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专题 28.1 解直角三角形与几何综合
【典例1】如图，在Rt△AEB中，∠AEB=90°，点C在线段BE的延长线上，过点C作CD∥AB，连接
AD，再过点A作AF⊥CD于点F；
（1）如图1，连接EF，若∠BAE=30°，∠D=45°，DF=6，AE=4，求线段EF的长；
（2）如图2，在线段CE上取一点H，连接AH、DH，当AH平分∠BHD，∠ABH=∠DAH时，求证：
DH=HC+2HE．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接ED，若AE=12，BE=4，当(ED+DF)取得最小值时，请直接写
出线段AH的长．
【思路点拨】
（1）过点 作 于 ，利用勾股定理可得 ，
E EM⊥AF M EM=❑√AE2−AM2=2❑√3
；
EF=❑√EM2+M F2=2❑√7
（2）连接AC，过A作AW⊥HD于W，则有∠AWH=∠AWD=90°，可证
Rt△AHE≌Rt△AHW(HL)，则HE=HW，然后可得A、H、C、D四点共圆，则可证
△AEC≌△AWD(AAS)，进而问题可求证；
（3）在线段EB上截取EG=EH，延长AF交BC的延长线于M，连接AG，AC，DM，可证得
1
△AEG≌△AEH(SAS)，△AGC≌△AHD(SAS)，设∠BAE=α，则tanα= ，利用解直角三角形可得
3
，再由勾股定理可得 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
EM=36 AM=❑√AE2+EM2=12❑√10 E DM E′ EE′
DE′，EE′交DM于P，则DE=DE′，由于ED+DF=DE′+DF≥EF，故当且仅当E′、D、F三点共线
时，ED+DF=EF为最小值，过点E′作E′N⊥BC于N，过点D作DK⊥CM于K，应用解直角三角形即可求得答案．
【解题过程】
（1）解：过点E作EM⊥AF于M，如图1，
则∠AME=∠EMF=90°，
∵AF⊥CD，CD∥AB，
∴∠BAF=∠AFD=90°，
∵∠BAE=30°，
∴∠EAM=60°，
∴∠AEM=30°，
∵AE=4，
1
∴AM= AE=2，
2
在 中， ，
Rt△AEM EM=❑√AE2−AM2=❑√42−22=2❑√3
在Rt△ADF 中，∠D=45°，DF=6，
∴AF=DF=6，
∴MF=AF−AM=6−2=4，
在Rt△EMF中，
，
EF=❑√EM2+M F2=❑√ (2❑√3) 2+42=2❑√7
∴线段EF的长为2❑√7；
（2）证明：连接AC，过A作AW⊥HD于W，如图2，则∠AWH=∠AWD=90°，
∵∠AEB=90°，
∴∠AEH=90°，
∵AH平分∠BHD，AE⊥HB，AW⊥HD，
∴AE=AW，
在Rt△AHE和Rt△AHW中，
{AH=AH)
，
AE=AW
∴Rt△AHE≌Rt△AHW(HL)，
∴HE=HW，
∵CD∥AB，
∴∠ABH+∠BCD=180°，
∵∠ABH=∠DAH，
∴∠DAH+∠BCD=180°，
∵∠DAH与∠BCD在DH异侧，
∴A、H、C、D四点共圆，
∴∠ACH=∠ADW，
∵AE=AW，∠AEC=∠AWD=90°，
∴△AEC≌△AWD(AAS)，
∴EC=WD，
∴DH=HW+WD=HE+EC=HE+HE+HC，
即DH=HC+2HE；
（3）解：如图3，在线段EB上截取EG=EH，延长AF交BC的延长线于M，连接AG，AC，DM，
则CG=HC+2HE，
由（2）得DH=HC+2HE，
∴CG=DH，
在△AEG和△AEH中，{
EG=EH
)
∠AEG=∠AEH=90° ，
AE=AE
∴△AEG≌△AEH(SAS)，
∴AG=AH，∠AGC=∠AHE，
∵AH平分∠BHD，
∴∠AHE=∠AHD，
∴∠AGC=∠AHD，
∴△AGC≌△AHD(SAS)，
∴AC=AD，
∵AF⊥CD，
∴DF=CF，
∴DM=CM，
BE 4 1
设∠BAE=α，则tanα= = = ，
AE 12 3
∵∠BAE+∠MAE=∠AME+∠MAE=90°，
∴∠AME=∠BAE=α，
AE 1
∴ =tanM= ，
EM 3
∴EM=3AE=3×12=36，
，
∴AM=❑√AE2+EM2=❑√122+362=12❑√10
如图4，作点E关于DM的对称点E′，连接EE′，DE′，EE′交DM于P，
则DE=DE′，∴ED+DF=DE'+DF≥E'F，当且仅当E′、D、F三点共线时，ED+DF=EF为最小值，
过点E′作E′N⊥BC于N，过点D作DK⊥CM于K，
则∠AMD=∠CE′E=∠CE′N=∠CDK=∠AME=α，
CF
设CF=DF=x，则FM= =3x，
tanα
，
∴CM=❑√CF2+FM2=❑√x2+(3x) 2=❑√10x
DK FM DK 3x
∵sin∠DCK= = ，即 = ，
CD CM 2x ❑√10x
3❑√10
∴DK= x，
5
CK CF CK x
∵cos∠DCK= = ，即 = ，
CD CM 2x ❑√10x
❑√10
∴CK= x，
5
❑√10 4❑√10
∴MK=CM−CK=❑√10x− x= x，
5 5
3❑√10
x
DK 5 3
∴tan2α= = = ，
MK 4❑√10 4
x
5
PE 3
∴ =tan2α= ，
PM 4
设PE=3 y，则PM=4 y，
∵PE2+PM2=EM2，
，
∴(3 y) 2+(4 y) 2=362
36
∴y= （负值舍去），
5
36 108 36 144
∴PE=3× = ，PM=4× = ，
5 5 5 5
216
∴EE′=2PE= ，
5
108
EN PE EN 5
∵sin2α= = ，即 = ，
EE′ EM 216 36
5648
∴EN= ，
25
648 252
∴MN=EM−EN=36− = ，
25 25
648
EN 25 864
∴E′N= = = ，
tan2α 3 25
4
