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13.4最短路径问题
一、单选题
1．如图，在 中，点 、 、 的坐标分别为 、 和 ，则当 的周长最小时，
的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图， 是等边三角形， 是 边上的高，E是 的中点，P是 上的一个动点，当
与 的和最小时， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与
PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°4．在 中， ， ， 于 点，且 ，若 点在边 上移动，则
的最小值是（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
5．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是
△ABC
AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
6．已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出
的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（）
A． B．
C． D．
7．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，
现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ）A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分
线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，
则△PBC周长的最小值为（ ）
(0, 2)
A．15 B．17 C．18 D．20
二、填空题
9．如图，在锐角 中， ，边 上有一定点 分别是 和 边上的动点，
当 的周长最小时， 的度数是_________．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____．
11．如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1．
（1）△ABC的周长等于_____；
（2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的周长取得最小值时，
请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，并简要说明点P和点Q的位置
是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．
12．如图，等腰△ABC底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC
于点N，若D为BC边上的中点，E为线段MN上一动点，则△BDE的周长最小值为____cm．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB
于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为____________．
14．如下图， ，在 、 上分别找一点M、N，当 周长最小时， 的度数是_____________．
三、解答题
15．如图，小明在A处放牛，要到河边（直线l）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B处．
（1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l上画出喝水处点P的位置；
（2）在直线l上任取一点Q（点Q不与点P重合），连接 ，试说明 ．
16．如图，BA、BC是两条公路，在两条公路夹角内部的点P处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，
并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如
何选址？
17．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，1），B（3，4），C（1，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△AB C ，并写出顶点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）若点P在x轴上，且满足PA＋PC 最小，求点P的坐标及PA＋PC 的最小值．
1 118．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（−4，5），B（﹣3，1），C（−2，
3）．
（1）画出△ABC及关于y轴对称的△ABC ，其中点B 的坐标是________；
1 1 1 1
（2）若点M是x轴上的动点，在图中画出使△BCM周长最小时的点M．
1
19．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．（1）作出 关于 轴的对称图形 ；
（2）写出点 ， ， 的坐标；
（3）在 轴上找一点 ，使 最短（不写作法）．
20．如图，在等腰三角形ABC中，底边 ， 的面积是 ，腰AB的垂直平分线EF分
别交AB、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点．
（1）当 周长的最小时，请在图中作出满足条件的 （保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（2） 周长的最小值是___________．
21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△ABC ，并写出A、B、C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
（2）若小正方形的边长为1，试求△ABC的面积．
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．
22．在平面直角坐标系中，B(2，2 )，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，
请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
