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第2讲 参数方程
1.(2017·合肥调研)在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以O为极点，x
轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsin θ＋ρcos θ＝m.
(1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；
(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围.
解 (1)曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆；
直线l的直角坐标方程为x＋y＝0，
圆心C到直线l的距离为d＝＝＝r，
所以直线l与圆C相切.
(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝≤，解得－1≤m≤5.
所以实数m的取值范围为[－1，5].
2.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
(θ为参数)，直线l经过点P(1，2)，倾斜角α＝.
(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值.
解 (1)由消去θ，
得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
又直线l过点P(1，2)，且倾斜角α＝.
所以l的参数方程为
即(t为参数).
(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，
得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，
所以t t ＝－11.
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由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t t |＝11.
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3.(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率.
解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝
0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).
设A，B所对应的极径分别为ρ ，ρ ，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得
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ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ ＋ρ ＝－12cos α，ρ ρ ＝11.
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|AB|＝|ρ －ρ |＝＝.
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由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.
所以l的斜率为或－.
4.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的
长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程
为ρsin2θ＝4cosθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值.
解 (1)由ρsin2θ＝4cos θ得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.
(2)将直线l的参数方程代入y2＝4x得到t2sin2α－4tcos α－4＝0.
设A，B两点对应的参数分别是t ，t ，
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则t ＋t ＝，t t ＝－.
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∴|AB|＝|t －t |＝＝≥4，当α＝时取到等号.
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∴|AB| ＝4，即|AB|的最小值为4.
min
5.(2014·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极
轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的
参数方程，确定D的坐标.
解 (1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为
(t为参数，0≤t≤π).
(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1，0)为圆心，
1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.故D的直角坐标为，即.
6.(2017·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，
在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin
＝.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角；
(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值.解 (1)由消去参数α，得＋y2＝1，
即C的普通方程为＋y2＝1.
由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)
将代入(*)，化简得y＝x＋2，
所以直线l的倾斜角为.
(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)，
代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，
Δ＝(18)2－4×5×27＝108＞0，
设A，B两点对应的参数分别为t ，t ，
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则t ＋t ＝－＜0，t t ＝＞0，所以t ＜0，t ＜0，
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所以|PA|＋|PB|＝|t |＋|t |＝－(t ＋t )＝.
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