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第 18 讲 章末检测三
一、单选题
1、（2022·山东烟台·高三期末）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得 ，即 ，
因此，函数 的定义域为 .
故选：C.
2、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知函数f(x)＝，则f(－2022)＝（ ）．
A．－2 B．2 C．5 D．3
【答案】A
【解析】由题意可知，f(－2022)＝f(－2019)＝…＝f(－2022)＝f(0)＝log (0＋1)－2＝－2．
3
3、（2022·江苏如皋·高三期末）“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数,
则 ，
化简得： ，故 ，
当 时，f(x)＝sinx是奇函数，
因此“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”充要条件，
故选:C.
4、（2022·江苏无锡·高三期末）已知函数 ，则函数 的图象可能是（
）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为： ， ， 为
奇函数，图象关于原点对称，排除D.
时， ， ， ，
时， ， ， ，
时， .
故选：A.
5、（2022·山东枣庄·高三期末）良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省
立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，
包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，
2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，
终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的
草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的 ．已知经过x年后，碳14的残余量 ，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年
代是（ ）．（参考数据： ）
A．公元前2893年 B．公元前2903年
C．公元前2913年 D．公元前2923年
【答案】B
【解析】 碳14的半衰期为5730年， ，当
时， ， ， 2010年之前的
4912年是公元前2902年， 以此推断此水坝大概的建成年代是公元前2903年.
故选：B.
6、（2022·江苏通州·高三期末）函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实
数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝
2
（ ）
A．4097 B．4107 C．5119 D．5129
【答案】B
【解析】由题意 时， ， ，在 上奇数共有 个，
， ，
，
设 ，则 ，
相减得： ，
所以 ，
所以 ．
故选：B．
7、（2022·山东烟台·高三期末）若定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
则 在 上单调递减，且 ， ，
因为 ，
当 时，即 ，此时满足不等式 ；
当 时，即 ，可得 ，且满足 ，
则 ，解得 ；
当 时，即 ，可得 ，且满足 ，
则 ，解得 ，
综上可得，不等式的解集为 .
故选：C.
8、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)设 ， ， ，则 的大小关
系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】 ， ， ， ， ，
，即 ， ；
，即 ， ；
，即 ， ； ，即 .
设 ，则 ，
当 时， ，又 ， ， ，
在 上单调递减， ，即当 时， ，
， ，即 .
综上所述： .
故选：B.
二、多选题
9、（2022·江苏海安·高三期末）下列函数在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A： 为开口向上的抛物线，对称轴为 ，所以 在区间 上单调递
减，故选项A不正确；
对于B： 的定义域为 ，将 的图象向右平移一个单位可得 ，
因为 在 上单调递增，向右平移一个单位可得 在 上单调递增，所以 在区间 上单调递增，故选项B正确；
对于C： ，所以 在区间 上单调递增，故选项C正确；
对于D： 是由 和 复合而成，因为 单调递减， 在区
间 上单调递增，所以 在区间 上单调递减，故选项D不正确；
故选：BC.
x x
10、（2022·山东青岛·高三期末）已知函数f (x)= − 为偶函数，则（ ）
2x+1 a
A．a=2
f x 0,
B． 在区间 上单调递增
f x
C． 的最大值为0
1
D．f (x)>− 的解集为(−1,1)
6
【答案】ACD
x x
【解析】函数f (x)= − 为偶函数，所以f (−1)=f (1)，
2x+1 a
−1 −1 1 1
即 − = − ，解得a=2，
2−1+1 a 21+1 a
x x f x
所以f (x)= − ，x∈R，经检验a=2时 为偶函数，故A正确；
2x+1 2
x x x x
( ) ( )
设x >x >0，f (x )−f (x )= 1 − 1 − 2 − 2
1 2 1 2 2x 1+1 2 2x 2+1 2
= ( x 1 − x 1 ) − ( x 2 − x 2 ) = (x 1 −x 2 )(1−2x 1 +x 2)+(x 1 +x 2 )(2x 2−2x 1) ，
2x 1+1 2 2x 2+1 2 2(2x 1+1)(2x 2+1)
因为x >x >0，所以x −x >0，2x 1>2x 2>1，
1 2 1 2所以(x −x )(1−2x 1 +x 2)<0,(x +x )(2x 2−2x 1)<0，
1 1 1 1
(x −x )(1−2x 1 +x 2)+(x +x )(2x 2−2x 1)
即 1 2 1 2 <0，
2(2x 1+1)(2x 2+1)
x x
所以f (x )− 得f (x)>f (1)，
2+1 2 6 6
f x
因为 在(0,+∞)上是单调递减函数，在(−∞,0)单调递增函数，f (0)=0，
可得−1f' (0)=0，此时函数 2 单调递增，∴f (x)≥f (0)=0，
2 2 2 2
f x 0,
故函数 2 的值域为 ，
(−x) 2 x2 f x
因为f (−x)= +cos(−x)−1= +cosx−1=f (x)，即函数 2 为偶函数，C满足条件；
2 2 2 2
对于D选项，函数y=ln|x|的定义域为{x|x≠0}，D不满足条件.
故选：BD.
12、（2022·江苏无锡·高三期末）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.
有这样一个函数就是以他名字命名的：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函
数，又称为取整函数.如： ， .则下列结论正确的是（ ）
A．函数 是 上的单调递增函数
B．函数 有 个零点
C． 是 上的奇函数
D．对于任意实数 ，都有
【答案】BD【解析】对于A， ， ， ， 在 上不是单调增函数，所以A错.
对于B，由 ，可得 ，所以 ，若函数 要有零点，则
，得 ，因为 要想为 ，必须 也为整数，在这个范围内，只有 两
个点，所以B正确，
对于C， ， ， 不是奇函数，所以C错，
对于D，如果我们定义 这样一个函数，就会有 ，同时有
，当 时，会有
，当 时， ，所以
D正确，
故选：BD.
