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第 40 讲 数列的概念与简单表示
1. 数列的概念
(1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．数列可以看做是定义
域为N*或其非空子集的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，其图像是一
群孤立的点．
注：数列是特殊的函数，应注意其定义域，不要和函数的定义域混淆．
(2)数列的一般形式可以写成a，a，a，…，a，…，简记为{a}，其中a 称为数列{a}的第1项(或称
1 2 3 n n 1 n
为 )，a 称为第2项，…，a 称为第n项．
2 n
2. 数列的分类
(1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做 ．
(2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做 ；从第二项起，
每一项都小于它的前一项的数列叫做 ；各项相等的数列叫做 ．
3. 数列的通项公式
一般地，如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列
的 ．
注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．
4. 数列的表示方法
数列可以用 来描述，也可以通过 或 来表示．
1、下列可作为数列1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是 ( )
A. a＝
n
B. a＝
n
C. a＝2－sin
n
D. a＝2－cos [(n－1)π]
n
2.、已知数列的通项公式为a＝n2－8n＋15，则3是数列{a}中的( )
n n
A. 第2项
B. 第6项
C. 第2项或第6项
D. 第3项
3、在数列{a}中，a＝1，a＝1＋(n≥2)，则a＝________．
n 1 n 5
4、 (2022·南京三模)写出一个同时具有下列性质①②③的数列{a}的通项公式：a＝________．
n n
①数列{a}是无穷等比数列；
n
②数列{a}不单调；
n
③数列{|a|}单调递减．
n
5. 若数列{a}的前n项和S ＝n2－10n(n＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为a ＝________；数列{na}
n n n n
中最小的项是第________项．考向一 已知数列的前几项求通项
例1 根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：
(1) 4，6，8，10，…；
(2) ，，，，，…；
(3) ，，－，，－，，…；
(4) 9，99，999，9 999，….
变式、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1) 1，－，，－，…；
(2) 2,0,2,0，….
方法总结：已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
(1) 负号用(－1)n与(－1)n＋1或(－1)n－1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．
(2) 公式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．
(3) 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决．
考向二 由 an 与 Sn 的关系求通项 an
例2 (1) 已知数列{a}的前n项和为S＝3n－1，求它的通项公式a；
n n n
(2) 已知数列{a}的前n项和为S＝n2－n，求它的通项公式a.
n n n
变式1、(1) 已知数列{a}的前n项和为S＝3n＋1，求它的通项公式a；
n n n
(2) 已知数列{a}的前n项和为S＝n2－n＋1，求它的通项公式a.
n n n
变式2、已知数列{a}的前n项和S，求通项a．
n n n
(1) S＝3n－1；
n
(2) S ＝n2＋3n＋1．
n方法总结：由数列{a }的前n项和S ，求通项a 的问题，要分成两段：a ＝不要遗漏n＝1的情形．因题(2)
n n n n
含字母b，首项是否满足，还需要对b进行分类讨论．本题侧重考查分类讨论的数学思想．
1、数列{a}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项可能是( )
n
A．a＝ B．a＝
n n
C．a＝ D．a＝
n n
2、在数列{a}中，a＝1，a＝1＋(n≥2)，则a 等于( )
n 1 n 5
A. B.
C. D.
3、（多选题）（2021·山东济南市·高三一模）1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图，取一个边
1 1
长为1的正三角形，在每个边上以中间的3为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的3
2 3
擦掉，得到第 个图形，重复上面的步骤，得到第 个图形.这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为
科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，
这门学科叫“分形几何学”.下列说法正确的是（ ）
1
A．第4个图形的边长为81
n a a 4a
B．记第 个图形的边数为 n，则 n1 nn1
4
b 3
C．记第 n 个图形的周长为b ，则 n 3
n
n S nN M S M
D．记第 个图形的面积为 n，则对任意的 ，存在正实数 ，使得 n
4、(1)已知数列{a}的前n项和S＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则a＝________.
n n n
(2)已知数列{a}的前n项和S＝a＋，则{a}的通项公式a＝________.
n n n n n
(3)已知数列{a}满足a＋2a＋3a＋…＋na＝2n，则a＝________.
n 1 2 3 n n
