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第 45 讲 数列的综合运用
1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n项和公式、求和方
法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊
性．
数列在实际问题中的应用
2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知
识去解决．
1．数列实际应用中的常见模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就
是公比；
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第
n项a 与第n＋1项a 的递推关系还是前n项和S 与前n＋1项和S 之间的递推关系．
n n＋1 n n＋1
1、（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量
的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9的数列 ，该数列的前3项成等
差数列，后7项成等比数列，且 ， ， ，则 ，数列 的所有项
的和为 ．
【答案】48；384．
【解析】 数列 的后7项成等比数列， ，
，
，公比 ．
，
又该数列的前3项成等差数列，
数列 的所有项的和为 ．
故答案为：48；384．
2、（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
， 为 的前 项和， ， ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ；
（2）证明：由（1）可知， ，
，
当 为偶数时， ，，
，
当 为奇数时， ， ，
，
故原式得证．
3、（2022•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
【解析】（1）已知 ， 是公差为 的等差数列，
所以 ，整理得 ，①，
故当 时， ，②，
① ②得： ，
故 ，
化简得： ， ， ， ， ；
所以 ，
故 （首项符合通项）．所以 ．
证明：（2）由于 ，
所以 ，
所以 ．
4、（2021•乙卷（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等
差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ．
【解析】（1） ， ， 成等差数列， ，
是首项为1的等比数列，设其公比为 ，
则 ， ，
，
．
（2）证明：由（1）知 ， ，
，
，①，②
① ②得， ，
，
，
．
1、 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分
钟多走1 m，乙每分钟走5 m．甲、乙开始运动后，相遇的时间为________分钟．
A. 3 B. 7 C. 11 D.14
【答案】：B
【解析】：设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7或
n＝－20(舍去)．
2、（2023·黑龙江大庆·统考三模）定义 ，已知数列 为等比数列，且 ，
，则 （ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
【答案】C
【详解】依题意得 ，
又 ，所以 ．
故选：C．
3、对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x ，令a ＝lgx ，则
n n n
a＋a＋…＋a ＝________．
1 2 99
【答案】：－2
【解析】：利用导数求得曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，
即y＝(n＋1)x－n，它与x轴交于点(x ，0)，则有(n＋1)x －n＝0x ＝，∴ a ＝lgx ＝lg＝lgn－lg(n＋
n n n n n
1)，∴ a＋a＋…＋a ＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2．
1 2 99
4、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》
中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有 个球，第二层有 个球，第三层有 个球，…，设各层球数构成一个数列 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】由题意知： ，故 ，
∴ ，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
， ，显然 ，故D错误；
故选：BC
考向一 数列在数学文化与实际问题中的应用
例1、（1）（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质
文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列 时，发现其递推公式 就可以利用“叠
罗汉”的思想来处理，即 ，如果该数列 的前两项分别为 ，其
前 项和记为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由 得，
所以
，
.
故选：D.
（2）（2023·湖南邵阳·统考三模）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方
法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2
后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处
理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20
的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．130 B．132 C．134 D．141
【答案】B
【详解】由题可知，2到20的全部整数和为 ，
2到20的全部素数和为 ，
所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为 .
故选：B.
（3）（2023·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于
解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，
24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【详解】设该数列为 ，
当 为奇数时，
所以 为奇数；
当 为偶数时，
所以 为偶数数；
所以 ，
故选:B.
变式1、（1）(2022·青岛期初考试)《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是
以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，
共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为
A．8 B．11 C．14 D．16
【答案】B
【解析】由题意可知，这位公公9个儿子的年龄从小到大构成等差数列，则可设年龄最小的儿子年龄为
a ，则公差为d＝3，由题意，＋36×3＝207，求得a ＝11，即这位公公最年幼的儿子的岁数为11，故答案
1 1
选B．
（1）、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其
书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测
影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依
次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和
为10.5尺，则立秋的晷长为（ ）
A. 1.5尺 B. 2.5尺 C. 3.5尺 D. 4.5尺
【答案】D
【解析】【分析】设等差数列 的首项为 ，公差为d，根据题意列出方程组求解即可.
