文档内容
2025年新高考数学一轮复习收官卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知向量 ，若 满足 ，则 （ ）
A．-3 B．2 C．-5 D．4
【答案】A
【解析】设向量 ，则 ，
因为 ，所以 ，
故 .
故选：A.
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【解析】 ，
则 ，所以 .
故选：C.
3．已知等差数列 满足 ，则 （ ）
A．12 B．18 C．20 D．30
【答案】C
【解析】由已知得 ，故 ，所以 ．
故选：C
4．已知正三棱台 的体积为 ，若 ，则该正三棱台的高为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在正三棱台中，上、下底面均为正三角形，设正三棱台 的高为h，
则 ， ，
又 ，解得 ．
故选：A
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，可得 ，
所以 .
故选：D.
6．在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天
A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ）
A．32 B．24 C．18 D．12
【答案】B
【解析】按照A场地安排人数，可以分以下两类：
第一类，A场地安排1人，共 种安排方法，
第二类，A场地安排2人，共 种安排方法，
由分类加法计数原理得，共有 （种）不同安排方法.
故选：B
7．已知函数 的图象与直线 有两个交点 ，则
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C【解析】由题意可得直线 恒过点 ，且无论 取何值，直线与函数都有两个交点，
所以分析函数 的对称中心为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：C.
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 作倾斜角为30°的直线l与
C的左、右两支分别交于点P，Q，若 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】依题意，由 ，
得 ，即 的平分线与直线PQ垂直，
设 的平分线 与直线PQ交于点D，如图，
则 ， ，又 ，
所以 ，所以 ， ．
由题得 ， ，设 ， ， ，
在 中， ， ，则 ， ，
由双曲线的性质可得 ，解得 ，
则 ，所以在 中， ，又 ， ，所以 ，
即 ，整理得 ，所以 ．
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使
用APP的结论正确的是（ ）
A．超过 的大学生更爱使用购物类APP
B．超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要
C．使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是
D．APP使用目的中6个占比数字的 分位数是
【答案】AC
【解析】对于选项A，根据图表知，大学生使用购物类APP占比为 ，所以选项A正确，
对于选项B，根据图表知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为 ，所以
选项B错误，
对于选项C，根据图表知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 ，所以选项C
正确，
对于选项D，根据图表知，APP使用目的中6个占比数字从小排到大分别为
，
又 ，所以 分位数是 ，故选项D错误.
故选：AC.
10．已知定义在 上的函数 满足 ， ，且对任意 ，
都有 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是周期为4的奇函数 B． 图象关于直线 对称C． 在区间 上单调递增 D．
【答案】ABD
【解析】任意 ，有 ，
令 ，则 ，解得 ，
任意x∈R，令 ，则 ，
即 ，所以 是奇函数，则 的图象关于原点对称；
又f (x+2)=−f (x)=f (−x)，则函数y=f (x)的图象关于直线 对称；
又f (x+2)=−f (x)，则f (x+4)=−f (x+2)=f (x)，
所以函数y=f (x)为周期函数，4为函数y=f (x)的一个周期，
故A正确，B正确；
C项，对任意 ，都有 ，
故 在[−1,0]单调递增，又 图象关于原点对称，
则 在[0,1]单调递增，又 的图象关于直线 对称，
则 在[1,2]单调递减，故C错误；
D项，由 的周期为4，且 的图象关于直线 对称，
则 ，故D正确：
故选：ABD.
11．已知实数a，b是方程 的两个根，且 ， ，则（ ）
A．ab的最小值为9 B． 的最小值为18
C． 的最小值为 D． 的最小值为12
【答案】ABC
【解析】因为实数a，b是方程 的两个根，
所以 ，所以 或 ，
由根与系数的关系得， ， ，
又 ， ，所以 ，且 ，综上得 ．
消去k，得 ，
由基本不等式得 ，即 ，
令 ，则 ，解得 或 （舍去），
当 时， ，解得 ，当 时，ab的最小值为9，故A正确；
因为 ，当 时取等号， 的最小值为18，故B正确；，
当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 ，故C正确；
因为 ，所以 ，
，
当 ，即 ， 时等号成立，此时 的最小值为13，故D错误．
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合 ， ，则 ．
【答案】
【解析】由题意，可得 ，又 ，所以 ．
故答案为：
13．与曲线 和曲线 均相切的直线的方程为 .
【答案】
【解析】设 在点 和 在点 的切线重合，
， ，
故 ，即 ， ，
在点 处的切线方程为 ，
将 代入得 ，
即 ，
所以 ，
又 ，故 ，则 ，故切线方程为 ，即 .
故答案为：
14．若对项数为 的数列 中的任意一项 ， 也是该数列中的一项，则称这样的数列为“ 可倒数
数列”.已知正项等比数列 是“ 可倒数数列”，其公比为 ，所有项和为 ，写出一个符合题意的
的值 .
【答案】 或 （答案不唯一）
【解析】已知正项等比数列 是“ 可倒数数列”，
首先 ，
若 ，结合 ，解得 ，此时 ，但 不在这5个数中，矛盾，故
，
则若 ，则 也在数列 中，若 在数列中，则 （ 且 ）也在数列中，
因为正项等比数列 是“ 可倒数数列”，
所以数列 严格单调，而 ，
所以只能 ，
（否则 ，不妨设 ，那么 或 一定有三个数小于1，而他们的倒数都大于1，
这必定导致有一个数的倒数不在 中），
从而 ，所以 ，
解得 或 （舍去），
所以解得 或 .
