文档内容
2025年新高考数学一轮复习收官卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合 ， ，若 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可知 ，
当 时， ，解得： 或 ，即 .
故选：B
2．若复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，其对应的坐标为 ，
故选：C.
3．已知平面向量 满足 ，若 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设 ，而 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：B4．已知 的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（ ）
A．-1 B．1 C．64 D．
【答案】B
【解析】由题意 ，注意到 是正整数，所以解得 ，
则展开式所有项系数和是 .
故选：B.
5．已知函数 ，对于 有四个结论：① 为偶函数；② 的最小正周期是π：
③ 在 上单调递增；④ 的最小值为 ．则四个结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
【答案】D
【解析】对于①，因为 ，
所以 ，故①正确；
对于②， ，
所以 不是 的周期，故②错误；
对于③，当 时， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以由正弦函数的单调性可得 在 上不是单调的，
故③错误；
对于④，由于 ，
所以 是 的一个周期，
又 时， ，则 ，
又 ，所以 ， ；
当 时， ，则 ，又 ，所以 ， ；
综上可得 ，所以 的最小值为 ，故④正确；
故选：D.
6．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可
将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为 ，则正八面体外接球的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图正八面体，连接 和 交于点 ，
因为 ， ，
所以 ， ，又 和 为平面 内相交直线，
所以 平面 ，所以 为正八面体的中心，
√3
设正八面体的外接球的半径为 ，因为正八面体的表面积为8× AB2=12√3，所以正八面体的棱长为
4
，
所以EB=EC=BC=√6,OB=OC=√3,EO=√EB2−OB2=√3，
4 4
则R=√3,V = πR3= π×3√3=4√3π．
3 3
故选：B．7．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为对数的定义域，得 或 ，
又因为 ,所以 ,
因为 ，所以可得 ,
因为 ，可得 ,
所以 .
故选：B.
8．已知过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线交 于 两点， 是 的中点，点
是 上一点，若点 的纵坐标为1，直线 ，则 到 的准线的距离与 到 的距离之和
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得 的焦点为 ，设倾斜角为 的直线 的方程为 ，
与 的方程 联立得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，故 的方程为 .
1 1 2 2
由抛物线定义可知点 到准线的距离等于点 到焦点 的距离，联立抛物线 与直线 ，化简得 ，
由 得 与 相离.
分别是过点 向准线、直线 以及过点 向直线 引垂线的垂足，连接
，
所以点 到 的准线的距离与点 到直线 的距离之和 ,等号成立当且仅
当点 为线段 与抛物线的交点，
所以 到 的准线的距离与 到 的距离之和的最小值为点 到直线 0的距离，即
.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立 两个小组在原产品的基础上进行不同
方向的研发， 组偏向于智能自动化方向， 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽
取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得 组性能得分为： ， 组性能得分为：
，则（ ）
A． 组性能得分的平均数比 组性能得分的平均数高
B． 组性能得分的中位数比 组性能得分的中位数小
C． 组性能得分的极差比 组性能得分的极差大
D． 组性能得分的第75百分位数比 组性能得分的平均数大
【答案】AD
【解析】由题意可得 组性能得分的平均数为 ，
组性能得分的平均数为 ，
所以 组性能得分的平均数比 组性能得分的平均数高，A说法正确；
组性能得分 的中位数为 ，
组性能得分 的中位数为 ，
所以 组性能得分的中位数比 组性能得分的中位数大，B说法错误；
组性能得分的极差为 ， 组性能得分的极差为 ，
所以 组性能得分的极差比 组性能得分的极差小，C说法错误；
组性能得分 共 个数据， ，所以 组性能得分的第75百分位数为 ，比 组性能得分的平均数大，D说法正确；
故选：AD
10．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰
的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一
个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八
字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线 是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的图象关于 对称
B．曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过3
C．曲线 经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）
D．若直线 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为
【答案】BD
【解析】对于A项，把 代入 得 ，
显然点 不满足双纽线方程，
所以曲线 的图象不关于 对称，故A项错误；
对于B项，由 可得 ，
所以曲线 上任意一点到坐标原点 的距离 ，即都不超过3，故B项正确：
对于C项，令 解得 或 ，即曲线经过 ， ， ，
由题意可知， ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
因此曲线 只能经过3个整点 ， ， ，故C项错误；
对于D项，直线 与曲线 一定有公共点 ，
若直线 与曲线 只有一个交点，
所以 ，整理得 ，只有一个解 ，
即 ，解得 ，故D项正确．
故选：BD.
