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13.3.4 含 30°角的直角三角形性质专项训练（40 题）
一．选择题（共11小题）
1．如图，∠AOB＝30°，点C在射线OB上，若OC＝6，则点C到OA的距离等于（ ）
A．3 B．2 C．3 D．12
【分析】过C点作CD⊥OA，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半可求CD的长
即可．
【解答】
解：如图，作CD⊥OA于点D，
∵∠AOB＝30°，
∴ ．
故选：A．
【点评】本题考查了点到直线的距离的定义和含有 30°角的直角三角形的性质，作出图
形是关键．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB的长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】如图，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．进行计算
即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝2×2＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质进行求解是解决本题的关键．
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不
可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7.3
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最
短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，
∴AC＝ AB＝ ×8＝4，
∵点P是BC边上的动点，
∴4＜AP＜8，
∴AP的值不可能是3.5．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最
短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键．
4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD
的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，AD＝12，DE垂直平分AB，
∴DE＝6，DA＝DB，
∴∠DBE＝∠A＝30°，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∴∠DBE＝∠DBC＝30°，
∴BD平分∠CBE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6，
故答案为：6，故选：C．
【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质和含30°的
直角三角形的性质解答．
5．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于D，若PC＝8，则PD＝（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】作PE⊥OB于E，先证∠PCE＝∠CPO+∠BOP＝30°，得出PE＝ PC＝4，再
证明PD＝PE＝4即可．
【解答】解：作PE⊥OB于E；则∠PEC＝90°，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠AOP＝15°，
∴∠PCE＝∠CPO+∠BOP＝30°，
∴PE＝ PC＝4，
∵∠AOP＝∠BOP，PE⊥OB，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝4；
故选：B．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的性质、
外角的性质；证明角相等和30°角以及作辅助线是解决问题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB
的长度是（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】先求出∠ACD＝30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝3cm，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．
∴AB的长度是12cm．
故选：D．
【点评】本题主要考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
7．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED＝2，则
CE的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．2
【分析】直线DE是线段BC的垂直平分线，EA与EC相等，再借助直角三角形中30°所
对的直角边等于斜边的一半求解．
【解答】解：∵直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠ECD＝∠B＝30°，
在Rt△EDC中，∠ECD＝30°，ED＝2，
∴CE＝2ED＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形，解题关键
是二者组合，角度转换解题．
8．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且
CE＝2，则AB的长为（ ）A．8 B．4 C．6 D．7.5
【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，
又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝90°
在Rt△CDE中，∠CDE＝90°﹣∠C＝30°，
∵EC＝2，
∴CD＝2EC＝4，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，且AB＝BC
∴AD＝CD＝4，
∴AB＝AC＝AD+CD＝8．
故选：A．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，含 30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，
注意掌握数形结合思想的应用．
9．如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，若AC＝16cm，则BE的长是（
）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】由等边三角形的性质得到：BC＝AC＝16cm，AD⊥BD，且BD＝CD，∠B＝
60°，然后结合含30度角的直角三角形的性质求得BE＝ AC．
【解答】解：∵在等边△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝16cm，
∴BC＝AC＝16cm，AD⊥BD，且BD＝CD，∠B＝60°，
又DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，∴BE＝ ＝ AC＝4cm．
故选：A．
【点评】考查了等边三角形的性质和含30度角直角三角形，解题的关键是利用等腰三
角形的“三线合一”的性质解答．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝
6，则AD＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过C点作CE⊥AD于E，由等腰三角形的性质可得AD＝2DE，利用含30°角的
直角三角形的性质可求解BE的长，即可求得DE的长，进而可求解．
【解答】解：过C点作CE⊥AD于E，
∵CA＝CD，
∴AD＝2DE，
∵∠ABC＝60°，∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝30°，
∴BE＝ BC＝5，
∵BD＝6，
∴DE＝BD﹣BE＝6﹣5＝1，
∴AD＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，含 30°角的直角三角形的性质，作辅助线构
造直角三角形是解题的关键．
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不
可能是（ ）A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最
短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
∴AC＝ AB＝ ×4＝2，
∵点P是BC边上的动点，
