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第 31 节 抛物线
基础知识要夯实
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点 F和一条定直线l(F l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫
做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
∉
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
y2＝－ x2＝－
标准 y2＝2px(p>0) x2＝2py(p>0)
2px(p>0) 2py(p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
性
准线方
质 x＝－ x＝ y＝－ y＝
程
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方
向右 向左 向上 向下
向
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x ，y )到焦点F的距离|PF|＝x ＋，也称为抛物线的焦半
0 0 0
径.
基本技能要落实
考点一 抛物线的定义及标准方程
1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线 3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线
的标准方程为( )
A.x2＝－12y或y2＝16x B.x2＝12y或y2＝－16x
C.x2＝9y或y2＝12x D.x2＝－9y或y2＝－12x【答案】A
【解析】对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0).
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
2.若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为
( )
A. B.1
C. D.2
【答案】B
【解析】设P(x ，y )，由题可得抛物线焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
P P
又点P到焦点F的距离为2，
∴由定义知点P到准线的距离为2.
∴x ＋1＝2，∴x ＝1.
P P
代入抛物线方程得|y |＝2，
P
∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|y |＝×1×2＝1.
P
3.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.
【答案】y2＝4x
【解析】设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离
相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
【方法技巧】
1.应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准
线的距离为p.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在
方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确
定抛物线的标准方程.
考点二 抛物线的几何性质
【例2】(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于
D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A. B.
C.(1，0) D.(2，0)
(2)A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，
∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( )
A.x＝－1 B.y＝－1
C.x＝－2 D.y＝－2
【答案】(1)B (2)A
【解析】(1)将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，可得y＝±2，不妨设D(2，2)，E(2，－
2)，由OD⊥OE，可得OD·OE＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.
其焦点坐标为.故选B.
(2)过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D(图略).因为∠OFA＝120°，
所以∠BAF＝60°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛
物线的准线方程为x＝－1.故选A.
【方法技巧】
在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解
题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【跟踪训练】
1.(2022·长春质量监测)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线与该抛物线交于A，B
两点，若3|AF|＝|BF|，O为坐标原点，则＝( )
A. B.
C.4 D.
【答案】A
【解析】由题意，知F，准线l：y＝－.
作AE⊥l于点E，BG⊥l于点G，过点A作AD⊥BG于点D，交y轴于点H，设|AF|＝
x，则|BF|＝3x.由抛物线的定义，知|AE|＝|AF|＝x，|BG|＝|BF|＝3x，|AB|＝x＋3x＝4x，|BD|＝3x－x＝2x，|FH|＝p－x.由△AHF∽△ADB，得＝，即＝，解得x＝p，所以＝＝，
故选A.
考点三 与抛物线有关的最值问题
【例3】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，
则：
(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；
(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________.
【答案】(1)3 (2)－
【解析】(1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小
值为A到准线的距离为3.
(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|
＝－.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝.故|PA|
－|PF|最小值为－，最大值为.
【例4】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直
线x＝－1的距离之和的最小值为________.
【答案】
【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P
到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使
点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线
相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.
【例5】已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离
为( )
A. B.C.1 D.2
【答案】D
【解析】由题意知，抛物线的准线 l：y＝－1，过点A作AA ⊥l交l于点A ，过点B作
1 1
BB ⊥l交l于点B ，设弦AB的中点为M，过点M作MM ⊥l交l于点M ，则|MM |＝.
1 1 1 1 1
因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA |＋|BB |≥6，2|MM |
1 1 1
≥6，|MM |≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.
1
【例5】 已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别
作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
【答案】2
【解析】由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最
小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为
最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
【例6】 (2022·榆林一模)抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的
坐标是________.
【答案】
【解析】法一 设与y＝4x－5平行的直线y＝4x＋b与y＝4x2相切，将y＝4x＋b代入y
＝4x2，得4x2－4x－b＝0.①
由Δ＝16＋16b＝0得b＝－1，代入①得x＝，
∴所求点为.
法二 设该点坐标为A(x ，y )，那么有y ＝4x.设点A到直线y＝4x－5的距离为d，
0 0 0
则d＝＝|－4x＋4x －5|
0
＝|4x－4x ＋5|＝.
