文档内容
第 6 节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
考试要求 1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率
的关系，会利用全概率公式计算概率.
1.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) ，则称事件A与事件B相
互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与B__，A与B，A与B也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称 P ( B | A ) ＝ 为在事件A
发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P ( A ) P ( B | A ) .
3.全概率公式
一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A ∪A ∪…∪A ＝Ω，且P(A)＞
1 2 n 1 2 n i
0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝，我们称上面的公式为全概率公
式.
⊆
1.计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，
其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，
转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( )
(2)全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率.( )
(3)P(A)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A).( )(4)P(A)＝P(BA)＋P(BA).( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
解析 (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝0；
(3)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)；
(4)P(B)＝P(BA)＋P(BA).
2.(易错题)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分
别为，.只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每
关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设A＝“第i次通过第一关”，B＝“第i次通过第二关”，其中i＝1，2；
i i
由题意得，选手能进入第三关的事件为A B ＋A1A B ＋A B1B ＋A1A B1B ，
1 1 2 1 1 2 2 2
所求概率为P(A B ＋A1A B ＋A B1B ＋A1A B1B )＝×＋××＋××＋×××＝.
1 1 2 1 1 2 2 2
3.(易错题)(2021·滁州期末)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，
下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为(
)
A. B. C. D.
答案 A
解析 设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨.
根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率为P(B|A)＝＝.
4.(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地
随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示
事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是
8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
答案 B
解析 事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概
率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙是互斥事件，不是相
互独立事件，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，
P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，
P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件故D错误.
5.(2022·青岛检测)质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件
实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有
受损的概率为 0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为
0.80，则该构件通过质检的概率为( )
A.0.4 B.0.16 C.0.68 D.0.17
答案 C
解析 设A 表示第i次打击后该构件没有受损，i＝1，2，则由已知可得P(A )＝
i 1
0.85，P(A |A )＝0.80，因此由乘法公式可得P(A A )＝P(A )P(A |A )＝0.85×0.80＝
2 1 1 2 1 2 1
0.68，即该构件通过质检的概率是0.68.
6.(2021·天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方
猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别
为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动
中，甲获胜的概率为________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________.
答案
解析 由题意可得一次活动中，甲获胜的概率为×＝；在3次活动中，甲至少获胜
2次的概率为C××＋＝.
考点一 相互独立事件的概率
例1 (2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的
胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘
汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率.
解 (1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝.
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结
果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.
因此丙最终获胜的概率为
＋＋＋＝.
感悟提升 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立
事件入手计算.
训练1 在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小常
识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两
人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立.
(1)求乙答对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
解 (1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A，
B，C，设乙答对这道题的概率P(B)＝x，由于每人回答问题正确与否相互独立，因
此A，B，C是相互独立事件.
由题意可知，P(A)＝，P()＝P(A)P(B)＝×(1－x)＝，解得x＝，所以乙答对这道题的
概率为P(B)＝.
(2)设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概
率P(C)＝y，由题意可知，P(BC)＝P(B)·P(C)＝×y＝，解得y＝.
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P()＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
所以甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率为P(M)＝1－P()＝.
考点二 条件概率
例2 (1)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需
一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次
拿到红球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意
P(A)＝＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝.
(2)对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2
件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，
P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，
则P(B|A)＝＝＝.
感悟提升 求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生
的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
训练2 (1)某射击选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率
是，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设该选手某次击中10环为事件A，随后一次击中10环为事件B，则P(A)
＝，P(AB)＝，
∴某次击中10环，随后一次击中10环的概率是P(B|A)＝＝＝.
(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽
取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.
答案 0.72
解析 设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗).
依题意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼
苗的概率为0.72.
考点三 全概率公式的应用
例3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞
机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中
飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率.
解 设B＝“飞机被击落”，A＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A B＋A B＋
i 1 2
A B，P(B|A )＝0.2，P(B|A )＝0.6，P(B|A )＝1，
3 1 2 3
由全概率公式，得P(B)＝P(A )P(B|A )＋P(A )P(B|A )＋P(A )P(B|A ).