∴2＜AP＜4，
∴AP的值不可能是1.8．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最
短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
12．如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC ＝ ．
【分析】过点B作BD⊥AC于D，根据含30°角的直角三角形的性质可得BD＝ AB＝
4，利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于D，
∵AB＝AC＝8，∠A＝30°，∴BD＝ AB＝4，
∴S△ABC ＝ AC•BD＝ ×8×4＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，掌握含30°角的直角三角形的性质是
解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB
于点D，E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，进一步可得∠DBA＝30°，∠ABC＝
60°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得BD，进一步即可求出AD的长．
【解答】解：∵线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠DBA＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝BD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是
解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，若AE＝
3，则CE的长为 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质即可得到
结论．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∵AE＝3，
∴AD＝2AE＝6，
∴AC＝2AD＝12，
∴CE＝AC﹣AE＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角
三角形的性质是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD
的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得 AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，求出∠DAE
＝∠EAB＝30°，根据平行线的性质求出∠F＝∠BAE＝30°，从而得到∠DAE＝∠F，根
据等角对等边求出AD＝DF，求出∠B＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于
斜边的一半解答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝ ×120°＝60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝ ∠BAD＝ ×60°＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝ AB＝ ×8＝4，
∴DF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直
角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．
三．解答题（共25小题）
16．如图．在直角三角形BCD中，∠D＝90°，∠DBC＝15°，点A在直角边BD上，连接
AC，AB＝AC＝4．求CD的长．
【分析】由等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝15°，根据三角形的外角的性质得到
∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°，
∵∠D＝90°，
∴CD＝ AC＝2．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性
质定理是解题的关键．
17．如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2，求BC的长．
【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠B、∠BAC度数，求出∠DAC
＝∠C，求出DC，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴AD＝CD，
∵AD＝2，
∴CD＝2，
在Rt△ABD中∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝4，
∴BC＝BD+CD＝4+2＝6．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解题关键
是求出BD和DC长．
18．已知：如图，∠BAC＝30°，G为∠BAC平分线上一点，EG∥AC，EG交AB于点E；
GD⊥AC，垂足为点D．求证：GD＝ EG．
【分析】作辅助线GF⊥AB，根据角平分线的性质可知GF＝GD，由EG∥AC可知∠2＝
∠EGA，从而推出∠3与∠BAC的关系，从而得出GE与GF的关系，进而得到GE与
GD的关系．
【解答】证明：如下图所示：作GF⊥AB于点F，
∵AG为∠BAC平分线，GF⊥AB，GD⊥AC，
∴∠1＝∠2，GF＝GD．
∵EG∥AC，
∴∠2＝∠EGA．
∴∠1+∠EGA＝∠1+∠2＝∠BAC．
∵∠BAC＝30°，∠3＝∠1+∠EGA，
∴∠3＝30°．
∵GF⊥AB，
∴GE＝2GF．又∵GF＝GD，
∴GE＝2GD．
即 ．
【点评】本题考查角平分线的性质角、平行线的性质和在直角三角形中 30°角所对的直
角边与斜边的关系，关键是正确分析题目，灵活变化最终求得结论成立．
19．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC，若DE＝2cm，
求BC的长．
【分析】连接EA，根据三角形内角和定理得到∠B＝∠C＝30°，根据线段垂直平分线的
性质得到EA＝EC，根据直角三角形的性质解答．
【解答】解：连接EA，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC＝2DE＝4，
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE＝2AE＝8，
∴BC＝12（cm）．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端
点的距离相等是解题的关键．
20．已知，如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上的中点，DE⊥AC于E．求证：CE
＝ AC．【分析】先根据△ABC是等边三角形，D是BC边的中点得出CD的长和∠C的度数，
再根据DE⊥AC可知∠DEC＝90°，故可得出∠EDC的度数，根据直角三角形的性质即
可得到结论．
【解答】证明：设BC＝a，
∵△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，
∴CD＝ BC＝ a，∠C＝60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∴CE＝ CD＝ AC．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都相等，且都等
于60°是解答此题的关键．
21．银川市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮美化环境，已
知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮一共需要多少钱？
【分析】过点 B作BE⊥CD，垂足为 E，先利用平角定义求出∠EAB＝30°，然后在
Rt△ABE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BE＝10m，从而利用三角形的面
积进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，
∵∠BAC＝150°，
∴∠EAB＝180°﹣∠BAC＝30°，
在Rt△ABE中，AB＝20m，
∴BE＝ AB＝10m，
∴△ABC的面积＝ AC•BE
＝ ×40×10
＝200（m2），∴200•a＝200a（元），
∴购买这种草皮一共需要200a元钱．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适
当的辅助线是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、