11．对于任意实数 ，定义运算“ ” ，则满足条件 的实数 的值
可能为（ ）
A． ， ，B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
【答案】BD
【解析】由 ，可得 ，即 ，
若 ，可得 ，符合题意，
若 ，可得 ，不符合题意，
若 ，可得 ，不符合题意，
若 ，可得 ，不符合题意，
综上所述 ， ，可得 ，
故只需判断四个选项中的 是否为最大值即可．
对于A，B，由题知 ，而 ，
，所以 ．
（点拨：函数 为减函数， 为减函数），
对于A， ；对于B， ，故A错误，B正确．
对于C，D，
（将0.9转化为 ，方便构造函数）构造函数 ，
则 ，因为 ，所以 单调递减，因为 ，所以 ，
即 ，所以 ．（若找选项中的最大值，下面只需判断 与 的大小即可）
，
构造函数 ，则 ，
因为 ，所以 ，令 ，则 ，
当 时， 单调递减，因为 ，
所以 ，即 单调递减，又 ，所以 ，即 ，所以 ．
综上， ．对于C， ；对于D， ，故C错误，D正确．
（提醒：本题要比较0.09与 的大小关系的话可以利用作差法判断，
即 ，
构造函数 ，
则 ，
因为 ，所以 单调递增，因为 ，所以 ，
即 ，所以 ）
故选：BD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为 ．
【答案】 .
【解析】因为函数 的定义域是[2,4]，
所以 ，故 ，
因为 有意义，
所以 ，所以 ，
所以函数 的定义域为(2,3).
故答案为：(2,3).
13．已知 ， 且 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 ，即 时取得等号，
所以 有最小值为3，
因为 恒成立，所以 ，即 ，
解得 ，
故答案为: .
14．已知函数 有3个极值点 ， ， （ ），则 的取值范围是 ；
若存在 ，使得 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为函数 ，
所以，当 时， ， ，令 得 ，
所以，当 时， ， ，令 得
所以，令 ，则
所以，当 时 ， 时， ， 时， ，
所以，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
因为函数 有3个极值点 ， ， （ ），
所以，函数 与 有三个交点，
因为，当 时g(x)>0，当 时g(x)>0， ，
作出函数 与 图象如图，由图可知，函数 与 有三个交点，则满足 且 ，
所以，当存在 ，使得 ，只需满足 ，
所以， 的取值范围即为 的取值范围.
令 ，则 ，
因为 ， 为函数 的极值点，
所以 ， ，即 ， ，
所以， ，
所以 ，即 ，
所以， ，故令 ，
所以， ，
令 ，则 ，
所以，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以， ，即 ，
所以， ，即函数 在 时单调递减，
所以， ，即 的取值范围为 .
故答案为： ；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线
上的 ， ， 三点，其中 ，点 为 中点，兴趣小组组长小王在 ， ， 三点上方5m处
的 ， ， 观察已建建筑物最高点 的仰角分别为 ， ， ，其中 ， ， ，
点 为点 在地面上的正投影，点 为 上与 ， ， 位于同一高度的点.
(1)求建造中的建筑物已经到达的高度 ；
(2)求 的值.
【解析】（1）如图，设 ，因为在 ， ， 处观察已建建筑物最高点 的仰角分别为 ， ，
，且 ， ， ，
所以 ，又 ， 是 的中点，
在 中，由余弦定理得到 ，
在 中，由余弦定理得到 ，
又 ，所以 ，
整理得到 ，解得 ，所以 . （9分）
（2）在 中，由正弦定理知 ①，
在 中，由正弦定理知 ②，由（1）知 ，由② ①得到 . （13分）
16．（15分）
如图，四边形 与四边形 均为等腰梯形， ， ， ， ，
， ， 平面 ， 为 上一点，且 ，连接 、 、 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【解析】（1）因为 平面 ，又 平面 ，
所以 .又 ，且 ，
所以 平面 .因为 ，所以 平面 . （5分）
（2）作 ，垂足为 .则 .又 ，
所以四边形 是平行四边形，又 ，
所以四边形 是矩形，又四边形 为等腰梯形，且 ， ，
所以 .