1 1 2 2 3 3
为求P(A)，设H＝{飞机被第i人击中}，
i i
i＝1，2，3，且H ，H ，H 相互独立，
1 2 3
则P(H )＝0.4，P(H )＝0.5，P(H )＝0.7，
1 2 3
故P(A )＝P(H H H ＋H H H ＋H H H )
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3
＝P(H )P(H )P(H )＋P(H )P(H )·P(H )＋P(H )P(H )P(H )＝0.36，
1 2 3 1 2 3 1 2 3
P(A ) ＝ P(H H H ＋ H H H ＋ H H H ) ＝ P(H )P(H )P(H ) ＋ P(H )P(H )P(H ) ＋
2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
P(H )P(H )P(H )＝0.41，
1 2 3
P(A )＝P(H H H )
3 1 2 3
＝P(H )P(H )P(H )＝0.14.
1 2 3
于是P(B)＝P(A )P(B|A )＋P(A )P(B|A )＋P(A )P(B|A )
1 1 2 2 3 3
＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458，
即飞机被击落的概率为0.458.
感悟提升 利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件A(i＝1，2，…，n)；
i
(2)求P(A)和所求事件B在各个互斥事件A 发生条件下的概率P(B|A)；
i i i
(3)代入全概率公式计算.
训练3 某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产
量的15%，20%，30%和35%，且四条流水线的产品不合格率分别为0.05，0.04，
0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不合格品的概率是多少？
解 设A＝“任取一件这种产品，抽到不合格品”，
B＝“任取一件这种产品，结果是第i条流水线的产品”(i＝1，2，3，4)，则Ω＝
i
B ∪B ∪B ∪B ，且B ，B ，B ，B 两两互斥，根据题意
1 2 3 4 1 2 3 4
P(B )＝0.15，P(B )＝0.20，P(B )＝0.30，P(B )＝0.35，P(A|B )＝0.05，P(A|B )＝0.04，
1 2 3 4 1 2
P(A|B )＝0.03，P(A|B )＝0.02，
3 4
由全概率公式，得
P(A)＝P(B )P(A|B )＋P(B )P(A|B )＋P(B )P(A|B )＋P(B )P(A|B )＝0.15×0.05＋
1 1 2 2 3 3 4 4
0.20×0.04＋0.30×0.03＋0.35×0.02＝0.031 5，
故从该厂产品中任取一件，抽到不合格品的概率是0.031 5.1.甲、乙两个袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其
中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两
袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知，“从甲袋中取出红球”和“乙袋中取出红球”两个事件相互独
立，
从甲袋中取出红球的概率为＝，
从乙袋中取出红球的概率为，
故所求事件的概率为×＝.
2.(2022·广州调研)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣
获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰
有一人获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，
则所求概率是×＋×＝.
3.设A，B为两个事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 P(B|A)＝＝＝.
4.已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|A)＝0.2，则P(A)＝( )
A. B. C.0.33 D.0.1
答案 A
解析 由P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)，可得0.3＝P(A)×0.9＋(1－P(A))×0.2，
解得P(A)＝.
5.(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有( )
A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现
的点数为偶数”
B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M
＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相
同”D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
答案 CD
解析 在A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互独立；
在B中，M，N不是相互独立事件；
在C中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事
件；
在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.
6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老
人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为
“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则
P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由已知得P(B)＝＝，
P(AB)＝＝，
所以P(A|B)＝＝.
7.开元通宝是我国唐代的一种货币，向开元通宝上任意投掷一粒芝麻，第一次投进
方空的概率约为0.5，在第一次投到开元通宝上的条件下第二次也投进方空的概
率约为0.3，则这样连续两次都可把芝麻投进方空的概率是________.
答案 0.15
解析 设A 表示第i次把芝麻投进方空，i＝1，2，则由已知可得P(A )＝0.5，P(A |
i 1 2
A )＝0.3，
1
因此由乘法公式可得P(A A )＝P(A )P(A |A )＝0.5×0.3＝0.15，
1 2 1 2 1
即连续两次都可把芝麻投进方空的概率是0.15.