E．若DE＝6，求AB的长．
【分析】在Rt△ADE中，可得到AE＝2DE，再结合勾股定理可求得 AD，由条件可知
AB＝2AD，可求得AB的长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DE⊥AB，AB＝2AD，
∵∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝12，
AD＝ ＝ ＝6 ，
∴AB＝2AD＝12 ．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质及直角三角形的性质，解题的关键是了解 30°角
所对的直角边是斜边的一半．
23．如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上 8点，在A处测得小岛P在北
偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛
P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触
礁的危险？
【分析】作PC⊥AB于点C，根据方向角的定义求得∠PAB和∠PBC的度数，证明PB＝
AB，然后在直角△PBC中利用含30°角的直角三角形的性质求得PC的大小，与22海里
进行比较即可．
【解答】解：作PC⊥AB于点C．∵∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠PBC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠PBC＝∠PAB+∠APB，
∴∠PAB＝∠APB＝15°，
∴BP＝AB＝20×2＝40（海里），
在直角△PBC中，PC＝ PB＝40× ＝20＜22．
则若轮船仍向前航行有触礁的危险．
【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的应用，关键找出题中的等腰三角形，然后
再根据直角三角形性质求解．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直
平分线，垂足为E．
（1）求∠CAD的大小；
（2）若BC＝3，求DE的长．
【分析】（1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案；
（2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可．
【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠EAD，
又∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
设∠CAD＝x，则3x＝90°，
∴x＝30°，
∴∠CAD＝30°；
（2）∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
设DC＝y，则DE＝y，BC＝3﹣y，
又∵∠B＝30°，∴y＝ ，解得y＝1，
∴DE＝1．
【点评】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性
质和角平分线的性质．
25．如图，早上8：00，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P
在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在
小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？
【分析】过点P作PD⊥AC于点D，利用三角形外角可求出∠P，利用角的度数可判断
△PAB为等腰三角形，利用时间和速度可求出 AB的长度，也就求出PB的长，再利用
PD＝ 即可求得PD的长度，与18比较即可得出结论．
【解答】解：如图，过点P作PD⊥AC于点D，
∵∠PAB＝15°，∠PBD＝30°，
∴∠APB＝15°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴PB＝AB，
∵AB＝15×2＝30（海里），
∴PB＝30（海里），
在Rt△PBD中，∠PDB＝90°，∠PBD＝30°，
∴PD＝ ＝ 30＝15＜18，
∴轮船继续向前航行，有触礁的危险．
【点评】本题考查了行船遇暗礁问题，关键是把实际问题转化为数学问题，利用等腰三角形和直角三角形的性质来解决．
26．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD
于E，交AC于F．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）求证：BE＝EF．
【分析】（1）由∠BAC＝90°，∠C＝30°可得∠ABC＝60°，根据BF平分∠ABC得
∠CBF＝∠ABF＝30°，根据∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°，∠AFB＝90°﹣∠ABF
＝60°，得∠AFE＝∠AEF＝60°，即可得△AEF是等边三角形；
（2）可得∠BAE＝∠ABF＝30°，则AE＝BE，由（1）知△AEF是等边三角形，得AE＝
EF，即可证明．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°，
∵∠AFB＝90°﹣∠ABF＝30°，
∴∠AFE＝∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABF＝30°，
∴AE＝BE，
由（1）知△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴BE＝EF．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性
质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
27．如图，已知在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝
12．求BF的长．【分析】根据等边三角形的性质可得∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC，根据已知可得AD
＝6，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE，进一步可得CF，即可求出BF的长．
【解答】解：在等边△ABC中，∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC，
∵D是AB的中点，AB＝12，
∴AD＝6，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝ AD＝3，
∵AC＝BC＝AB＝12，
∴CE＝9，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∴∠FEC＝30°，
∴FC＝ CE＝ ，
∴BF＝12﹣ ＝ ．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握含 30°角的直角
三角形的性质是解题的关键．
28．如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交
AC于点E．
（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度数；
（2）若DE＝4，∠B＝30°，求出BC的长度．
【分析】（1）先利用互余计算出∠ACB＝50°，再根据角平分线的定义得到∠ACD＝
∠BCD＝25°，然后根据平行线的性质求解；
（2）先利用互余计算出∠ACB＝60°，再根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝30°，则根据平行线的性质得到∠CDE＝30°，∠ADE＝∠B＝30°，则CE＝DE＝4，然后
利用含30度的直角三角形三边的关系得到AE＝2，则AC＝6，然后计算BC的长．
【解答】解：（1）∵∠A＝90°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝90°﹣40°＝50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝ ∠ACB＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝25°；
（2）∵∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝ ∠ACB＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝30°，∠ADE＝∠B＝30°，
∴∠CDE＝∠ACD，
∴CE＝DE＝4，
在Rt△ADE中，AE＝ DE＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+6＝6，