0
当且仅当x ＝时，d有最小值，
0
将x ＝代入y＝4x2解得y ＝1.
0 0
故A点坐标为.
【方法技巧】
1.解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准
线的距离，再结合图形解决问题.
2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值.
3.解决到点与准线的距离之和的最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.
4.解决动弦中点到坐标轴距离最短问题
将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角
形中两边之和大于第三边得出不等式求解.
5.过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有
过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最
值.
6.抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设
点利用函数思想求最值.
【跟踪训练】
1.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和
最小，则该点的坐标为( )
A. B.
C.(－2，－2) D.(－2，2)
【答案】A
【解析】如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A，P及P到
准线的垂足三点共线时，点 P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点 P的纵坐标
为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－，则点P的坐标为.故选A.
2.(2022·河南六市一模)已知点M是抛物线x2＝4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是
圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上一动点，则|MA|＋|MF|的最小值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
【答案】A
【解析】作MP垂直于抛物线的准线，垂足为P，利用抛物线的定义知|MP|＝|MF|，
当M、A、P、C四点共线时，|MA|＋|MF|的值最小，
此时CM⊥x轴，则(|MA|＋|MF|) ＝|CP|－1＝5－1＝4.
min
考点四 直线与抛物线的综合问题【例7】(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交
点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若AP＝3PB，求|AB|.
【解析】设直线l的方程为y＝x＋t，A(x ，y )，B(x ，y ).
1 1 2 2
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x ＋x ＋.
1 2
又|AF|＋|BF|＝4，所以x ＋x ＝.
1 2
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
其中Δ＝144(1－2t)>0，则x ＋x ＝－.
1 2
从而－＝，得t＝－(满足Δ>0).
所以l的方程为y＝x－.
(2)由AP＝3PB可得y ＝－3y .
1 2
由可得y2－2y＋2t＝0，其中Δ＝4－8t>0，
所以y ＋y ＝2，从而－3y ＋y ＝2，故y ＝－1，y ＝3.
1 2 2 2 2 1
代入C的方程得x ＝3，x ＝.
1 2
所以A(3，3)，B，故|AB|＝.
【方法技巧】1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般
要用到根与系数的关系.
2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，
可直接使用公式|AB|＝x ＋x ＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
1 2
3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而
不求”、“整体代入”等解法.
提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【跟踪训练】
1.(2022·汉中模拟)已知点M为直线l ：x＝－1上的动点，N(1，0)，过M作直线l 的垂
1 1
线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l ：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B
2
两点，且D为线段AB的中点，求直线l 的方程.
2
【解析】(1)由已知可得，|PN|＝|PM|，即点P到定点N的距离等于它到直线l 的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l 为准线
1 1
的抛物线，
∴曲线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x ，y )，B(x ，y )，D(x ，y )，
1 1 2 2 0 0
由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
∴x ＋x ＝，∴x ＝＝，
1 2 0
y ＝kx ＋m＝，即D，
0 0
∵直线l 与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，
2
∴|DE|2＝6，且DE⊥l ，
2
从而＋＝6，k ·k＝－1，
DE
即
整理可得＝2，即k＝±，
∴m＝0，
故直线l 的方程为x－y＝0或x＋y＝0.
2
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知抛物线 的焦点为F，倾斜角为 的直线 过点 ，若 上恰存在3个不
同的点到 的距离为 ，则 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，抛物线 的焦点为 ，
因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 ，
设直线 与抛物线 相切，
联立方程组 ，可得 ，
则 ，解得 ，且 ，故两平行线间的距离 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ，则准线方程为 .故选：B.