8.一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球
4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不
同”，事件B＝“取出一个黄球，一个蓝球”，则P(B|A)＝________.
答案
解析 因为P(AB)＝＝，
P(A)＝＝，
故P(B|A)＝＝.
9.甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，
未击中目标得0分.已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为和p.若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为，则p的值为________.
答案
解析 设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件
B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A，“乙射击一次，未击中目标”为事件
B，则P(A)＝，P(A)＝1－＝，P(B)＝p，P(B)＝1－p.依题意得×(1－p)＋×p＝，解得
p＝.
10.(2022·济宁模拟)甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A，在
点A处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B，在点B处投中
一球得3分，不中得0分.已知甲、乙两人在A处投中的概率都是，在B处投中的概
率都是，且在A，B两处投中与否相互独立，规定甲、乙两人先在A处各投篮一次，
然后在B处各投篮一次，总得分高者获胜.
(1)求甲投篮总得分ξ的分布列；
(2)求甲获胜的概率.
解 (1)设“甲在A点投中”为事件A，“甲在B点投中”为事件B.
根据题意，ξ的所有可能取值为0，2，3，5，则
P(ξ＝0)＝P()＝×＝，
P(ξ＝2)＝P(AB)＝×＝，
P(ξ＝3)＝P(AB)＝×＝，
P(ξ＝5)＝P(AB)＝×＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 2 3 5
P
(2)同(1)，乙的总得分η的分布列为
η 0 2 3 5
P
甲获胜包括甲得2分、乙得0分，甲得3分、乙得0分或2分，甲得5分、乙得0分
或2分或3分，共三种情形，这三种情形之间相互独立，
因此所求概率为P＝P(ξ＝2)×P(η＝0)＋P(ξ＝3)×P(η＜3)＋P(ξ＝5)×P(η＜5)＝
×＋×＋×＝.
11.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回
地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和
第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30.
根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)法一 由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概
率
P(B|A)＝＝＝.
法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
12.(多选)(2021·青岛调研)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个
红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A ，A 和A
1 2 3
表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B
表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A.P(B)＝
B.P(B|A )＝
1
C.事件B与事件A 相互独立
1
D.A ，A ，A 是两两互斥的事件
1 2 3
答案 BD
解析 易知A ，A ，A 是两两互斥的事件，
1 2 3
所以P(B|A )＝＝＝，
1
P(B)＝P(BA )＋P(BA )＋P(BA )＝×＋×＋×＝.
1 2 3
因为P(BA )≠P(B)P(A )，所以事件B与事件A 不相互独立.
1 1 1
13.三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的
概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第
三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，
则乙队连胜四局的概率为________.
答案 0.09解析 设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：
第一局中乙胜甲(A )，其概率为1－0.4＝0.6；
1
第二局中乙胜丙(A )，其概率为0.5；
2
第三局中乙胜甲(A )，其概率为0.6；
3
第四局中乙胜丙(A )，其概率为0.5.
4
因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为 P(A)＝P(A A A A )＝
1 2 3 4
0.62×0.52＝0.09.
14.播种用的一等品种子中混合2.0%的二等种子，1.5%的三等种子，1.0%的四等种
子，用一等、二等、三等、四等种子长出优质产品的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，
求从这批种子中任选一颗长出优质产品的概率.
解 设A＝“在这批种子中任选一颗，长出优质产品”，
B ＝“从这批种子中任选一颗是第 i 等种子”(i＝1，2，3，4)，则 Ω＝
i
B ∪B ∪B ∪B ，且B ，B ，B ，B 两两互斥.
1 2 3 4 1 2 3 4
则P(B )＝95.5%，P(B )＝2%，P(B )＝1.5%，P(B )＝1.0%，P(A|B )＝0.5，P(A|B )＝
1 2 3 4 1 2
0.15，P(A|B )＝0.1，P(A|B )＝0.05.
3 4
由全概率公式P(A)＝∑P(B)·P(A|B)
i i
＝0.955×0.5＋0.02×0.15＋0.015×0.1＋0.01×0.05＝0.482 5，
所以从这批种子中任选一颗，长出优质产品的概率是0.482 5.
