第40讲数列的概念与简单表示（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 40 讲 数列的概念与简单表示 1. 数列的概念 (1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．数列可以看做是定义 域为N*或其非空子集的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，其图像是一 群孤立的点． 注：数列是特殊的函数，应注意其定义域，不要和函数的定义域混淆． (2)数列的一般形式可以写成a，a，a，…，a，…，简记为{a}，其中a 称为数列{a}的第1项(或称 1 2 3 n n 1 n 为首项)，a 称为第2项，…，a 称为第n项． 2 n 2. 数列的分类 (1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． (2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起， 每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列． 3. 数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列 的通项公式． 注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一． 4. 数列的表示方法 数列可以用通项公式来描述，也可以通过图像或列表来表示． 1、下列可作为数列1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是 ( ) A. a＝ n B. a＝ n C. a＝2－sin n D. a＝2－cos [(n－1)π] n 【答案】 B 【解析】 当n＝2时，A中a ＝0，D中a ＝3，故排除A，D；当n＝3时，C中a ＝3，故排除C；在B 2 2 3 中，当n为奇数时，a＝1；当n为偶数时，a＝2.故B符合． n n 2.、已知数列的通项公式为a＝n2－8n＋15，则3是数列{a}中的( ) n n A. 第2项 B. 第6项 C. 第2项或第6项 D. 第3项 【答案】 C 【解析】 令a＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或n＝6，故3是数列{a}中的第2项或第6项． n n 3、在数列{a}中，a＝1，a＝1＋(n≥2)，则a＝________． n 1 n 5 【答案】 【解析】 由题意，知a＝1，a＝2，a＝，a＝，a＝. 1 2 3 4 5 4、 (2022·南京三模)写出一个同时具有下列性质①②③的数列{a}的通项公式：a＝________． n n①数列{a}是无穷等比数列； n ②数列{a}不单调； n ③数列{|a|}单调递减． n 【答案】 a＝(答案不唯一) n 【解析】 由题意可得，a＝满足①数列{a}是无穷等比数列；②数列{a}不单调；③数列{|a|}单调递减． n n n n 5. 若数列{a}的前n项和S ＝n2－10n(n＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为a ＝________；数列{na} n n n n 中最小的项是第________项． 【答案】 2n－11 3 【解析】 因为当n≥2时，a＝S－S ＝(n2－10n)－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11；当n＝1时，a＝S＝－ n n n－1 1 1 9也满足a ＝2n－11，所以a ＝2n－11，所以na ＝2n2－11n＝2－.又因为n∈N*，所以当n＝3时，na 取得 n n n n 最小值． 考向一 已知数列的前几项求通项 例1 根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1) 4，6，8，10，…； (2) ，，，，，…； (3) ，，－，，－，，…； (4) 9，99，999，9 999，…. 【解析】 (1) 因为各数都是偶数，且最小为4， 所以a＝2(n＋1)(n∈N*). n (2) 注意到分母分别是21，22，23，24，25，…，而分子比分母少1，所以a＝(n∈N*). n (3) 分母规律明显，而第2，3，4项的绝对值的分子比分母少3，因此可考虑将第1项变为－， 这样原数列可化为－，，－，，－，，…， 所以a＝(－1)n·(n∈N*). n (4) 原数列可化为101－1，102－1，103－1，104－1，…， 所以a＝10n－1(n∈N* n 变式、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1) 1，－，，－，…； (2) 2,0,2,0，…. 【解答】（1） 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一 个通项公式为a＝. n （2） 这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为a＝ n (－1)n＋1＋1. 方法总结：已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1) 负号用(－1)n与(－1)n＋1或(－1)n－1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．(2) 公式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系． (3) 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决． 