2．抛物线 的焦点为F，A，B是抛物线上两点，且 ，且 中点到准线的距离
为3，则线段 的中点到准线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】抛物线方程为 ，则 ，
由于 中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知 ，
即 ，
所以线段 的中点到准线的距离为 .故选：D
3．已知抛物线 ( )的焦点为 ， 、 是抛物线上的两个点，若 是边长为 的
正三角形，则 的值是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意及图形可得 ，
设 、 ( )，
由题意可得 ，以及 ，
所以 ，则 ，又 ，
所以 ， ， ，
所以 ，解得 ，故选：C.
a.对于焦点在 轴上的抛物线的标准方程可统一设为 的正负由题设来定；
b.焦点在 轴上的抛物线的标准方程可设为 ，这样就减少了不必要的讨论．
4．已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若
，O为坐标原点，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线 的准线方程为 ，设 ， ，由抛物线的定义可知，
，由抛物线的对称性，不妨令 ，设直线 的方程为 ，由 得 ， ，∴ ，四边形 的面积
，故选：A．
5．若点 ， 在抛物线 上， 是坐标原点，若等边三角形 的面积为 ，则
该抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设等边三角形 的边长为 ，则 ，解得 ．
根据抛物线的对称性可知 ，且 ，
设点 在 轴上方，则点 的坐标为 ，即 ，
将 代入抛物线方程得 ，
解得 ，故抛物线方程为 ．故选：A
6．已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，直线 与抛物线
的准线 交于点 ，若 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，直线 .联立抛物线得： ，则 .
由直线 与抛物线准线 交于 ，则 .
由 得： ，即 ，则 .
∴ ， ， ，故选：A.
7．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则
p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .故
选：C.
8．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上的两点 ， 均在第一象限，且
， ， ，则直线 的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：作 垂直准线于 ， 垂直准线于 ，作 于 ，
因为 ， ， ，
由抛物线的定义可知： ， ， ，所以 ，
直线 的斜率为： .故选：C.9．抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).故选：B.
10．直线 交抛物线 于 、 两点， 为抛物线的顶点， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点 、 ，联立 ，可得 ，
，可得 ，由韦达定理可得 ，由题意可知 ，
因为 ，则 ，解得 .故选：A.
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，直线 与抛物线 交于 ，
两点，若 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【解析】由题意，抛物线 的焦点为 ，
因为 ，可得 ,
如图所示，过点 作 直线 于点 ，则 ，
所以在直角 中， ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，整理得 ，解得 或 ，
由抛物线的定义可知 .故选：B.
12．已知抛物线 ， 为其焦点，抛物线上两点 、 满足 ，则线段 的中点到 轴的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线 的焦点 ,准线方程 ，
设 ， ，解得 ，
∴线段 的中点横坐标为 ，∴线段 的中点到 轴的距离为 ，故选：B.
二、填空题
13．已知抛物线 的焦点为 ，过点 作 轴的垂线交抛物线 于点A，
且满足 ，设直线 交抛物线 于另一点 ，则点 的纵坐标为________．
【答案】
【解析】由题意可知，因为 ，所以点 在准线上，
又因为准线方程为 ，所以 ，即 ，
所以抛物线 的方程为 ，
因为点 坐标为 ，所以 ，故直线 方程为 ，
联立 得 ，
解得 （舍）或 ，故点 纵坐标为 ．故答案为：14．已知曲线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线C ： （a＞b＞0）的右焦点重合，曲
2
线Q与曲线C 交于A，B两点，曲线C ：y2＝﹣2px（p＞0）与曲线C 交于C，D两点，若四边形
2 3 2
ABCD的面积为2p2，则曲线C 的离心率为____．
2
【答案】1+
【解析】曲线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（ ，0），F与曲线C ： （a＞b＞0）的右
2
焦点重合，可设c＝ ，①，
由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），
四边形ABCD的面积为2p2，可得4mn＝2p2，即2mn＝p2，②
且n2＝2pm，③，
由①②③可得m＝c，n＝2c，代入双曲线的方程可得 ﹣ ＝1，
由e＝ 及b2＝c2﹣a2，可得e2﹣ ＝1，化为e4﹣6e2+1＝0，解得e2＝3+2 ，可得e＝1+ ．
故答案为：1+ ．
15．斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得 所以解法二： 设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
16．抛物线 （ ）上点 到其准线 的距离为1，则a的值为_________．
【答案】
【解析】抛物线 即 ，
可得准线方程 ，
抛物线 上点 到其准线 的距离为1，
可得 ，可得 .故答案为：
三、解答题
17．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1
分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【解析】 (Ⅰ)将点 代入抛物线方程： 可得： ，
故抛物线方程为： ，其准线方程为： .
