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第 75 讲 二项式定理
1. 二项式定理
公式：(a＋b)n＝ (n∈N*)
这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数
C(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用T 表示，即T ＝Can－
k＋1 k＋1
kbk．
2. 二项展开式形式上的特点
(1)项数为 ．
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母 a 按 排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按_
_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从 ，C，一直到C， ．
3. “杨辉三角”与二项式系数的性质
(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．
(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C＝
．
(3)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐 ；当k＞时，二项式
系数逐渐 ．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二
项式系数最大．
(4)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各项二项式系数之和为 ，即C＋C＋…＋C
＝
(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝ ＝
1、（2023•北京） 的展开式中， 的系数是
A． B．40 C． D．80
2、（2023•天津）在 的展开式中， 项的系数为 ．
3、（2022•上海）二项式 的展开式中， 项的系数是常数项的5倍，则 ．
4、（2022•浙江）已知多项式 ，则 ．
5、（2022•新高考Ⅰ） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
6、（2022•天津） 的展开式中的常数项为 ．
7、（2022•上海）在 的展开式中，则含 项的系数为 ．8、（2023•上海）已知 ，若存在 ，
1，2， ， 使得 ，则 的最大值为 ．
9、（2022•北京）若 ，则
A．40 B．41 C． D．
1、(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为( )
A. 10 B. 20 C. 25 D. 40
2、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A. 6 B. 12 C. 20 D. 32
3、(2021·青岛二模)已知(x＋1)的展开式中常数项为－40，则a的值为( )
A.2 B.－2 C.±2 D.4
4、(2022·广州三模)若x8＝a＋a(x＋1)＋a(x＋1)2＋…＋a(x＋1)8，则a＝________．
0 1 2 8 3
5、 (2022·泰安一模)在(1－x)4(2x＋1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．
考向一 二项展开式中特定项及系数问题
例1、已知在(－)n的展开式中，第5项为常数项．
(1) 求n的值；
(2) 求含x2的项的系数.
变式1、已知在(－)n的展开式中，第5项为常数项．
求展开式中所有的有理项．
变式2、 的展开式中的常数项为( )
A. 1 B. 11 C. －19 D. 51
变式3、 (1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为( )
A.－3 B.－2 C.1 D.4
(2)的展开式中常数项是________.方法总结：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要
求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可
考向二 二项式系数的和或各项系数的和的问题
例2、在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1) 二项式系数的和；
(2) 各项系数的和；
(3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4) 奇数项系数和与偶数项系数和；
(5) x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
变式1、已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：
(1) 展开式中各项的系数之和；
(2) 展开式中所有奇数项的系数之和．
变式2、已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：求展开式中各项的系数的绝对值的
和．
变式3、已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：求展开式中二项式系数最大的项．
变式4、已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：
求展开式中系数的绝对值最大的项．
变式5、（多选题）对任意实数x，有 .则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法总结：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a、b∈R)
的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求
其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
考向三 二项式定理的综合应用
例3 (1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是____．
(2)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2019＝____．
变式1、(1) 设a∈Z，且0≤a<13，若512 018＋a能被13整除，则a的值为( )
A. 0 B. 1 C. 11 D. 12
变式2、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知 ， ．
记 ．
（1）求 的值；
（2）化简 的表达式，并证明：对任意 的， 都能被 整除．
方法总结：整除问题，解决整除问题要点为：(1)观察除式与被除式间的关系；(2)将被除式拆成二项式；
(3)结合二项式定理得出结论．此外二项式定理还可应用于不等式的证明．
1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）二项式 的展开式中常数项为（ ）
A．80 B． C． D．40
2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末） 的展开式中 的系数为 ，则该二项式展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
3、（2022·山东临沂·高三期末）若 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展
开式中常数项为（ ）
A．90 B．-90 C．180 D．-180
4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是 ，则
______，展开式的常数项为______．（用数字作答）
5、（2023·江苏南通·统考模拟预测） 的展开式中， 的系数为___________.
6、（2023·江苏南京·校考一模）在二项式 的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个
展开式中， 项的系数是__________．（用数字作答）
7、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模） 的展开式中含 项的系数为___________.