故答案为： 或 （答案不唯一）.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知 的内角 的对边分别为 ， ．
(1)求 ；(2)若 边上的高等于 ，求 ．
【解析】（1）由 得 ，
所以 ，即 ，又 ，所以 ，
又 ，得 . （6分）
（2）由题得示意图，如图，作 ，则 ，
因为 ，所以 ，得 ， ， （9分）
所以 ，利用等面积法可知：
即 ，
解得： . （13分）
16．（15分）
如图，在三棱台 中， 和 都为等腰直角三角形，
为线段 的中点， 为线段 上的点.
(1)若点 为线段 的中点，求证： 平面 ；
(2)若平面 分三棱台 所成两部分几何体的体积比为 ，求二面角 的正
弦值.
【解析】（1）连接 ，设 连接 ，
三棱台 ，则 ，又∴四边形 为平行四边形，
故 是 的中点，且点 是 的中点，
故 ,且 平面 ， 平面 ，
故 平面 （5分）
（2）
，且 面 ，则 面 ，
故 ， ,
且三棱台 中， ,故 ，
则 ， （7分）
平面 分三棱台 所成两部分几何体的体积比为 ，
故 ，化简得： ,
故此时点 和点 重合，
又 为等腰直角三角形，则 ，又（1） 知 ，则 面 ，
故建立如图所示的坐标系 ，
则 ， ，
（11分）设平面 的法向量 则 ，令 解得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，解得 ，
设二面角 的平面角为 ， ，
所以 . （15分）
17．（15分）
已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，椭圆C的右焦点与抛物线 的
焦点重合，两曲线在第一象限的交点为P， 的面积为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A，若 ，求l的方程.
【解析】（1）由抛物线方程 知 ，所以 ，
设 ，则 ，
又点 在抛物线 上，所以 ，解得 ，即 ，
根据椭圆定义 ，解得 ， ，所以 ，
所以椭圆C的方程为 . （6分）
（2）因为 ，所以 ，又 ，直线 ，联立 ，
消去y得， ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 或 ， （12分）
又因为直线l过点 ，
所以 或 ，
可求得直线l的方程为 或 ，
即 或 . （15分）
18．（17分）牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似如图设 是y=f (x)的一个零点，任意选取 作为
的初始近似值，过点(x ,f (x ))作曲线y=f (x)的切线 ， 与 轴的交点为横坐标为 ，称 为 的1次
0 0
近似值，过点(x ,f (x ))作曲线y=f (x)的切线 ， 与 轴的交点为横坐标为 ，称 为 的2次近似值．
1 1
一般地，过点 作曲线y=f (x)的切线 ， 与 轴的交点为横坐标为 ，就称 为 的
次近似值，称数列 为牛顿数列．
(1)若 的零点为 ， ，请用牛顿切线法求 的2次近似值；
(2)已知二次函数 有两个不相等的实数根 ，数列 为 的牛顿数列，数列 满足
，且 ．
（ⅰ）设 ，求 的解析式；
（ⅱ）证明：
【解析】（1）
，所以
当 ，所以
当 ，
所以 的2次近似值为 . （4分）
（2）（ⅰ）因为二次函数 有两个不等实根 ,
所以不妨设 ，
则 ，
因为 所以
所以在横坐标为 的点处的切线方程为令 则
即 ，
所以 . （8分）
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知，
所以 .
因为 所以 所以 .
令 则 ，又
所以 ， （12分）
数列 是公比为2的等比数列.
.
令 ，则
当 时， ，所以 在 单调递减，
所以 ，即
因为 所以 即 .
. （17分）
19．（17分）
如果离散型随机变量 的取值为 ，离散型随机变量 的取值为 ， ，则称
为二维离散型随机变量.称 取 ， 的概率
为 的联合分布律.记
分别称 为 关于和关于 的边缘分布律.用表格形式表示如下：
边缘分布律
边缘分布律 1
(1)现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义
分别求有放回和不放回取球下 的联合分布律和边
缘分布律（表格形式表示）；
(2)若二维离散型随机变量 的联合分布律与边缘分布律满足
则称随机变量 与 相互独立.
（i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（ ）是否相互独立并说明理由；
（ii）证明：若 与 相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例.
【解析】（1）有放回取球下 的联合分布律和边缘分布律；
，
，
，
0 1 边缘分布律
0
1
边缘分布律 1
不放回取球下 的联合分布律和边缘分布律；，
，
， （6分）
0 1 边缘分布律
0 0.3 0.3 0.6
1 0.3 0.1 0.4
边缘分布律 0.6 0.4 1
（2）（i）由（1）知有放回取球下 的联合分布律和边缘分布律中，
，
，
经检验，满足 .
所以 与 相互独立.
在不放回摸球联合分布律中，
，不满足满足 ， ，则 与 不
是相互独立. （10分）
（ii）任取分布律中的一行为 ，
另一行为 ，其中
因为二维离散型随机变量 与 相互独立， 的联合分布律与边缘分布律满足
，
所以
因为
所以 ，则分布律中任意两行对应成比例.
同理可证分布律中任意两列也对应成比例. （17分）