在Rt△ABC中，BC＝2AC＝12．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直
角边等于斜边的一半．也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定与性质．
29．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连
接BD，若AC＝12．
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A＝∠C＝30°，根据线
段垂直平分线的性质得出AD＝BD，求出∠DBA＝30°，再求出答案即可；（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出BD＝ CD，求出AD＝ AC，再求出答案
即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝ （180°﹣∠ABC）＝30°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，
∴BD⊥BC；
（2）解：∵∠DBC＝90°，∠C＝30°，
∴BD＝ CD，
∵AD＝BD，
∴AD＝ CD＝ AC，
∵AC＝12，
∴AD＝4，
∴BD＝AC＝4．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，含 30°角的直角三角形的性质，三角形内
角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的
关键．
30．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线
段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．
（1）若BQ＝2，求PE的长
（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．
【分析】（1）先根据△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，可知∠EBP＝
30°，由PE⊥AB于点E，进而可得PE＝ BP，然后由线段BP的垂直平分线交BC于点
F，可得BP＝2BQ＝4，进而可求PE的长；（2）由等边三角形的性质得出∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，求出∠BPE＝60°，
由线段垂直平分线的性质得出FB＝FP，由等腰三角形的性质得出∠FBQ＝∠FPQ＝
30°，得出∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，
∴∠EBP＝∠PBC＝30°，
∵PE⊥AB于点E，
∴∠BEP＝90°，
∴PE＝ BP，
∵QF为线段BP的垂直平分线，
∴BP＝2BQ＝2×2＝4，
∴PE＝ ×4＝2；
（2）△EFP是直角三角形．理由如下：
连接PF、EF，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB＝90°，
∴∠BPE＝60°，
∵FQ垂直平分线段BP，
∴FB＝FP，
∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，
∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，
∴△EFP是直角三角形．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质、含 30°角的直角三角形的
性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟知等边三角形的性质和等
腰三角形的性质是解答此题的关键．
31．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝18，点D在BC上，AD＝AC，若BD＝5，求
CD的长．【分析】根据等腰三角形的性质求出CE＝DE，根据三角形内角和定理求出∠BAE的度
数，根据含30°角的直角三角形的性质求出BE＝ AB＝9，再求DE，最后关键三线合一
即可求出DC．
【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，
则∠AEB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝30°，
∴BE＝ AB，
∵AB＝18，
∴BE＝9，
∵BD＝5，
∴DE＝BE﹣BD＝9﹣5＝4，
∵AD＝AC，AE⊥DC，
∴CE＝DE＝4，
∴CD＝4+4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含 30°角的直角三角形的
性质等知识点，能求出BE的长是解此题的关键．
32．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这
两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；
（2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求
OA的长．【分析】（1）求出∠BAC＝110°，根据线段垂直平分线的性质得到 DA＝DB，EA＝
EC，可求出答案；
（2）连接OA，OB，OC，根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的
性质得到OB＝OC，计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACB＝40°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；
（2）连接OA，OB，OC，
∵△ADE的周长7cm
∴AD+DE+EA＝7（cm），
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝7（cm）；
∵△OBC的周长为15，
∴OB+OC+BC＝15，
∵BC＝7，
∴OB+OC＝8，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直
平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
33．如图，△ABC是等边三角形、BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作EF⊥AB于E，
交BC边延长线于F，若AE＝2，求BF的长．
【分析】根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定，即可得出DC＝CF＝4；再根据
等边三角形的性质，再根据BF＝BC+CF即可得到BF的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝ AC，
∵DE⊥AB于E，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，
∴CD＝AD＝2AE＝4，AC＝8，
∵∠CDF＝∠ADE＝30°，
∴∠F＝∠ACB﹣∠CDF＝30°，
∴∠CDF＝∠F，
∴DC＝CF＝4，
∴BF＝BC+CF＝8+4＝12．
【点评】此题考查等边三角形的性质，解决问题的关键是利用等边三角形三线合一的性
质．
34．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，F是AB中点，∠ABC＝50°，
∠CAD＝60°．
（1）求∠AEB的度数；
（2）若△BCF与△ACF的周长差为3，AB＝5，AC＝8，求△ABC的周长．【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAD＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵∠ABC＝50°，BE是△ABC的角平分线，
∴∠CBE＝ ABC＝25°，
∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝25°+30°＝55°；
（2）∵△BCF的周长＝BC+BF+CF，△ACF的周长＝AC+AF+CF，
∴△BCF的周长﹣△ACF的周长＝BC+BF+CF﹣（AC+AF+CF）＝3，
∵F是AB中点，
∴AF＝BF，
∴BC﹣AC＝3，
∵AC＝8，
∴BC＝11，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+11+8＝24．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的周长的计算，熟练掌握三角形的内
角和定理是解题的关键．
35．如图，在△ABC中，∠C＝90°，边AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E．