864 1 288
∴CN=E′N⋅tanα= × = ，
25 3 25
288 252 108
∴CM=CN+MN= + = ，
25 25 5
108 3❑√10 162❑√10 1 54❑√10
∴FM=CM⋅cosα= × = ，CF= FM= ，
5 10 25 3 25
162❑√10 138❑√10
∴AF=AM−FM=12❑√10− = ，
25 25
在 中， √ 138❑√10 2 54❑√10 2 12❑√61，
Rt△ADF AD=❑√AF2+DF2=❑ ( ) +( ) =
25 25 5
∵∠DAH=∠ABH=∠MAE，
∴∠DAH−∠MAH=∠MAE−∠MAH，
即∠DAF=∠HAE，
∴cos∠DAF=cos∠HAE，
138❑√10
AF AE 25 12
∴ = ，即 = ，
AD AH 12❑√61 AH
5
12❑√610
∴AH= ．
23
1．（2023·辽宁·中考真题）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接
AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF,连接BF．交DE
于点M．（1）如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
（2）如图2．当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由；
（3）当BC=6，CE=2时，请直接写出AM的长．
AC
2．（22·23下·安徽·专题练习）在△ABC中，∠ACB=90°， =m，D是边BC上一点，将△ABD沿
BC
AD折叠得到△AED，连接BE．
（1）特例发现：如图1，当m=1，AE落在直线AC上时．
①求证：∠DAC=∠EBC；CD
②填空： 的值为 ；
CE
（2）类比探究：如图2，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG=∠BCE，CG交
CG
AE于点H．探究 的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；
CE
❑√2
（3）拓展运用：在（2）的条件下，当m= ，D是BC的中点时，若EB⋅EH=6，求CG的长．
2
3．（22·23·濮阳·一模）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活
动．
【动手实践】
（1）如图（1），已知正方形纸片ABCD，数学小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠使AD与AM重合，折
痕为AF，易知点E、M、F共线，则∠EAF= °，EF、BE、DF三条线段的关系为 ；
【拓展应用】
（2）解决下面问题：
①如图（2）作FN⊥AE于点N，交AM于点P，求证：△ANP≌△FNE；
②如图（3），数学小组在图（1）的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点
为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在△AEF边上，AB=3，请
直接写出此时BE的长度．
4．（22·23下·泉州·模拟预测）已知：如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是AD的中点，点
F是AB上的动点，连接FP并延长交CD的延长线于点M，过点P作PE⊥FM，交直线BC于点E，连接
EF．（1）求tan∠PEF的值；
（2）如图2，连接EM，点Q是EM的中点．
①当∠AFP=2∠BEF时，求PQ的长；
②点F从A点运动到B点的过程中，求点Q经过的路径长．
5．（2023·江苏镇江·中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：
（1）取AB，AC的中点D，E，在边BC上作MN=DE；
（2）连接EM，分别过点D，N作DG⊥EM，NH⊥EM，垂足为G，H；
（3）将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋
转180°至四边形AEST的位置；（4）延长PQ，ST交于点F．
小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：
①点Q，A，T在一条直线上；
②四边形FPGS是矩形；
③△FQT≌△HMN；
④四边形FPGS与△ABC的面积相等．
【任务1】请你对结论①进行证明．
【任务2】如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，P，Q分别是AB，CD的中点，连接PQ．求证：
1
PQ= (AD+BC)．
2
4
【任务3】如图3，有一张四边形纸ABCD，AD∥BC，AD=2，BC=8，CD=9，sin∠DCB= ，小
5
丽分别取AB，CD的中点P，Q，在边BC上作MN=PQ，连接MQ，她仿照小宏的操作，将四边形
ABCD分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的长．
6．（23·24九年级上·江苏无锡·阶段练习）【基本图形】（1）如图1，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点
CE CD
H，交AD于点E．求证： = ；
BD BC
【类比探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°,AD=4，BC=9，CD=7．E是边AB
CF
上的一动点，过点C作CG⊥ED，交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F．试探究 是否为定值?
