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专题28.2 模型构建专题：巧构直角三角形解决有关问题之二大类型
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【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】.............................................................1
【类型二 不含特殊角的非直角三角形】......................................................................................................14
【典型例题】
【类型一 含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】
例题：（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一
次航拍时，数据显示，从无人机 看建筑物顶部 的仰角为 ，看底部 的俯角为 ，无人机 到该建
筑物 的水平距离 为 米，求该建筑物 的高度．（结果保留根号）【答案】 米．
【分析】此题考查了解直角三角形，先说明 是等腰直角三角形，用等腰三角形的性质求出 ，再
在 中用直角三角形的边角间关系求出 ，最后利用线段的和差关系求出建筑物的高度，掌握直
角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键．
【详解】由题意可知， ， ， ，
∴
∴ ，
∴ 米，
在 中， ，
∴ ，
∴ （米），
∴ 米．
【变式训练】
1．（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 ，
飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为 和 ．若飞机离地面的高度 为1600米，且
点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度 为 米（结果保留根号）．
【答案】
【分析】由题意易得 ，然后根据 米及三角函数可求
解．
【详解】解：由题意可得： ，
∵ ，∴ ，
∵ 米
∴ （米），
（米），
∴ 米．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
2．（2022上·黑龙江大庆·九年级校考期中）如图，某广告牌竖直矗立在水平地面上，经测量，得到如下相
关数据： 则广告牌的高 ．（结果保留
根号）
【答案】 /
【分析】延长 交 于点G，得到矩形 ，根据正切函数的定义，列出方程，计算 即可．
【详解】延长 交 于点G，则矩形 ，
∴ ，
设 ，
∵ ，∴ , ，
解得 ，
故
故答案为： ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．（2023·陕西咸阳·校考一模）我国历史悠久，有许多伟大建筑，其中西安城墙是中国现存规模最大、保
存最完整的古代城垣．某数学兴趣小组想测量西安城墙上某建筑到地面的高度，该小组在城墙外的D处安
置测角仪 ，测得该建筑顶端A的仰角为 ．从D处后退 到达F处，安置测角仪 ，测得该建筑
顶端A的仰角为 （点B，D，F在同一直线上），测角仪支架高 ，且 ，
， ，求该建筑顶端A到地面的高度 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】连接 并延长交 于点G，因 为等腰直角三角形，设 ，则 ，然
后在含 角的直角三角形 中，利用 角正切关系可得出x的一元一次方程，解得x的值，则
，即可求解．
【详解】解：连接 并延长交 于点G．
由题意可得四边形 和四边形 均为矩形，
， ， ．设 ，在 中， ，
，
．
在 中， ，
，
(或 )，
该建筑顶端A到地面的高度 为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的性质、特殊角的正切值，解题的关键是正确画出图形．
4．（2023下·四川内江·九年级统考阶段练习）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智
求真”的宣传牌 ，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为 ，沿山坡向上走到B处测得
宣传牌顶部C的仰角为 ．已知山坡AB的坡度 ， 米， 米，求 ．
【答案】 米
【分析】过点B作 于G，过B作 于F，设 米，由 可得 ，进而
可得 米， 米，由又 可得 （米），在 中，利用正切
值即可求解．【详解】解：过点B作 于G，过B作 于F，如图所示：
在 中， ，
，
（米）， （米），
设 米，
则： （米），
在 中， ，
（米），
（米），
，
在 中， ， ，
，即： ，
解得： ，
（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值，借助适当的辅助线解决问题是
解题的关键．
5．（2023下·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图，某巡逻艇在某次巡逻任务中计划以20海里/小时的速度从 岛处向正东方向的 岛处航行，出发1.5小时到达 处时，突然接到 岛处的求救信号，于是巡
逻艇立即以30海里/小时的速度向北偏东 方向的 岛处航行，到达 岛处后测得 岛处位于 岛处的