（1）求证：E为AB的中点；
（2）若 ，求BE的长．
【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得出 AE＝CE，求出DE∥BC，再
求出答案即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AB长，再求出BE即可．
【解答】（1）证明：连接CE，∵线段DE是边AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AD＝CD，∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥CB，
∵AD＝CD，
∴AE＝BE，即E为AB的中点；
（2）解：∵边AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，CD＝ ，
∴AC＝2CD＝2 ，
∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝2 ，∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴AB＝2AC＝4 ，
即BE＝AE＝ AB＝2 ．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，含 30°角的直角三角形的性质，三角形
的内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算
是解此题的关键．
36．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，
CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，MF的长为2．
（1）求∠ADE的度数；
（2）△ADF是正三角形吗？为什么？
（3）求AB的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B 和∠C，求出
∠BDE，即可求出答案；
（2）求出DF＝CF，根据等腰三角形的性质求出∠FDC＝∠C，求出∠AFD和∠DAF，
根据等边三角形的判定得出即可；
（3）求出CF和DF，根据等边三角形的性质求出AF，求出AC，即可求出AB．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝ ×（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝ ×（180°﹣∠B）＝75°，
∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝15°；
（2）△ADF是正三角形，
理由是：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，
∴DF＝CF，
∵∠C＝30°，
∴∠FDC＝∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠C+∠FDC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAF＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠ADF＝60°，
即∠FAD＝∠ADF＝∠AFD＝60°，
∴△ADF是正三角形；
（3）∵CD的垂直平分线MF，
∴∠FMC＝90°，
∵∠C＝30°，MF＝2，
∴FC＝2MF＝4，
∵DF＝FC，
∴DF＝4，
∵△ADF是等边三角形，
∴AF＝DF＝4，
∴AC＝AF+CF＝4+4＝8，
∵AB＝AC，
∴AB＝8．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定，含 30°角的直角
三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
37．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．
（1）求△AEN的周长．
（2）求∠EAN的度数．
（3）判断△AEN的形状并证明．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出BE＝AE，CN＝AN，求出△AEN的周长
＝BC，代入求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠B、∠C、∠BAE、∠CAN的度数，再求出即可；
（3）求出∠AEN＝∠ANE＝∠EAN＝60°，根据等边三角形的判定得出即可．
【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交C边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点
N，
∴BE＝AE，CN＝AN，
∵BC＝12，
∴△AEN的周长为AE+AN+EN＝BE+CN+EN＝BC＝12；
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝ （180°﹣∠A）＝30°，
∵BE＝AE，CN＝AN，
∴∠BAE＝∠B＝30°，∠CAN＝∠C＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝120°﹣30°﹣30°＝60°；
（3）△AEN的形状是等边三角形，
证明：∵∠BAE＝∠B＝30°，∠CAN＝∠C＝30°，
∴∠AEN＝∠BAE+∠B＝60°，∠ANE＝∠CAN+∠C＝60°，
∵∠EAN＝60°，
∴∠AEN＝∠ANE＝∠EAN＝60°，
∴△AEN是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的
性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
38．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC
于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：AF＝AD；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长．
【分析】（1）由 AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由 DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，
∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代
换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论；
（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝4，
∴BE＝ BD＝2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝4．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，
关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出∠F＝∠FDA，即可推出结论．
39．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点
D，E．
（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在
Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角
形．
【解答】（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端
点的距离相等是解题的关键．
40．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使AE＝AB，求证：DA＝DE．
【分析】（1）根据题意可知∠CAB＝60°，然后利用角平分线性质可求得答案；
（2）由题意可知三角形ABE是等边三角形，然后在证明Rt△DCA≌Rt△DCE，即可求
证．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝60°＝2×∠CAD，
∴∠CAD＝30°；
（2）连接BE，得到三角形ABE，
∵延长AC至E，使AE＝AB，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠EAB＝60°，
∴三角形ABE是等边三角形，
∴AC＝CE，
∴Rt△DCA≌Rt△DCE，
∴DA＝DE．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形，解题的关键是掌握角平分线的性质以
及等边三角形的性质，此题难度不大．
