文档内容
§10.5 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
考试要求 1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，
会利用全概率公式计算概率．
知识梳理
1．相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ 成立，则称事件A与事件B相互
独立，简称为独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与 ，与 ，与也都相互独立．
2．条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝ 为在事件
A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝ ；
②概率的乘法公式：P(AB)＝ ．
3．全概率公式
一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)>0，i＝
1 2 n 1 2 n i
1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ ．
常用结论
1．如果事件A ，A ，…，A 相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生
1 2 n
的概率的积，即P(AA…A)＝P(A)P(A)…P(A)．
1 2 n 1 2 n
2．贝叶斯公式：设 A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且
1 2 n 1 2 n
P(A)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(A|B)＝＝，i＝1,2，…，n.
i i
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( )
(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( )
(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第2枚正面朝上”为事件
B，则A，B相互独立．( )
(4)若事件A 与A 是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，都有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|
1 2 1 1 2
A)．
2
( )
教材改编题1．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的
概率为( )
A. B. C. D．1
2．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在
第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是( )
A. B. C. D.
3．智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂 A，人工食堂B，居民甲第一天随机地
选择一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.6；如果第一天去
B 食堂，那么第二天去 A 食堂的概率为 0.5，则居民甲第二天去 A 食堂用餐的概率为
________．
题型一 相互独立事件的概率
例1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随
机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二
次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两
次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
(2)(2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每
球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙进行单打比赛，假设甲发球
时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方
10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为 ________；若乙先
发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为 ________.
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思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
跟踪训练1 小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概
率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；
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(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率．
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题型二 条件概率
例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》
记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民
间逐步演变为拼图版玩具．到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等
腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一
块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等 1 600种以上图案．现从七巧板
中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为( )
A. B. C. D.
(2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进
行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性
饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒 4.8两未诱
发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为( )
A. B. C. D.
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思维升华 求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝.
(2)样本点法：P(B|A)＝.
(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
跟踪训练2 (1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽
取一道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为
( )
A. B. C. D.
(2)某射击运动员每次击中目标的概率为，现连续射击两次．
①已知第一次击中，则第二次击中的概率是________；
②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是________．
题型三 全概率公式的应用
例3 (1)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是 0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为
0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为( )
A. B. C. D.
(2)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或
1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和
0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等
可能的，则接收的信号为1的概率为( )
A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.51
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思维升华 利用全概率公式解题的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A(i＝1,2，…，n)．
i
(2)求P(A)和所求事件B在各个互斥事件A发生条件下的概率P(A)P(B|A)．
i i i i
(3)代入全概率公式计算．
跟踪训练3 (1)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达
目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为( )
A．0.78 B．0.8 C．0.82 D．0.84
(2)(2022·郑州模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮
政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”等．小王有3张
“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”和“雪容
融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A，A，A 表示小王取出的是
1 2 3
“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的
邮票是“冰墩墩”的事件，则P(B|A)＝________，P(B)＝________.
2