南偏西 方向，解救后巡逻艇又沿南偏东 方向航行到 岛处．
(1)求巡逻艇从 岛处到 岛处所用的时间．
(2)求巡逻艇实际比原计划多航行了多少海里．（结果精确到1海里）
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)1小时
(2)26海里
【分析】（1）过点 作 于 ，先求出 ，根据等腰三角形的判定可得
海里，由此即可得；
（2）过点 作 于 ，在 先中，解直角三角形可得 的长，再在 中，
解直角三角形可得 的长，然后计算 即可得．
【详解】（1）解：如图，过点 作 于 ，
由题意得： ， ， （海里），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 海里，
∴ （小时），答：巡逻艇从 岛处到 岛所用的时间为1小时．
（2）解：如图，过点 作 于 ，
由（1）可知，在 中， 海里， ，
∴ （海里），
（海里），
由题意得： ，
在 中， ，
∴ 海里， （海里），
∴ （海里），
答：巡逻艇实际比原计划多航行了26海里．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、解直角三角形等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关
键．
6．（2023下·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，某人利用无人
机测量大楼的高度，无人机在空中C处测得楼 楼顶D处的俯角为 ，测得楼EF楼顶E处的俯角为
．已知楼 和楼 之间的距离HF为90米，楼 的高度为12米，从楼 的E处测得楼 的D
处的仰角为30°， ．（点A、B、C、D、E、F、H在同一平面内）．（参考数据： ）
(1)求楼 的高度；(2)求此时无人机距离地面 的高度．
【答案】(1) 米
(2)57米
【分析】（1）过点E作 于点G，则四边形 是矩形，由题意可得 米，
米，在 中，利用 求出 ，结合 可得出答案．
（2）作 于点N，交 于点M，先证明 ，在 中求出 的长，在 中
求出 的长，再根据 可得出答案．
【详解】（1）如图，过点E作 于点G，则四边形 是矩形，
则 米， 米．
在 中， ， ，
∴
∴
．
∴
答：楼 高度为 米；
（2）如图，作 于点N，交 于点M，则 米．∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴无人机距离地面 的高度为57米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
7．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，三角形花园 紧邻湖泊，四边形 是沿湖泊修建的人行步道，
经测量，点C在点A的正东方向， 米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，
米，点B在点A的北偏东 ，点D在点E的北偏东 ．(1)求步道 的长度（精确到个位）；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点
D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据： ， ）
【答案】(1)141米
(2)经过点B到达点D较近，理由见解析
【分析】（1）过D作 ，交 的延长线于F，易证四边形 是矩形，因此 ，
在 中，由于 ，通过解直角三角形可得 ，代入即可求解步道 的长度；
（2）在 中，解直角三角形 ，在 中，根据 ，
可得 ， ，因此经过点B到达点D路程为
（米），另外 ， ，因
此经过点E到达点D路程为 米，由此比较可得到他走哪一条路较近．
【详解】（1）过D作 ，交 的延长线于F，如图：∴ ，
由题意可知： ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ （米）；
∴步道 的长度约为141米．
（2）在 中， ，
∴ ，
∵点B在点A的北偏东 ，即 ，
∵ ，
∴ ．
∵在 中， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴经过点B到达点D路程为 （米），
∵ ，
∴ ，
∴ 米，∴经过点E到达点D路程为 米，
∵ ，
∴经过点B到达点D较近．
【点睛】本题考查通过勾股定理，锐角三角函数解直角三角形，读懂题意，从实际问题从抽象出几何问题，
熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
8．（2023·海南·统考中考真题）如图，一艘轮船在 处测得灯塔 位于 的北偏东 方向上，轮船沿着
正北方向航行20海里到达 处，测得灯塔 位于 的北偏东 方向上，测得港口 位于 的北偏东
方向上．已知港口 在灯塔 的正北方向上．
(1)填空： 度， 度；
(2)求灯塔 到轮船航线 的距离（结果保留根号）；
(3)求港口 与灯塔 的距离（结果保留根号）．
【答案】(1)30，45
(2)灯塔 到轮船航线 的距离为 海里
(3)港口 与灯塔 的距离为 海里
【分析】（1）作 交 于 ，作 交 于 ，由三角形外角的定义与性质可得
，再由平行线的性质可得 ，即可得解；
（2）作 交 于 ，作 交 于 ，由（1）可得： ，从而得到
海里，再由 进行计算即可；（3）作 交 于 ，作 交 于 ，证明四边形 是矩形，得到
海里， ，由 计算出 的长度，证明 是等腰直角三角形，得到
