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第 74 讲 排列与组合
知识梳理
1. 分类加法计数原理
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m 种不同的方法，在第2类方式中有m 种不同的方法，
1 2
…，在第n类方式中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m＋m＋…＋m__种不同的方法．
n 1 2 n
2. 分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有m 种不同的方法，…，
1 2
做第n步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m×m×…×m__种不同的方法．
n 1 2 n
3. 排列与排列数
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的__一个排列__．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n个不同元素
中取出m个元素的__排列数__，用符号__A__表示．
(3)排列数公式：
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
____(n，m∈N*，并且m≤n)
A＝__n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1__＝n！，规定0！＝__1__．
4. 组合与组合数
(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的__一个组合__．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的__组合数__，用符号__C__表示．
(3)组合数公式：
C＝＝＝
____(n，m∈N*，并且m≤n)．
(4)组合数的性质：
性质1：C＝__C__．
性质2：C＝__C＋C__．
性质3：mC＝__n·C__．
1、（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同的排列方式共有
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】
【解析】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有 种情况，
甲站在两端的情况有 种情况，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有 种，故选： ．
2、（2021•乙卷（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行
培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】
【解析】5名志愿者选2个1组，有 种方法，然后4组进行全排列，有 种，
共有 种，
故选： ．
3、（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这 8门课中选修2
门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64．
【解析】若选2门，则只能各选1门，有 种，
如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有 ，
综上共有 种不同的方案．
故答案为：64．
4、（2023•乙卷（理））甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有
1种相同的选法共有
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】
【解析】根据题意可得满足题意的选法种数为： ．
故选： ．
5、（2023•甲卷（理））有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参
加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为A．120 B．60 C．40 D．30
【答案】
【解析】先从5人中选1人连续两天参加服务，共有 种选法，
然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有 种选法，
根据分步乘法计数原理可得共有 种选法．
故选： ．
6、（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，
则不同的抽样结果共有
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
【答案】
【解析】 初中部和高中部分别有400和200名学生，
人数比例为 ，
则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，
则有 种．
故选：
1、(2022·镇江高三开学考试)已知n，m为正整数，且n≥m，则在下列各式中：①A＝120；②A＝C·A；③
C＋C＝C；④C＝C，其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 C
【解析】 对于①，A＝6×5×4＝120，故①正确；对于②，因为C＝，所以A＝C·A，故②正确；对于③，
因为C＋C＝C，故③错误；对于④，C＝C，故④正确．
2、(2022·苏北四市高三期末)某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不
同排法共有( )
A. 12种 B. 24种 C. 72种 D. 120种【答案】 A
【解析】 先排列2名男生共有A种排法，再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有A种排法，
所以舞台站位时男女间隔的不同排法共有AA＝12(种)排法．
3、不等式A<6×A的解集为( )
A.{2，8} B.{2，6} C.{7，12} D.{8}
【答案】 D
【解析】 <6×，
∴x2－19x＋84<0，解得7