DE
CF
若是，请求出 的值；若不是，请说明理由；
DE
【拓展延伸】（3）如图3，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，将△ABD沿BD翻折得到△CBD，点E,F分CF 3 AD
别在边AB,AD上，连接CF,DE．若∠AED=∠AFC，且 = ，则 的值为______（直接写出结
DE 5 AB
果）．
7．（21·22九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5，BE平分∠ABC交AD于
点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G． 将△BFG绕点B旋转得到
△BF′G′，（1）如图1，连接CG′,EF′，求证：△BEF′∽△BCG′；
（2）当点G′恰好落在直线AE上时，若BF=3，求EG′的值；
（3）如图3，连接GG′，当GG′与BE交于点F时，猜想FG与FG′的数量关系，并证明．
8．（21·22下·沧州·二模）如图1，在一平面内，线段AB=20，M，N是线段AB上两点，且AM=BN=2，
点C从点M开始向终点N运动，分别以AC，BC为边在线段AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，设
AC=x．（1）直接写出CD和BE位置关系：______；
（2）如图2，连接AE，BD，求证：AE=BD；
（3）如图3，点G，点H分别是CD，BE的中点，
①求当x为何值时，线段GH取得最小值？最小值是多少？
②当线段GH取得最小值此时，求△ACE的面积；
（4）如图4，设DE的中点为P，则点P移动路径的长为______．
9．（23·24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图①，在 ▱ABCD中，∠A=60°，AB=4，AD=6，点E
在边BC上，且BE=2，动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒2个单位长度的速度运动．作
∠PEQ=60°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（t>0）
（1）当点P和点B重合时，线段PQ的长为______；
（2）当点Q和点D重合时，求tan∠PQE．
（3）如图②，当点Q在边DC上运动时，证明：PD=CQ．
（4）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和 ▱ABCD重叠部分图形为轴对称
四边形时，直接写出t的值．
10．（21·22·武汉·模拟预测）问题背景：如图（1），在四边形ABCD中，P是BC上一点，
∠ABC=∠BCD=∠APD，求证：△ABP∽△PCD；
尝试运用：如图（2），D,E,F三点分别在等边△ABC边BC,AB,AC上，∠ABC=∠EDF,BD=CD．
已知BC=4，设EF=x,△≝¿的面积为y，求y关于x的函数关系式（不求自变量x的取值范围）；拓展创新：如图（3），D是等边△ABC边BC上一点，连接AD,E是AD上一点，
CD=2BD,∠BEC=120°，请用一个等式直接写出BE与CE的数量关系．
11．（22·23·信阳·三模）综合与实践
【问题情境】
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D为BC边上一动点（不与B，C重合），连接AD，以AD为始
边顺时针作∠ADE=β(α+β=180°)，DF平分∠ADE．【初步探究】
BD
（1）如图1，DE与AC的延长线交于点E，若α=60°，β=120°，CD=2BD，则 的值为_____，
CF
∠CDF与∠E的数量关系是_________．
【类比探究】
BD
（2）如图2，DE与AC的延长线交于点E，若α=β=90°，CD=2BD，求出 的值及∠CDF与∠E的
CF
数量关系．
【拓展应用】
（3）如图3，DE与AC交于点E，α=β=90°，∠CAD=15°，AB=6❑√2，将△ADF绕点在平面内自由
AF
旋转，当B，A，F三点共线时，直接写出 的值．
BD
12．（23·24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A(0，6)，点B在线段AO上，
且AB=2BO，若点P在x轴的正半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB．（1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C．
①点B的坐标__________．
②求证：△BOP∼△PCE；
（2）在（1）的条件下，如图2，若点C坐标为(8，0)．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点
D．若点C关于直线PQ的对称点C′正好落在线段AD上．连接PC，则点P的坐标__________．
（3）如图3，若∠BPO=60°，点E在直线PQ上，EC⊥x轴，垂足为点C．若以点E，P，C为顶点的
三角形和△BPE相似，请直接写出点E的坐标__________．
13．（23·24·全国·专题练习）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使
AE