海里，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，作 交 于 ，作 交 于 ，
，
，
，
都是正北方向，
，
，
，
故答案为：30，45；
（2）解：如图，作 交 于 ，作 交 于 ，
，由（1）可得： ，
海里，
在 中， ， 海里，
海里；
灯塔 到轮船航线 的距离为 海里；
（3）解：如图，作 交 于 ，作 交 于 ，
，
， ， 、 都是正北方向，
四边形 是矩形，
海里， ，
在 中， ， 海里，
海里，
在 中， ，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
港口 与灯塔 的距离为 海里．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
【类型二 不含特殊角的非直角三角形】
例题：（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在每个边长均为1的正方形网格中，点A、B、C均在网
格的交点上，则 ．
【答案】1
【分析】取格点D，连接 ，根据勾股定理的逆定理得到 是直角三角形，根据 ，得到
．
【详解】解：如图所示，取格点D，连接 ，
∵ ， ， ，
，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ．
故答案：1．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数等， 添加辅助线，熟练掌握勾股定理解直角
三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定义，是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023·广东汕头·校考三模）由边长为1的小正方形构成的网格图形中， 的顶点A、B、C都在格
点上，则 ．【答案】
【分析】先根据勾股定理求出 ， ， ，可知 ，再过点B作 ，然后根据勾股定理
求出 ，即可得出答案．
【详解】根据勾股定理，得 ， ， ，
∴ ．
过点B作 ，交 于点D，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等，构造直角三角形是解题的关键．
2．（2023上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在 的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的
顶点上，AB、CD相交于点P，则 的值是 ．
【答案】3【分析】连接 ，先说明 ，然后利用相似三角形的性质得到 ，然后得到
，进而利用勾股定理的逆定理证明出 ，然后利用直角三角形的边角间的关系求解即可．
【详解】连接 ，
∵
∴
∴
∴ ，即
∵ ，
∴
∴
∴在 中， ．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是
熟练掌握以上知识点．
3．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图， 是 的中线，
求：
(1) 的长；(2) 的正弦值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：
（1）作 于 ．在 中，求出 ，在 中，求出 即可解决问题；
（2）在 中，求出 ， 即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，作 于 ．
在 中， ， ，
， ，
在 中， ，
，
．
（2） ，
， ， ，
在 中， ．
的正弦值为 ．
4．（2019上·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知：如图，在 中，
，D是边 上一点，且 ．(1)试求 的值；
(2)试求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作 于E，得 ，于是 ；
（2）作 于 ，则 ，设 ，则 ，可求 ，于是
，可得 ，从而 ，求得 ，
．
【详解】（1）解：作 于E，如图，
∵ ，
∴ ，
在 中， ；
（2）作 于 ，如图，
在 中， ，
设 ，则 ，在 中， ，
∴ ，
在 中 ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查锐角三角函数、解直角三角形，等腰三角形性质；灵活运用解直角三角形求解线段是解
题的关键．
5．（2022·湖南·统考中考真题）阅读下列材料：
在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ．
证明：如图1，过点 作 于点 ，则：
在 中， CD=asinB
在 中，
根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需
美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：
，
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
【详解】（1）证明：如图2，过点 作 于点 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
；
（2）解：如图3，过点 作 于点 ，
， ，
，
在 中，
又 ，即 ，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问
题的前提．
