文档内容
13.3.4 含 30°角的直角三角形性质专项训练（40 题）
一．选择题（共11小题）
1．如图，∠AOB＝30°，点C在射线OB上，若OC＝6，则点C到OA的距离等于（ ）
A．3 B．2 C．3 D．12
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB的长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不
可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7.3
4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD
的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于D，若PC＝8，则PD＝（
）
A．3 B．4 C．5 D．66．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB
的长度是（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
7．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED＝2，则
CE的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．2
8．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且
CE＝2，则AB的长为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．7.5
9．如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，若AC＝16cm，则BE的长是（
）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝
6，则AD＝（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不
可能是（ ）
A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8
二．填空题（共4小题）
12．如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC ＝ ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB
于点D，E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，若AE＝
3，则CE的长为 ．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD
的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ．
三．解答题（共25小题）
16．如图．在直角三角形BCD中，∠D＝90°，∠DBC＝15°，点A在直角边BD上，连接
AC，AB＝AC＝4．求CD的长．
17．如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2，求BC的长．
18．已知：如图，∠BAC＝30°，G为∠BAC平分线上一点，EG∥AC，EG交AB于点E；
GD⊥AC，垂足为点D．求证：GD＝ EG．
19．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC，若DE＝2cm，求BC的长．
20．已知，如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上的中点，DE⊥AC于E．求证：CE
＝ AC．
21．银川市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮美化环境，已
知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮一共需要多少钱？
22．如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、
E．若DE＝6，求AB的长．
23．如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上 8点，在A处测得小岛P在北
偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛
P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触
礁的危险？24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直
平分线，垂足为E．
（1）求∠CAD的大小；
（2）若BC＝3，求DE的长．
25．如图，早上8：00，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P
在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在
小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？
26．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD
于E，交AC于F．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）求证：BE＝EF．
27．如图，已知在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝
12．求BF的长．28．如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交
AC于点E．
（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度数；
（2）若DE＝4，∠B＝30°，求出BC的长度．
29．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连
接BD，若AC＝12．
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
30．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线
段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．
（1）若BQ＝2，求PE的长
（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．31．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝18，点D在BC上，AD＝AC，若BD＝5，求
CD的长．
32．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这
两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；
（2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求
OA的长．
33．如图，△ABC是等边三角形、BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作EF⊥AB于E，
交BC边延长线于F，若AE＝2，求BF的长．
34．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，F是AB中点，∠ABC＝50°，
∠CAD＝60°．
（1）求∠AEB的度数；
（2）若△BCF与△ACF的周长差为3，AB＝5，AC＝8，求△ABC的周长．35．如图，在△ABC中，∠C＝90°，边AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E．
（1）求证：E为AB的中点；
（2）若 ，求BE的长．
36．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，
CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，MF的长为2．
（1）求∠ADE的度数；
（2）△ADF是正三角形吗？为什么？
（3）求AB的长．
37．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于
点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．
（1）求△AEN的周长．
（2）求∠EAN的度数．
（3）判断△AEN的形状并证明．
38．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC
于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：AF＝AD；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长．
39．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点
D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
40．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使AE＝AB，求证：DA＝DE．