(Ⅱ)很明显直线 的斜率存在，焦点坐标为 ，
设直线方程为 ，与抛物线方程 联立可得： .
故： .
设 ，则 ，
直线 的方程为 ，与 联立可得： ，同理可得 ，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为： ，圆的半径为： ，
且： ， ，
则圆的方程为： ，
令 整理可得： ，解得： ，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点 .
18．在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的
轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交
曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．
【解析】（1）如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线 于点 ，设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质可得
，
所以 ，又 ，
所以 ，
由抛物线的定义知，点 是以 为焦点，以直线 为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为： ；
（2）由 可得A在求出C上，
当直线l的斜率存在时，设 ， ，则 ，
AM的中点 ，即 ，在方程 中，令 ，得 ，
所以 ，
设 ，由中点坐标公式可得 ，
又 ，代入化简 ，
所以 ，
直线MN的斜率为： ，
所以直线MN的方程为： ①，
将 代入①化简可得： ②，
将 代入②式整理可得 ，
，
所以直线MN与抛物线相切，
所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．
当直线MN的斜率不存在时， ， ， ， ，
直线MN的方程为： 代入抛物线的方程可得 ， ，
所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．
综上所述，除M点外直线MN与C没有其他的公共点．
19．已知过点 的抛物线方程为 ，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 ，两点，且 .
（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；
（2）求 所在的直线方程.
【解析】 (1)因点 在抛物线方程 上，则 ，
所以抛物线的方程为 ，焦点 ，准线方程为： ；
(2)显然，直线 不垂直y轴，设直线 方程为： ，
由 消去x得： ，设 ，则 ，
于是得 ，解得 ，即直线
AB： ，所以 所在的直线方程： 或 .
20．在直角坐标系xOy中，已知点 ， ，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：
．
(1)求点D的轨迹C的方程；
(2)设过点 的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线 于点M，N，是
否存在常数入，使 ，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【解析】 (1)设 ，而点 ， ，则 ， ，
又 ，于是得 ，化简整理得： ，
所以点D的轨迹C的方程是： .
(2)存在常数 ，使 ，
如图，依题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l： ， ， ，
由 消去y得： ，则 ， ，
，
则 ，
直线OP： ，取 ，得点M横坐标 ，同理得点N的横坐标 ，
则
，
因此有 ，
于是得 ，
所以存在常数 ，使 .
21．已知抛物线 ，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）过 的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线 于点E，直线BF交直线
于点D，是否存在这样的直线l，使得 ？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线
l的方程．
【解析】（1）因为横坐标为 的点到焦点的距离为 ,所以 ,解得 , 所以 ，即准
线方程为 .
（2）显然直线 的斜率存在,设直线 的方程为 , .
联立得 ，消去 得 .
由 ,解得 . 所以 且 .
由韦达定理得 , .
直线 的方程为 ,
又 ,所以 ,所以 ,
因为 ,所以直线 与直线 的斜率相等
又 ,所以 .
整理得 ,即 ,
化简得 , ,即 .
所以 ,整理得 ,
解得 . 经检验, 符合题意.
所以存在这样的直线 ,直线 的方程为 或 ．22．如图，已知点 为抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线于 两点，点
在抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 右侧.记
的面积为 .
（1）求 的值及抛物线的准线方程；
（2）求 的最小值及此时点 的坐标.
【解析】 (1)由题意可得 ，则 ，抛物线方程为 ，准线方程为 .
(2)设 ，
设直线AB的方程为 ，与抛物线方程 联立可得：
，故： ，
，
设点C的坐标为 ，由重心坐标公式可得：
， ，
令 可得： ，则 .即 ，由斜率公式可得： ，
直线AC的方程为： ，
令 可得： ，
故 ，
且 ，
由于 ，代入上式可得： ，
由 可得 ，则 ，
则
.
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
此时 ， ，则点G的坐标为 .