由（1）知 平面 ，所以 .又 ，
所以 .在 中， .
在 中， .
由上可知，能以 ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系.则 ， ， ， ， ，所以， ， ，
， ，设平面 的法向量为 ，
由 ，得 可取 . （12分）
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，可取 .
因此， ， .
依题意可知，平面 与平面 的夹角的余弦值为 . （15分）
17．（15分）
已知函数 在 处的切线方程为 .
(1)求实数a的值；
(2)探究 在区间 内的零点个数，并说明理由.
【解析】（1）由题可知 ，
由 处的切线方程为 ，
把点 代入得 ． （6分）
（2）由（1）可知 ，
令 ，
当 时， ，则 在区间 上单调递增．
，由零点存在定理可知，存在 ，使得 ，即
当 时， ，则 在区间 上单调递减；
当 时， ，则 在区间 上单调递增，
又 ，
由零点存在定理可知 在区间 上有且仅有一个零点． （11分）
当 时， ；
当 时， ：
在区间 上单调递增．
又 ，
由零点存在定理可知，存在唯一零点 ，使得 ，
综上可得， 在区间 有且仅有两个零点． （15分）
18．（17分）
如图，已知双曲线 的离心率为2，点 在C上，A，B为双曲线的左、
右顶点， 为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q．
(1)求C的方程；
(2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由；
(3)设S，S 分别为△ABN和△NPQ的外接圆面积，求 的取值范围．
1 2【解析】（1）因为离心率 ，
所以
双曲线的方程为 ，
将点 代入双曲线方程得 ，
所以 ，
所以双曲线C的方程为 ． （4分）
（2）直线PQ过定点 ，理由如下：
设 ，
直线PQ的方程为 ，
联立 ，
整理得 ，
则 ， （6分）
直线 ，
所以 ，
又N，B，Q三点共线，
所以 ，即 ，
即 ，
即 ． （8分）
因为 ，
所以 ，
代入上式得 ，
所以 ．所以PQ过定点 . （10分）（3）设△ABN和△NPQ的外接圆半径分别为
由正弦定理可得 ，
又 ，
所以 ，即 ．
设直线PQ的方程为x＝my+4，
与C的方程联立 ，
整理得 ， （13分）
则 ，
又 ，即 ，
解得 ，
又因为 ，
所以 ． （17分）
19．（17分）
对于 ，若数列 满足 ，则称这个数列为“K数列”．
(1)已知数列1，2m， 是“K数列”，求实数m的取值范围．
(2)是否存在首项为−2的等差数列 为“K数列”，且其前n项和 使得 恒成立?若存
在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由．
(3)已知各项均为正整数的等比数列 是“K数列”，数列 不是“K数列”，若 ，试
判断数列{b }是否为“K数列”，并说明理由．
n
【解析】（1）由题意得 ，且 ，解得 ，所以实数m的取值范围是 ．
（4分）（2）不存在．理由：假设存在等差数列{a }符合要求，设公差为d，则 ，
n
由 得 ．
由题意，得 对 均成立，即 ．
当 时， ；
当 时， 恒成立，
因为 ，所以 ，与 矛盾，
所以这样的等差数列 不存在． （8分）
（3）设数列 的公比为q，则 ．
因为 的每一项均为正整数，且 ，
所以在 中， 为最小项.
同理， 中， 为最小项. （10分）
由 为“K数列”，只需 ，即 ．
又因为 不是“ 数列”，且 为最小项，
所以 ，即 ．
由数列 的每一项均为正整数，可得 ，
所以 或 ． （12分）
当 时， ，则 ．
令 ，则 ，
又 ，
所以 为递增数列，即 ，
因为 ，所以对于任意的 ，都有 ，即数列 为“K数列”．
当 时， ，则 ．
因为 ，所以数列 不是“K数列”．
综上所述，当 时， ，数列 为“K数列”；
当 时， ，数列 不是“K数列”． （17分）