点A落在BC上A′处，若AB=6,BC=10，求 的值；
EB
（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B′处，若BC⋅CE=24,AB=6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足为点D，AD=10,AE=6，过点E作
5
EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE=2∠DAC，直接写出BD+ EF的值．
3
14．（2023·湖北襄阳·模拟预测）几何综合：
已知：点D是△BAC边BC上一动点，作△DAE∽△BAC，点M、点N分别是边AB、AC的中点，连接
AC
MD、NE；设 =k（常数k>0）．
AB（1）证明推断：
若k=1．如图①，当∠BAC=∠DAE=60°时，
①求证：△DAM≌△EAN；
NE
②推断：当MD⊥BC时， =_____；
CN
（2）类比探究：
若k≠1．如图②，当MD⊥BC时，试写出线段DB2、EN2、CN2与常数k之间一个相等关系，并证明；
（3）拓展应用：
9
若k≠1．如图③，设∠BAC=∠DAE=90°，MD⊥BC，当NE=4，DB= 时，求常数k的值和线段
4
DA的长度．
15．（20·21下·武汉·期中）如图1，已知正方形ABCD的顶点A、B分别在y轴和x轴上，边CD交x轴的正
半轴于点E，边BC交y轴的负半轴于点F．（1）若点A(0,4)，B(−2,0)，则点D的坐标为 ．
（2）若点E、F分别为边CD、BC的中点，连接AE、DF交于点P．连CP，若PF=6，PE=2，求BC的
长．
（3）如图2．M为BC边上一点．将△ABM沿射线BC方向平移至△DCG，以AM为斜边作等腰直角
△ANM，直角顶点N恰好落在BD上，T为DG中点，连NT，若CG=2，ND=❑√2BM，求NT的长．
16．（22·23上·济南·期末）（1）【问题发现】如图1所示，△ABC和△ADE均为正三角形，B、D、E
三点共线．猜想线段BD、CE之间的数量关系为______；∠BEC=______°；（2）【类比探究】
如图2所示，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，B、
D、E三点共线，线段BE、AC交于点F．此时，线段BD、CE之间的数量关系是什么？请写出证明过程
并求出∠BEC的度数；
（3）【拓展延伸】
如图3所示，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=8，DE为△ABC的中位线，将△ADE绕点
A顺时针方向旋转，当DE所在直线经过点B时，请直接写出CE的长．
17．（23·24上·成都·阶段练习）【问题发现】
（1）如图1，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，求BE与DG的数量关系和位置关系．
【类比探究】
（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成”矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，
12❑√10
AE=3．AG=4，如图2，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若AD= ，求BE的长．
5
【拓展延伸】
（3）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成”菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG，
3
如图3．AD=5，AC=6．AG平分∠DAC．点P在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得AQ= AP，
5
4
连接PQ，QC，当tan∠PQC= 时，直接写出AP的长．
318．（22·23九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，△ABC为等边三角形，点D是边BC上一点，点E是
射线BA上一动点，连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转120°，与射线AC相交于点F．
（1）若BD=CD．
①如图1，当点E在边AB上时，请直接写出线段DE与DF的数量关系：______；
②当点E，点F落在如图2所示位置时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
1 1 AF
（2）如图3，BD= CD，当AE= AB时，直接写出 的值．
2 2 CF
19．（22·23下·保定·一模）如图1，四边形ABCD为边长为8的正方形，Rt△GEF中，∠GEF=90°且
EF=4❑√3．如图1所示放置，点E与A重合，F在AB边上，∠G=60°将△GEF沿边AD方向平移，平移距离为x个单位长度后，绕点E逆时针旋转，旋转过程中点F始终在四边形ABCD内部（含点F落在正方形
❑√2 ❑√2 ❑√3
ABCD边上）．点K为GF的中点且点K到BC的距离为d．(tan35°≈ ，sin45°= ，sin25°= ，
2 2 4
❑√3
cos65°= )
4
（1）当x=0时，△GEF旋转 度时，点G到BC的距离最小，最小值为 ．
（2）如图2，当8−4❑√3
