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13.3.4 最短路径问题
教学内容 13.3.4 最短路径问题 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：通过情景导入搭建台阶，为学生探究问题
提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问
题，渗透转化思想.
2.会用数学的思维思考现实世界：用生活情境导入，让学生将实际问题抽象为
核心素养
数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”，提高学生的分析
目标
问题和用数学语言总结生活问题的能力.
3.会用数学的语言表示现实世界：通过对用垂直平分线的性质判断最短路径的
学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，
逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中
知识目标 的作用，感悟转化思想.
教学重点 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段.最短”问题．
教学难点 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 新课导入：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一 设计意图：以数学故事情
位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军 节为导入，使学生身临其
专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 境的体会用数学知识解决
实际问题，这种方式更加
的吸引学生的兴趣，让学
生更主动的去解决问题.
从图 1 中的 A 地出发，到一条笔直的河边
l 饮马，然后到 B 地.到河边个么地方饮马可使
他所走的路线全程最短?
二、探究
新知 二、小组合作，探究概念和性质
知识点1：将军饮马问题
问题1 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 设计意图：让学生将实际
并把它抽象为数学问题吗？ 问题抽象为数学问题，即
将最短路径问题抽象为
“线段和最小问题”.
师生活动：教师引导学生把实际生活问题数学抽
象成几何探究，用提问的方式，让学生思考河可
以看作什么，马和房屋可以看作什么？启发学生
思考并让他们作图如下：
学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识: (1)
从AB地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)
在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与
A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从
AC地到饮马地点，再回到B地的路程之和；(3)
现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点设C为直线l上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，
AC与CB的和最小，教师总结：当点 C 在 l 的
1什么位置时，AC 与 CB 的和最小.
探究一 如图，点 A、B 在直线 l 的同侧，点
C 在直线 l 上的一个动点，当点 C 在 l 什么位
置时，AC 和 CB 的和最小？
A
B
师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试l 回 设计意图：通过搭建台
答，相互补充. 阶，为学生探究问题提供
如果学生有困难，教师可作如下提示: “脚手架”，将“同侧”
(1) 如图，点 A、B 分别是直线 l 异侧的两个 难于解决的问题转化为
点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点分别到 “异侧”容易解决的问
点 A 与点 B 的距离和最短？
题，渗透转化思想.
(2) 如何将探究一的点 B“移”到 l 的另一侧 B′
处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB
与 C′B′ 的长度相等？
(3) 你能用所学的知识证明：AC + BC 最短吗？
师生活动：师生共同分析，然后学生说明证明过
程，教师板书.
设计意图：让学生在证明
的构成中反思，体会轴对
称“桥梁”的作用，渗透
转化思想.
师生共同总结：
练习 1.如图 (1) 是示意图，游船从湖岸 l₁ 的码
头 D 将游客送往亭子 M 停留观赏，然后将游客
送往湖岸 l₂ 的码头 C，最后再回到码头 D.请在
图 (2) 中画出游船的最短路径，并确定两个码头
的位置.
2设计意图：巩固学生运用
三、当 堂
轴对称转化判断最短路径
练习，巩
的含义的理解与掌握，锻
固所学
炼解决最短路径的能力.
师生活动：师生共同分析，然后学生说明作图步
骤，教师板书作图.
知识点2:造桥选址区问题
探究二 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现
要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到
B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直
线，桥要与河垂直)？
设计意图：巩固学生运用
轴对称转化判断最短路径
师生活动：学生独立思考后，师生共同分析，把
的含义的理解与掌握，锻
实际问题转化成数学问题，即：当点 N 在直线
炼解决最短路径的能力以
b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小？教师分析
及推广运用的思维能力.
作图过程，学生独立完成作图.
练习2.如图 (1) 是示意图，在第 1 题的条件
下，如果在湖面上再新建一座观赏亭 N，且游船
路线为湖岸 l₁ 的码头 D→亭子 M→亭子 N→湖
岸 l2 的码头 C→湖岸 l₁ 的码头 D.请在图(2)中
画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置.
(提示：思考最短路线是由哪几条线段相加).
设计意图：考查学生运用
轴对称转化判断最短路径
师生活动：学生独立思考后，教师分析作图过
的含义的理解与掌握，和
程，学生独立完成作图.
解决最短路径的能力.
三、当堂练习，巩固所学
1.(佛山校考)某开发商的经适房的三个居民小区
A、B、C 在同一条直线上，位置如图所示，其中
小区 B 到小区A、C 的距离分别是 70m 和
150m，小区 A、C 之间建立一个超市，要求各小
3区居民到超市总路程和最小，那么超市的位置应
建在 ( )
A B C
A.小区 A B. 小区 B
C.小区 C D. AC 的中点
2.线段 AC 是正方形 ABCD 的对角线，点 M 是
设计意图：考查运用轴对
边 CD 上的一定点(不与 D，C 重合)，请在对角 称转化判断最短路径的能
线 AC 上找一点 P，使得△PDM 的周长最小， 力．
并作简要说明.
A
D
M
B C
设计意图：考查学生运用
3.(广州校考)如图，在长度为1个单位长度的小正 轴对称转化判断最短路径
方形组成的正方形中，点 A，B，C 在小正方形 的含义的理解与掌握，和
的顶点上. 解决最短路径的能力.
(1) 在图中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的
△A′B′C′；
(2) △ABC 的面积是______；
(3) 在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 最短.
l
A
B
C 设计意图：考查学生运用
轴对称转化判断最短路径
的含义的理解与掌握，和
解决最短路径的能力.
最短路径问题
解决最短路径问题：通常利用 轴对称 、 平移 实现线段的转移，把已知问
板书设计
题转化成容易解决的问题.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
4教学反思 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，
线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为
知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节课以数学史中的一个经典问题--“将军饮马问题”为载体开展对
“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和
最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”
(或“三角形两边之和大于第三边”)问题.
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