三、填空题
13、（2022·江苏海门·高三期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x)=__________．
f x fx0
① 为偶函数；②f (x x )=f (x )+f (x )；③当x∈(0,+∞)时， .
1 2 1 2
【答案】−ln|x|（答案不唯一）
f x 0,
【解析】由题意可知函数 为偶函数且在 上为减函数，可取f (x)=−ln|x|，
对于①，函数f (x)=−ln|x|的定义域为{x|x≠0}，f (−x)=−ln|−x|=−ln|x|=f (x)，故函数
f (x)=−ln|x|为偶函数；
x x
对于②，对任意的非零实数 1、 2，f (x x )=−ln|x x |=−ln|x |−ln|x |=f (x )+f (x )；
1 2 1 2 1 2 1 2
f x 0,
对于③，当x∈(0,+∞)时，f (x)=−lnx，则函数 在 上为减函数.综上所述，函数f (x)=−ln|x|满足条件.
故答案为：−ln|x|（答案不唯一）.
f x x0,1
14、（2022·江苏宿迁·高三期末）设函数 的定义域为R，满足f (x+1)=2f (x)，且当 时，
(7)
f (x)=x2−x，则f 的值为__________.
2
【答案】2
【解析】因为函数 的定义域为 ，满足f (x+1)=2f (x)，且当 时，f (x)=x2−x，
(7) (5 ) (5) (3 ) (3) (1 ) (1)
所以f =f +1 =2f =2f +1 =4f =4f +1 =8f
2 2 2 2 2 2 2
(1 1)
=8× − =−2，
4 2
故答案为：
15、（2022·山东青岛·高三期末）已知 是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)=2x−2，则不等式
f (x)≤2的解集是_______；
【答案】
【解析】∵当x≥0时，f (x)=2x−2，
∴偶函数 在[0,＋∞)上单调递增，且f (2)=2，
所以f (x)≤2，即f (|x|)≤f (2)，
∴|x|≤2，解得−2≤x≤2.
故答案为： .
16、（2022·广东茂名·一模）已知函数 ，若 均不相等，且
，则 的取值范围是___________
【答案】
【解析】不妨设 ，由图可得， ，所以 即 ，
由 得， ，所以 的取值范围是
故答案为：
四、解答题
f (x) f(−1)=f(3)=3,f(1)=−1
17、已知二次函数 满足 ．
f (x)
（1）求 的解析式；
f (x) f (a+1)
（2）若 在 上有最小值 ，最大值 ，求a的取值范围．
【解析】
（1）设 ，则
……………………………………………………
解之得： ……………………………………………………………
………………………………………………………………………
（2）根据题意：解之得：
………………………………………………………
18、（2022·湖南省岳阳县第一中学高三月考）已知 ．
（1）求 的值域．
（2）若 对任意 和 都成立，求 的取值范围．
【解析】（1）令
原函数变为：
的值域为 .
（2）
即
恒成立
令 ,
图象为线段，则
解得 .
19、（2021·江苏徐州高三开学初）函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
（1）确定 的解析式；
（2）判断 在 上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于t的不等式 ．
【解析】
（1）根据题意，函数 是定义在 上的奇函数，
则 ，解可得 ；
又由 （1） ，则有 （1） ，解可得 ；
则 ；
（2）由（1）的结论， ，在区间 上为增函数；
证明：设 ，
则 ，
又由 ，
则 ， ， ， ，
则 ，则函数 在 上为增函数；
（3）根据题意， ，
解可得： ，
即不等式的解集为 ．
20、(2022·沭阳如东中学期初考试)(10分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注
水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，1小时内供水总量为吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水
紧张现象?
【解析】
(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，
则y＝400＋60t－120，
令＝x，则x2＝6t，即t＝，
所以，
所以当x＝6，即t＝6时，y ＝40，
min
即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨．……6分
(2)由(1)及题意得400＋10x2－120x＜80，
即x2－12x＋32＜0，
解得4＜x＜8，即4＜＜8，＜t＜．
因为，所以每天约有8小时出现供水紧张现象． ……12分
21、(2022·沭阳如东中学期初考试)(12分)
已知函数)为奇函数．
(1)求实数a的值并证明函数f(x)的单调性；
(2)解关于m不等式：．
【解析】(1)根据题意，因为函数为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即，
即＝0，
即
化简得，所以a＝2，
所以， ………6分
证明：任取x＜x∈R，
1 2
则f(x)－f(x)＝(－)－(－)＝－＝，
1 2
因为x＜x，所以＜，－＜0，＋1＞0，＋1＞0，
1 2
所以f(x)－f(x)＜0，所以f(x)＜f(x)，
1 2 1 2
所以f(x)在R上单调递增；
(2)可化为
≤f(2－m)＋2－m，
设函数g(x)＝f(x)＋x，
由(1)知，g(x)＝f(x)＋x在R上也是单调递增，所以m2≤2－m，
解得－2≤m≤1．
所以原不等式的解集为[－2，1]． ……………12分
22、（2021·浙江高三期末）设函数 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，设 ，求 在 上的最小值．
【解析】:因为 ，所以 ，则 ，即 ，
即 ，因为 ，
因为 ，所以 ，即 .
(2)因为 ，整理得 ，解得 或 (舍去)，所以 ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
则 在 上单调递增，当 时， ，当 时， ，
令 ，则 ，对称轴为 ，抛物线开口向上，
当 时， 在 上单调递增，此时当 时， ；
当 时， 在 上单调递减，此时当 时， ；
当 时， 在 先减后增，此时当 时， ；
综上所述， 在 上的最小值
