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第 47 讲 数列中的新数列问题（微专题）
题型选讲
题型一 由数列公共项构成新数列
例1、（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，
等差数列 中 .
(1)求 和 的通项公式；
(2)数列 与 的共同项由小到大排列组成新数列 ，求数列 的前20的积 .
变式1、（2022·山东日照·高三期末）数列 中，已知 ，数列{bn}满足 ，点
在直线 上.
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 中满足：① ；②存在 使 的项组成新数列{cn}，求数列{cn}所有项的和.变式2、（2022·山东德州·高三期末）已知等差数列 中， ，首项 ，其前四项中删去某一项后
（按原来的顺序）恰好是等比数列 的前三项.
(1)求 的通项公式；
(2)设 中不包含 的项按从小到大的顺序构成新数列 ，记 的前n项和为 ，求 .
题型二 由给定数列的项数构成新数列
例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列 ，前n项和为 ，且满足 ，
， ， ， ，等比数列 中， ，且 ， 成等差数列．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 为区间 中的整数个数，求数列 的前n项和 ．变式1、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知等比数列 的前n项和为 （b为
常数）．
(1)求b的值和数列 的通项公式；
(2)记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前n项和 ．
变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比
数列．给定 ，记集合 的元素个数为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求最小自然数n的值，使得 ．题型三 由数列的插入项构成新数列
例3、（2022·山东烟台·一模）己知等差数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，使它们和原数列的项构成
一个新的数列 ，记 的前n项和为 ，求 的值．
变式1、(2022·青岛期初考试)已知等差数列{A}的首项A 为4，公差为6，在{A}中每相邻两项之间都插入
n 1 n
两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{a}．
n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若，，…，，…是从{a}中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，求数列{b}的
n n
前n项和T．
n
变式2、（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在任意相邻两项 和 之间插入 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ，
求数列 的前200项的和 .
