算：若 ，令
，则 ，且 利用直方图得到的正态分布，求 ；
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均
值.
参考数据： ，若 ，则 .
【答案】(1) ， ；
(2)① ；② .
【解析】
【分析】
(1)利用频率分布直方图计算平均数和方差的方法直接计算作答.
(2)①利用给定公式直接计算 ；②利用①的结论结合二项分布的期望公式计算作答.(1)
根据频率分布直方图知，阅读时间在区间
内的频率分别为 ，
，
，
所以样本平均数 和样本方差 分别为9，1.78.
(2)
①由题意知 ， ，则有 ，
， ，
②由①知 ，可得 ，
所以Z的均值 .
方法总结：对于正态分布题型的数据分析，需要结合μ，σ的含义来进行理解，根据题设中如P(μ－σ