考向二 由 an 与 Sn 的关系求通项 an 例2 (1) 已知数列{a}的前n项和为S＝3n－1，求它的通项公式a； n n n (2) 已知数列{a}的前n项和为S＝n2－n，求它的通项公式a. n n n 【解析】 (1) 当n≥2时，a＝S－S ＝3n－1－(3n-1－1)＝2·3n-1； n n n－1 当n＝1时，a＝S＝2也满足a＝2·3n-1. 1 1 n 故数列{a}的通项公式为a＝2·3n-1. n n (2) 因为a＝S＝12－1＝0； 1 1 当n≥2时，a＝S－S ＝(n2－n)－[(n－1)2－(n－1)]＝2n－2， n n n－1 当n＝1时，也满足上式， 所以数列{a}的通项公式为a＝2n－2. n n 变式1、(1) 已知数列{a}的前n项和为S＝3n＋1，求它的通项公式a； n n n (2) 已知数列{a}的前n项和为S＝n2－n＋1，求它的通项公式a. n n n 【解析】 (1) 当n≥2时，a＝S－S ＝3n＋1－(3n-1＋1)＝2·3n-1； n n n－1 当n＝1时，a＝S＝4不满足a＝2·3n-1， 1 1 n 故数列{a}的通项公式为a＝ n n (2) 当n≥2时，a＝S－S ＝(n2－n＋1)－[(n－1)2－(n－1)＋1]＝2n－2； n n n－1 当n＝1时，a＝S＝12－1＋1＝1不满足a＝2n－2， 1 1 n 故数列{a}的通项公式为a＝ n n 变式2、已知数列{a}的前n项和S，求通项a． n n n (1) S＝3n－1； n (2) S ＝n2＋3n＋1． n 【解析】：(1) n＝1时，a＝S＝2． 1 1 n≥2时，a＝S－S ＝2·3n－1． n n n－1 当n＝1时，a＝1符合上式． n ∴ a＝2·3n－1． n n＝1时，a＝S＝5． 1 1 n≥2时，a＝S－S ＝2n＋2． n n n－1 当n＝1时a＝5不符合上式． 1 ∴ a＝ n 方法总结：由数列{a }的前n项和S ，求通项a 的问题，要分成两段：a ＝不要遗漏n＝1的情形．因题(2) n n n n 含字母b，首项是否满足，还需要对b进行分类讨论．本题侧重考查分类讨论的数学思想． 方法总结：一般地，对于形如an＋1＝an＋f(n)类的通项公式，只要f(1)＋f(2)＋…＋f(n)能进行求和，则宜 采用叠加法求解；对于形如an＋1＝f(n)·an类的通项公式，当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用累乘法求解；对于形如an＋1＝can＋d的递推数列求通项公式，可通过适当换元，转换成等比数列或等差数列 求解 1、数列{a}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项可能是( ) n A．a＝ B．a＝ n n C．a＝ D．a＝ n n 【答案】A 【解析】数列为，，，，，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为a＝. n 2、在数列{a}中，a＝1，a＝1＋(n≥2)，则a 等于( ) n 1 n 5 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】a＝1＋＝2，a＝1＋＝，a＝1＋＝3，a＝1＋＝. 2 3 4 5 3、（多选题）（2021·山东济南市·高三一模）1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图，取一个边 1 1 长为1的正三角形，在每个边上以中间的3为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的3 2 3 擦掉，得到第 个图形，重复上面的步骤，得到第 个图形.这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为 科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究， 这门学科叫“分形几何学”.下列说法正确的是（ ） 1 A．第4个图形的边长为81 n a a 4a B．记第 个图形的边数为 n，则 n1 nn1 4 b 3 C．记第 n 个图形的周长为b ，则 n  3   n n S nN M S M D．记第 个图形的面积为 n，则对任意的 ，存在正实数 ，使得 n 【答案】BCD 【解析】 1 q 由题意，各个图形的边长成首项为1，且 3的等比数列， 1 n1 1 3 1 可得可设边长为 c n   3   ，则 C 4   3    27 ，所以A错误； q 4 a 34n1 由各个图形的边数也成等比数列且 ，所以 n ，所以B正确； n1 4 b a c 3 由第 n 个图形的周长为b ，可得周长为 n n n  3   ，所以C正确； n S S M n 当 时，图形无限接近于圆，可得 n 圆 ，所以D正确. 故选: BCD. 4、(1)已知数列{a}的前n项和S＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则a＝________. n n n (2)已知数列{a}的前n项和S＝a＋，则{a}的通项公式a＝________. n n n n n (3)已知数列{a}满足a＋2a＋3a＋…＋na＝2n，则a＝________. n 1 2 3 n n 【答案】 (1) (2)n－1 (3) 【解析】 (1)当n≥2时，a＝S－S ＝2n＋1；当n＝1时，a＝S＝4≠2×1＋1.因此a＝ n n n－1 1 1 n (2)当n＝1时，a ＝S ＝a ＋，所以a ＝1.当n≥2时，a ＝S －S ＝a －a ，所以＝－，所以数列 1 1 1 1 n n n－1 n n－1 {a}为首项a＝1，公比q＝－的等比数列，故a＝n－1. n 1 n (3)当n＝1时，由已知，可得a＝21＝2. 1 ∵a＋2a＋3a＋…＋na＝2n.① 1 2 3 n 故a＋2a＋3a－…＋(n－1)a ＝2n－1(n≥2)，② 1 2 3 n－1 由①－②得na＝2n－2n－1＝2n－1.∴a＝. n n 显然当n＝1时不满足上式． ∴a＝ n