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第 41 讲 等差数列
1、 数列的通项公式
一般地，如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列
的 ．
注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．
2、数列的表示方法
数列可以用 来描述，也可以通过 或 来表示．
3、等差数列的有关概念
(1)定义： 这个常数叫做等差数列的 ，
符号表示为 (n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是 ，其中 A 叫做 a ， b 的等差中项．
4、等差数列的有关公式
(1)通项公式： ， a 是关于 n 的一次函数．
n
(2)前n项和公式： ⇒当d≠0时，S 是关于n的二次函数，且没有常数项．
n
1、（2023•甲卷（文））记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则
A．25 B．22 C．20 D．15
2、（2022•乙卷（文））记 为等差数列 的前 项和．若 ，则公差 ．
3、（2022•上海）已知等差数列 的公差不为零， 为其前 项和，若 ，则 ，2， ，
中不同的数值有 个．
4、（2023•新高考Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ， 分别为数列 ，
的前 项和．
（1）若 ， ，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．5、（2021•新高考Ⅱ）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）求使 成立的 的最小值．
6、（2021•甲卷（理））已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两
个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列；②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
7、（2023•乙卷（文））记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
1、在等差数列{a}中，a＝2，a＝3a，则a 等于( )
n 1 5 3 3
A．－2 B．0 C．3 D．6
2、记等差数列{a}的前n项和为S.若a＝16，S＝35，则{a}的公差为( )
n n 6 5 n
A．3 B．2 C．－2 D．－3
3、 是等差数列， ， ，则该数列前10项和 等于（）
A．64 B．100 C．110 D．120
4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知正项等差数列 满足 ，且 是 与
的等比中项，则 的前 项和 ___________.
考向一 等差数列中基本量的运算
例1、（2022·福建省诏安县高三模拟试卷）数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法
正确的是（ ）
A. 是递增数列 B.
C. 当 时， D. 当 或4时， 取得最大值
变式1、（2022年福建省永泰县高三模拟试卷）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
下列命题中正确的是（ ）A. B.
C. D. 数列 中最大项为
变式2、(1) 已知{a}为等差数列，a＋a＋a＝105，a＋a＋a＝99，则a ＝________；
n 1 3 5 2 4 6 20
(2) 已知递增的等差数列{a}满足a＝1，a＝a－4，则a＝________；
n 1 3 n
(3) 已知在等差数列{a}中，a＝1，a＝－3.
n 1 3
①求数列{a}的通项公式；
n
②若数列{a}的前k项和S＝－35，求k的值．
n k
变式 3、（2022 年江苏省淮安市高三模拟试卷）记 为等差数列 的前 n 项和，已知 ，
.
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值.
方法总结：(1)a ，d是等差数列的基本量，把所给的条件代入等差数列的通项公式，可列出方程组，如果
1
能把a－1作为一个整体处理，则能简化运算．一般地，给出含有a，d的两个独立条件，即可求出该等差
1 1
数列的通项公式，进而求出其前n项和．
(2)第(2)小问，充分利用等差数列的第二通项公式a＝a＋3d，a＝a＋d，则简化了运算．
5 2 3 2
考向二 等差数列的性质
例2、（2020届北京市昌平区新学道临川学校上学期期中）已知等差数列 的前 项之和为 ，前
项和为 ，则它的前 项的和为（ ）A. B. C. D.
变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，
，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
变式2、(1) 若等差数列{a}的前17项和 S ＝51，则a－a＋a－a ＋a ＝________；
n 17 5 7 9 11 13
(2) 在等差数列{a}中，若a＋a＋a＝39，a＋a＋a＝27，则前9项和S＝________；
n 1 4 7 3 6 9 9
(3) 已知等差数列{a}与{b}的前n项和分别为S 和T，若＝，则等于( )
n n n n
A. B. C. D.
变式3、(1)等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S，T，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．
n n n n
(2) 等差数列{a}与{b}的前n项和分别为S 和T，若＝，则＝________；
n n n n
方法总结：如果{a
n
}为等差数列，m＋n＝p＋q，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现a
m－n
，
a ，a 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a (或其他项)有关的条件；若求a 项，可由a ＝(a
m m＋n m m m m
＋a )转化为求a ，a 或a ＋a 的值．
－n m＋n m－n m＋n m－n n＋m
考向三 等差数列的判定及证明
例3、（2023·安徽宿州·统考一模）在数列 中， ，且 .
(1)令 ，证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，求 .
变式1、已知数列{a}的前n项和为S，且满足a＝，a＝－2SS (n≥2).
n n 1 n n n－1
(1) 求证：数列是等差数列；
(2) 求S 和a.
n n变式2、已知在数列{a}中，a＝，a＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{b}满足b＝(n∈N*).
n 1 n n n
(1) 求证：数列{b}是等差数列；
n
(2) 求数列{a}中的最大项和最小项，并说明理由．
n
等差数列的判定方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a －a 为同一常数；(2)等差中项法：验
n n－1
证2a ＝a ＋a (n≥3，n∈N*)成立；(3)通项公式法：验证a ＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证S ＝An2
n－1 n n－2 n n
＋Bn．在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空
题中的简单判断．
1、（2022年广州番禺高三模拟试卷）我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四
个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），
夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降､立冬､小雪､大雪是连续十二个节气，其日影子长依次
成等差数列.经记录测算，夏至､处暑､霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之
和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）尺.
A. 1 B. 1.25 C. 1.5 D. 2
2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，且
，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3、（2023·浙江温州·统考三模）已知数列 各项为正数， 满足 ， ，则
（ ）A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． 是等差数列 D． 是等比数列
3、（多选）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考三模）已知等差数列 的前n项和为
，公差为d，则（ ）
A． B．
C． D．
4、（多选）（2023·重庆·统考三模）对于数列 ，若 ， ，则下列说法正确的
是（ ）
A． B．数列 是等差数列
C．数列 是等差数列 D．
5、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设数列 的前n项积为 ，若 ，求数列 的通项公式．