【详解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成
等 差 数 列 ， 设 其 首 项 为 ， 公 差 为 d ， 根 据 题 意
，∴立秋的晷长为 .
故选：D
（3）、（2020届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日
自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共
织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需
要（ ）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
【答案】C
【解析】设该女子第一天织布 尺，
则 ，
解得 ，
前 天织布的尺数为： ，
由 ，得 ，
解得 的最小值为8．
故选： ．
考向二 数列中的含参问题
例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列 前 项和 ，数列 满足为数列 的前 项和．若对任意的 ，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】当 时， ；当 时， ，将 代入上式，可得
，则 ；
，
，
代入不等式 ，可得 ，整理可得 ，
当 为偶数时，不等式为 ，
令 ， ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
由于 ，故 ，此时 ；
当 为奇数时，不等式为 ，
令 ，（ 为奇数且 ），易知 在 单调递增，则 ，此
时 ，
综上所述， .
故答案为：
变式1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列 的首项为1，公差 ，其前n项和 满足.
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得 .
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，解得： 或 .
因为 ，所以 .
（2）法一：由（1）得， ，
，
时 ；
时 ；
时 ；
时 （舍），
当 时， ，不合题意；
满足条件的 有三组.
法二：由（1）得， ，
故 ，
所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ， .
存在满足条件的 有三组.
变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数列．给定 ，记集合 的元素个数为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求最小自然数n的值，使得 ．
【解析】（1）设数列 的公差为 ，由 ， ， 成等比数列，得 ，
，解得 ，所以 ，
时，集合 中元素个数为 ，
时，集合 中元素个数为 ；
（2）由（1）知 ，
，
时， =2001<2022， 时， =4039>2022，
记 ，显然数列 是递增数列，
所以所求 的最小值是11.
考向三 数列中的“定义型问题”
例3、（2023·辽宁大连·统考三模）定义：对于各项均为整数的数列 ，如果 ( =1，2，3，…)为完
全平方数，则称数列 具有“ 性质”；不论数列 是否具有“ 性质”，如果存在数列 与
不是同一数列，且 满足下面两个条件：
（1） 是 的一个排列；
（2）数列 具有“ 性质”，则称数列 具有“变换 性质”.给出下面三个数列：
①数列 的前 项和 ；
②数列 ：1，2，3，4，5；
③数列 ：1，2，3，4，5，6.
具有“ 性质”的为________；具有“变换 性质”的为_________.【答案】 ① ②
【详解】解：对于①，当 时，
，
，2，3， 为完全平方数
数列 具有“ 性质”；
对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换 性质”，数列 为3，2，1，5，4，具有“ 性质”，
数列 具有“变换 性质”；
对于③， ，1都只有与3的和才能构成完全平方数， ，2，3，4，5，6，不具有“变换 性质”．
故答案为：①；②．
变式1、(2022·江苏如皋中学高三10月月考)已知数列 满足： ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知数列 满足： ，定义使 为整数 叫做
“幸福数”，求区间 内所有“幸福数”的和.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意得 ， ，进而分奇、偶数项求通项公式，再合并即可得答案；
（2）根据题意得 ，故设 ， ，则 ，再解不
等式 即可得区间 内的“幸福数”，再求和即可得答案.
【详解】（1）∵ ①，∴ ， ②
当 时，①﹣②得 ，
∴ 的奇数项与偶数项各自成等差数列，且公差均为2， ，∴ ( 为奇数)
( 为偶数)
∴
（2）
设 ， ，∴ ，
令 ， ，∴
∴区间 内的“幸福数”为 ， ，…，
∴所有“幸福数”的和为 .
