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第2讲 不等式的证明
1.设不等式|2x－1|＜1的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.
解 (1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，
解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}.
(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1，
所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.
故ab＋1＞a＋b.
2.已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：＋＋＜＋＋.
证明 法一 ∵a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，
∴＋＋＝＋＋＜＋＋＝＋＋.
∴＋＋＜＋＋.
法二 ∵＋≥2＝2；
＋≥2＝2；＋≥2＝2.
∴以上三式相加，得＋＋≥ ＋＋.
又∵a，b，c互不相等，∴＋＋＞＋＋.
法三 ∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，
∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋＞＋＋＝＋＋.
∴＋＋＜＋＋.
3.(2017·衡阳二联)已知函数f(x)＝|x－3|.
(1)若不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集，求实数a的取值范围；
(2)若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，判断与f的大小，并说明理由.
解 (1)因为f(x－1)＋f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1，
不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集，
则1≥a即可，
所以实数a的取值范围是(－∞，1].
(2)＞f.
证明：要证＞f，
只需证|ab－3|＞|b－3a|，
即证(ab－3)2＞(b－3a)2，
又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9).因为|a|＜1，|b|＜3，
所以(ab－3)2＞(b－3a)2成立，
所以原不等式成立.
4.(2015·陕西卷)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.
(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值.
解 (1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，
则解得
(2)＋＝＋
≤
＝2＝4，
当且仅当＝，
即t＝1时等号成立，
故(＋) ＝4.
max
5.(2015·全国Ⅱ卷)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：
(1)若ab＞cd，则＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.
证明 (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，
(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)2＞(＋)2.
因此＋＞＋.
(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2,
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
由(1)得＋＞＋.
②若＋＞＋，
则(＋)2＞(＋)2，
即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|＜|c－d|.
综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.6.已知a，b，c均为正实数.求证：
(1)(a＋b)(ab＋c2)≥4abc；
(2)若a＋b＋c＝3，则＋＋≤3.
证明 (1)要证(a＋b)(ab＋c2)≥4abc，
可证a2b＋ac2＋ab2＋bc2－4abc≥0，
需证b(a2＋c2－2ac)＋a(c2＋b2－2bc)≥0，
即证b(a－c)2＋a(c－b)2≥0，
当且仅当a＝b＝c时，取等号，
由已知，上式显然成立，
故不等式(a＋b)(ab＋c2)≥4abc成立.
(2)因为a，b，c均为正实数，由不等式的性质知
·≤＝，当且仅当a＋1＝2时，取等号，·≤＝，当且仅当b＋1＝2时，取等号，·≤
＝，当且仅当c＋1＝2时，取等号，
以上三式相加，得(＋＋)≤ ＝6，
所以＋＋≤3，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号.