变式2、(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{a}中不超过f(m)的项数恰为b (m∈N*)，则
n m
称数列{b }是数列{a}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{a}生成{b }的控制函数．已知a ＝2n，且
m n n m n
f(m)＝m，数列{b }的前m项和S ，若S ＝30，则m的值为( )
m m m
A．9 B．11 C．12 D．14
【答案】B
【解析】由题意可知，当m为偶数时，可得2n≤m，则b ＝；当m为奇数时，可得2n≤m－1，则，所以
m
b ＝，则当m为偶数时，S ＝b ＋b ＋…＋b ＝(1＋2＋…＋m)－×＝，则＝30，因为m∈N*，所以无解；
m m 1 2 m
当m为奇数时，S ＝b ＋b ＋…＋b ＝S －b ＝－＝，所以＝30，因为m∈N*，所以m＝11，故答案选
m 1 2 m m＋1 m＋1
B．
考向四 数列与不等式等知识点的结合
例4（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知数列 中， ， 是数列 的前 项和，数列 是公
差为1的等差数列．
(1)求数列 的通项公式；(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为数列 是首项为2，公差为 的等差数列，
所以 ，则 ，得 （ ），
两式相减得： ，则 ，
（ ），
又 适合上式，故 ．
另解：由 得 （ ），
故 为常数列，
则 ，故 ．
（2）由（1）得 ，
所以 ，
则 .
变式1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，若
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： ．
【解析】（1）当 时， ，解得 ；当 时，由 ，得 ，
两式相减可得 ， ，又 ，
，即 是首项为 ，公差为 的等差数列，
因此， 的通项公式为 ；
（2）证明：由 可知 ，所以 ，
，
因为 恒成立，所以 ，
又因为 ，所以 单调递增，所以 ，
综上可得 ．
1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者
自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，
第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦
的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105 B．107 C．1012 D．1015
【答案】C
【解析】64个格子放满麦粒共需 ，
麦子大约20000粒，1吨麦子大约 粒，
，故选：C.
2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值
元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷
款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为 ．按复利计算，则小李每个月应还（ ）
A． 元 B． 元
C． 元 D． 元
【答案】A
【解析】设每月还 元，按复利计算，则有
即
解之得 ，
故选：A
3、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：
“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是
__________里（用数字作答）.
【答案】6
【解析】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列 ，
，其公比 ，令数列 的前n项和为 ，
则 ，而 ，
因此 ，解得 ，
所以此人在第六天行走的路程 （里）.故答案为：6
4、（2023·云南玉溪·统考一模）在① ，② 这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求
解．
设等差数列 的公差为 ，前n项和为 ，等比数列 的公比为q．已知 ， ，
． （说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评
分）
(1)请写出你的选择，并求数列 和 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，设 的前n项和为 ，求证： ．
【解析】（1）由题意知， ， ， ，
选①，由题意知， ，
，
所以 ， ，即： ， .
选②，由题意知， ，
,
所以 ， ，即： ， .
（2）证明：由（1）得 ，
∴ ①，②，
① ②得： ，
∴ ．
又∵对 ， 恒成立，
∴ ．
5、（2023·云南·统考一模）记数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意 ， ，求m的最小值．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，故 ，
且 不满足上式，
故数列 的通项公式为
（2）设 ，则 ，
当 时， ，
故 ，
于是 ．整理可得 ，所以 ，
又 ，所以符合题设条件的m的最小值为7．
6、（2023·山西·统考一模）从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增
等差数列 的前三项.
第1列 第2列 第3列
第1行 7 2 3
第2行 1 5 4
第3行 6 9 8
(1)求数列 的通项公式，并求 的前 项和 ；
(2)若 ，记 的前 项和 ，求证 .
【解析】（1）解：由题意，选出3个数字组成的等差数列的前三项为： ， ， ，
所以 ， ，
所以 .
（2）证明：
.
因为 ，所以 ，
所以7、（2023·安徽安庆·校考一模）数列 中， ，且满足
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 ；
(3)设 ，是否存在最大的；正整数 ，使得对任意
均有 成立？若存在求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）令 ， ，令 ， ，
解得： ,
由 知数列 为等差数列，
设其公差为 ，则 .
故
（2）由 ，解得 .故
当 时,
当 时, .
（3）由于
从而故数列 是单调递增数列，又因 是数列中的最小项，
要使 恒成立，故只需 成立即可，
由此解得 ，由于 ，
故适合条件的 的最大值为7.
